河北省唐山市2023-2024學年高一下學期期末模擬考試一、單選題1．已知復數滿足，則復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知，為單位向量，且，若，且與的夾角為θ，則（

）A． B． C． D．3．樹人中學國旗班共有50名學生，其中男女比例，平均身高174cm，用等比例分層隨機抽樣的方法，從中抽取一個容量為20的樣本，若樣本中男生的平均身高為178cm，樣本中女生人數與女生平均身高的估計值分別為(

)A．8人

168cm B．8人

170cm C．12人

168cm D．12人

170cm4．已知兩條不同直線與三個不同平面，則下列命題正確的個數是（

）.①若，，，則②若，，則③若，，則④若，，則A．0 B．1 C．2 D．35．的內角的對邊分別為，已知，，，則的值為A． B．C． D．6．如圖所示，點E為的邊AC的中點，F為線段BE上靠近點B的四等分點，則=（

）A． B． C． D．7．銀行定期儲蓄存單的密碼由6個數字組成，每個數字均是0~9中的一個，小王去銀行取一筆到期的存款時，忘記了密碼中某一位上的數字，他決定不重復地隨機進行嘗試，則不超過2次就按對密碼的概率為（

）A． B． C． D．8．在三棱錐中，底面是邊長為3的等邊三角形，，，若此三棱錐外接球的表面積為，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．、、、、、、、、、的第百分位數是B．已知一組數據、、、、的平均數為，則這組數據的方差是C．用分層隨機抽樣時，個體數最多的層里的個體被抽到的概率最大D．若、、、的標準差為，則、、、的標準差是10．對于有如下命題，其中正確的是（

）A．若，則為鈍角三角形B．若，，且有兩解，則的取值范圍是C．在銳角中，不等式恒成立D．在中，若，，則必是等邊三角形11．已知四棱錐的底面是邊長為3的正方形，平面為等腰三角形，為棱上靠近的三等分點，點在棱上運動，則（

）A．平面B．直線與平面所成角的正弦值為C．D．點到平面的距離為三、填空題12．已知，，若，則實數的值是．13．已知圓柱的兩個底面的圓周在體積為的球O的球面上，則該圓柱的側面積的最大值為．14．已知甲?乙兩人每次射擊命中目標的概率分別為和，甲和乙是否命中目標互不影響，且各次射擊是否命中目標也互不影響.若按甲?乙?甲?乙…的次序輪流射擊，直到有一人擊中目標就停止射擊，則停止射擊時，甲?乙共射擊了四次的概率是.四、解答題15．設三個內角的對邊分別為，且.(1)求的值；(2)設為銳角三角形，是邊的中點，求的取值范圍.16．在直三棱柱中，點D，E分別為棱AB，的中點，點F在棱上.(1)試確定點F的位置，使得平面平面CDE，并證明；(2)若多面體的體積為直三棱柱體積的，求.17．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創造者，某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本成績的第75百分位數；(3)已知落在的平均成績是54，方差是7，落在的平均成績為66，方差是4，求兩組成績的總平均數和總方差.18．2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運動會開幕式在北京國家體育場（鳥巢）舉行，某調研機構為了了解人們對“奧運會”相關知識的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業的人舉辦了一次“奧運會”知識競賽，滿分100分分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡；現從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔任本市的“奧運會”宣傳使者．(2)若有甲（年齡，乙（年齡兩人已確定入選，現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數與方差分別為42和1，據此估計這人中歲所有人的年齡的方差．19．由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.對于凸多面體，有著名的歐拉公式：，其中為頂點數，為棱數，為面數.我們可以通過歐拉公式計算立體圖形的頂點?棱?面之間的一些數量關系.例如，每個面都是四邊形的凸六面體，我們可以確定它的頂點數和棱數.一方面，每個面有4條邊，六個面相加共24條邊；另一方面，每條棱出現在兩個相鄰的面中，因此每條棱恰好被計算了兩次，即共有12條棱；再根據歐拉公式，，可以得到頂點數.(1)已知足球是凸三十二面體，每個面均為正五邊形或者正六邊形，每個頂點與三條棱相鄰，試確定足球的棱數；(2)證明：個頂點的凸多面體，至多有條棱；(3)已知正多面體的各個表面均為全等的正多邊形，且與每個頂點相鄰的棱數均相同.試利用歐拉公式，討論正多面體棱數的所有可能值.答案1．A2．C3．A4．A5．A6．C7．D8．A9．BD10．ACD11．BC12．13．14．15．（1）因為，所以利用正弦定理可得，又為三角形內角，，所以，可得，因為，所以；（2），；由正弦定理，則，又為銳角三角形，則，得，則，故,,，即，二次函數的開口向下，對稱軸為，在，單調遞減，故的取值范圍,，即．16．（1）證明：當點為棱的中點時，平面平面，證明如下：由點分別為的中點，可得，因為平面，平面，可得平面，又因為，可得四邊形是平行四邊形，可得，因為平面，平面，可得平面，又因為，且，所以平面平面.（2）解：設的面積為，，可得直三棱柱的體積為，多面體的體積為直三棱柱體積的，即為，由三棱錐的體積為，可得四棱錐的體積為，設，點到側面的距離為，則，解得，則.17．（1）因為每組小矩形的面積之和為1，所以，則.（2）成績落在內的頻率為，落在內的頻率為，設第75百分位數為m，由，得，故第75百分位數為84.（3）由圖可知，成績在的市民人數為，成績在的市民人數為，故這兩組成績的總平均數為，由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為：.18．（1）解：設這人的平均年齡為，則（歲；（2）由頻率分布直方圖可知各組的頻率之比為，第四組應抽取人，記為，，，甲，第五組抽取人，記為，乙，對應的樣本空間為，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15個樣本點．分設事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9個樣本點，所以；（3）設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數分別為，，方差分別為，，則，，，，設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數為，方差為；則，，因此第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據此可估計這人中年齡在歲的所有人的年齡方差約為1019．（1）設足球有個正五邊形，則有個正六邊形，足球的頂點，棱數，由歐拉公式得，解得，即此足球中有個面為正五邊形，所以此足球的棱數.（2）由個頂點的凸多面體，其面