極限方法試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)\(x\to0\)時，\(x\)與\(\sinx\)的關(guān)系是（）A.\(x\)比\(\sinx\)高階B.\(x\)與\(\sinx\)同階C.\(x\)比\(\sinx\)低階D.\(x\)與\(\sinx\)等價2.\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{x}=\)（）A.0B.1C.3D.\(\infty\)3.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處（）A.一定有定義B.一定無定義C.不一定有定義D.有定義且\(f(a)=A\)4.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\)（）A.0B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.25.\(\lim_{x\to+\infty}(1+\frac{1}{x})^x=\)（）A.eB.\(e^{-1}\)C.0D.16.當(dāng)\(x\to0\)時，\(\sqrt{1+x}-1\)與\(\frac{x}{2}\)是（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但不等價無窮小D.等價無窮小7.\(\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3n}{n^2+1}=\)（）A.0B.1C.3D.\(\infty\)8.若\(\lim_{x\tox_0^{-}}f(x)=\lim_{x\tox_0^{+}}f(x)=A\)，則（）A.\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)B.\(f(x_0)=A\)C.\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)不存在D.\(f(x)\)在\(x_0\)連續(xù)9.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\)（）A.0B.1C.\(e\)D.\(\frac{1}{e}\)10.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處的極限為（）A.0B.1C.2D.不存在答案：1.D2.C3.C4.C5.A6.D7.B8.A9.B10.C二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{x^2+1}\)D.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)2.當(dāng)\(x\to0\)時，下列是無窮小量的有（）A.\(x^2\)B.\(\sinx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^x-1\)3.極限的運算法則包含（）A.加法法則B.減法法則C.乘法法則D.除法法則4.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)與\(\lim_{x\toa}g(x)\)都存在，則（）A.\(\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))=\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)\)B.\(\lim_{x\toa}(f(x)g(x))=\lim_{x\toa}f(x)\lim_{x\toa}g(x)\)C.\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}\)（\(\lim_{x\toa}g(x)\neq0\)）D.\(\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))=\lim_{x\toa}f(x)-\lim_{x\toa}g(x)\)5.下列關(guān)于無窮小量的性質(zhì)正確的是（）A.有限個無窮小量的和是無窮小量B.有限個無窮小量的積是無窮小量C.無窮小量與有界函數(shù)的積是無窮小量D.兩個無窮小量的商是無窮小量6.若\(\lim_{x\to+\infty}f(x)=A\)，\(\lim_{x\to+\infty}g(x)=B\)，則（）A.\(\lim_{x\to+\infty}(f(x)+g(x))=A+B\)B.\(\lim_{x\to+\infty}(f(x)g(x))=AB\)C.\(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.\(\lim_{x\to+\infty}(f(x)-g(x))=A-B\)7.下列極限為\(1\)的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)D.\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)8.求極限的方法有（）A.利用極限的定義B.利用極限的四則運算法則C.利用兩個重要極限D(zhuǎn).等價無窮小替換9.當(dāng)\(x\to\infty\)時，下列函數(shù)是無窮小量的有（）A.\(\frac{1}{x^2}\)B.\(\frac{\sinx}{x}\)C.\(\frac{x}{x^2+1}\)D.\(\frac{1}{x}\)10.極限\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在的充要條件是（）A.\(\lim_{x\toa^{-}}f(x)=\lim_{x\toa^{+}}f(x)\)B.\(f(x)\)在\(x=a\)處有定義C.\(f(x)\)在\(x=a\)的某個去心鄰域內(nèi)有定義D.\(\lim_{x\toa^{-}}f(x)\)與\(\lim_{x\toa^{+}}f(x)\)都存在答案：1.BCD2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.ABC6.ABCD7.ABC8.ABCD9.ABCD10.ACD三、判斷題（每題2分，共10題）1.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=1\)（）2.無窮小量是一個很小的數(shù)。（）3.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=B\)且\(A>B\)，則在\(a\)的某個去心鄰域內(nèi)\(f(x)>g(x)\)。（）4.\(\lim_{n\to\infty}q^n=0\)（\(|q|<1\)）。（）5.兩個無窮大量的和一定是無窮大量。（）6.極限\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty\)。（）7.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處的極限存在，則\(f(x)\)在\(x=a\)處一定連續(xù)。（）8.當(dāng)\(x\to0\)時，\(\cosx-1\)與\(-\frac{x^2}{2}\)是等價無窮小。（）9.若\(\lim_{x\toa}f(x)=0\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=0\)，則\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}\)一定為\(0\)。（）10.\(\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x=e\)（）答案：1.×2.×3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述極限的定義答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)（無論它多么小），總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿足不等式\(0<|x-x_0|<\delta\)時，對應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足不等式\(|f(x)-A|<\varepsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時的極限。2.簡述等價無窮小替換原理及應(yīng)用條件答案：原理：在求極限過程中，若\(\alpha\sim\alpha_1\)，\(\beta\sim\beta_1\)（\(\sim\)表示等價無窮小），則\(\lim\frac{\alpha}{\beta}=\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}\)。應(yīng)用條件：只能在乘除運算中使用等價無窮小替換，加減運算中一般不能隨意用。3.列舉兩個重要極限答案：\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)；\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)或\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)。4.說明如何判斷函數(shù)在某點極限是否存在答案：函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處極限存在的充要條件是\(\lim_{x\tox_0^{-}}f(x)=\lim_{x\tox_0^{+}}f(x)\)。即左極限與右極限都存在且相等，那么函數(shù)在該點極限存在。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在實際應(yīng)用中的意義答案：極限在實際有重要意義。如在物理中求瞬時速度、加速度等，通過極限將平均變化率轉(zhuǎn)化為瞬時值。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，求邊際成本、邊際收益等也需要極限概念，幫助分析經(jīng)濟(jì)變量在某一時刻或某一狀態(tài)的變化情況，輔助決策制定。2.探討無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系答案：無窮小量（非零）與無窮大量互為倒數(shù)關(guān)系。當(dāng)\(f(x)\)在某一變化過程中是無窮大量時，\(\frac{1}{f(x)}\)就是該過程中的無窮小量；反之，若\(f(x)\)是無窮小量且\(f(x)\neq0\)，則\(\frac{1}{f(x)}\)是無窮大量。這種關(guān)系在極限運算等方面有重要應(yīng)用。3.談?wù)勅绾芜\用極限知識理解函數(shù)的連續(xù)性答案：函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)的定義為\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f