1.2.1 “任意角的三角函數”（第一課時）的教學設計北師大實驗中學 劉丹一、指導思想與理論依據1.概念的形成建構主義學習觀認為：學生的數學學習過程是學生利用已有數學認知結構中的相關知識（包括從書本上學習的和從日常生活經驗中獲得的）與新知識進行相互作用，主動地建構信息的數學意義的過程．維果茨基的“最近發展區”理論提出教學應著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能．“任意角的三角函數”概念學習于已有的“銳角三角函數”概念屬于上位學習，新的定義按照學生已有知識無法自行產生，需要在教師的引導下，通過自主探究建構新概念，理解“銳角三角函數”和“任意角三角函數”概念的聯系和區別，這樣既符合學生的實際情況，也體現了最近發展區的理念．2.銳角三角函數知識負遷移的影響學習定勢是指在學習活動中，先前的活動經驗往往會成為后面活動的準備狀態，如果沒有理清新知識與原有活動經驗之間的關系就套用舊法，此時學習定勢很可能會消極的影響．初中學習的銳角三角函數強調銳角三角函數是直角三角形中邊長的比值，構造直角三角形解決三角函數問題的方法在學生頭腦中根深蒂固，這對任意角三角函數概念的學習可能會產生負遷移．結合以上分析，在任意角三角函數概念的教學設計中要注意以下問題：一是重視概念的生成過程：二是合理利用銳角三角函數，防止負遷移．二、教學背景分析三角函數是描述周期現象的重要數學模型．“任意角的三角函數”是三角函數的核心概念，它既是“銳角三角函數”的上位概念，又是“函數”的下位概念．它是在學生初中數學已經學習過“銳角三角函數”，高中進一步學習“用集合與對應的語言刻畫函數”，并且剛剛“了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化”的基礎上來進行學習的內容．授課班級的學生思維活躍，能積極參與課堂討論．學生對銳角三角函數比較熟悉，并已掌握“函數”和“任意角”的相關知識．但初中強調銳角三角函數是直角三角形中邊長的比值，這對學生學習新概念可能會產生負遷移．幫助學生從“長度比”過渡到“坐標比”是本節課的重點和難點．本節課以“啟發式”教學為主，通過創設情境，引導學生自主探究，讓學生參與到概念的形成全過程．在教學過程中，通過設計認知沖突，激發學生興趣．通過“創設情境——自主探究——規律探索——提升認識——總結反思”讓學生對“任意角的正弦”概念的理解層層推進．教學技術手段上，利用幾何畫板創設“摩天輪”的問題情境，讓學生感受新定義的必要性、探索新概念，加深對概念的理解．三．教學目標設計知識與技能目標：理解任意角的正弦定義；會利用定義進行簡單應用；初步體會正弦函數是以角為自變量，以比值為函數值的函數．過程與方法目標：經歷探究任意角的正弦定義的過程，感悟數形結合的數學思想．情感態度與價值觀目標：感受數學來源于生活，應用于生活，提高學習數學的興趣．教學重點：理解任意角的正弦的定義；教學難點：“任意角的正弦”概念的建構過程．四、教學過程與教學資源設計本節課的教學過程按以下五個環節展開：創設情境創設情境引出概念自主探究建構概念規律探索理解概念提升認識強化概念總結反思固化概念教學環節教師行為學生行為設計意圖創設情境引出概念展示視頻——旋轉的摩天輪感受到座艙距離地面的高度h與旋轉角之間存在對應關系數學來源于生活，應用于生活．摩天輪的旋轉讓學生直觀感受到座艙距離地面的高度h與旋轉角之間存在對應關系，并引出后續研究——用含的式子表示h．問題情境摩天輪的半徑r，它的中心O離地面的高度為h0．摩天輪按逆時針方向勻速轉動．初始時座艙P位于與O在同一水平線的A處，當點P逆時針旋轉角時，點P離地面的距離為h．（1）若h0=25米，r=20米，＝30°，h=_________米；（2）若＝70°，h=__________；（用r和h0表示）（3）若，h=________;（用、r和h0表示）（4）當為任意角時，還能用含的式子表示h嗎？共同解決問題(1)(2)(3),復習銳角的正弦定義，并思考為任意角的情況，得到的猜想，意識到有必要定義任意角的正弦．通過4個逐步深入的問題，復習應用銳角的正弦，并經歷了從特殊到一般的思考過程，引出了本節課的課題——任意角的三角函數自主探究建構概念問題探究1問題1：如何定義任意角的正弦？巡視了解學生討論情況，提示學生從某些特殊角（如°）入手，回到問題情境中檢驗猜想的合理性，深入探究：（1）能否用線段PM的長度表示h？（2）如果想把和兩種形式統一起來，應該如何定義sin？以分組合作的方式探究問題1，并回到問題情境中檢驗猜想的合理性.根據討論改進猜想，得到或的結論通過“提出猜想——檢驗猜想——改進猜想”的探究過程，讓學生意識到要將和兩種形式統一，必須在有些情況下定義，有些情況下定義．由此自然的提出下一個問題——什么量可以替代，同時滿足符號要求？”．問題2：用什么量來替代？利用幾何畫板動態的展示點P的旋轉過程，引導學生發現sin表達式中前的符號取決于角終邊所在位置．總結學生的探究結果，并指出教材中正是用來定義任意角的正弦嘗試建立坐標系進行探究，得到的結論通過幾何畫板的動態展示，學生意識到可以通過建立坐標系來刻畫，突破了思維的障礙，并在探究的過程中體會數形結合的數學思想形成概念師生共同完善定義，教師予以板書．在直角坐標系中，設是一個任意角，終邊上任取一點（除了原點）的坐標為，它與原點的距離為定義:比值叫做的正弦，記作，即加深認識引導學生共同探討新定義的合理性，從兩個方面達成共識1．角的正弦值與點P在角終邊上的位置無關；2．當角是銳角時，新定義與初中所學的銳角的正弦定義是吻合的．表述新定義，初步形成“任意角的正弦”概念．基于之前學習弧度制定義的經驗，探討并理解新定義的合理性.通過總結表述新定義，學生初步形成“任意角的正弦”概念，感受到借助平面直角坐標系，“角”與“比值”建立起對應關系，形與數結合起來．通過對定義合理性的思考與簡要說明，加深學生對新概念的理解，完成了從“長度比”到“坐標比”的過渡，突破本節課的難點規律探索理解概念問題探究2問題3：根據任意角的正弦定義，你能得到任意角正弦的哪些性質？巡視了解學生的討論情況，匯總學生的結果，引導學生總結出正弦值的符號規律．（1）對于第一、二象限角為正，對于第三、四象限角為負；（2）終邊落在x軸上時，=0；終邊落在y軸正半軸時，=1；終邊落在y軸負半軸時=－1．根據定義探索任意角正弦的性質．交流結果，并從中總結出正弦值的符號規律開放式的設問給學生以探究的空間．借助坐標系，學生可能會得到如“終邊相同的角的正弦值相等”、“任意角的正弦值不大于，不小于－”等結論．在探究的過程中學生進一步理解概念，再次感悟數形結合的數學思想．簡單應用例1、（1）已知角的終邊經過點，求的正弦值；（2）求sin210o．例2、填空：___0，___0.(用“＜”、“＝”、“＞”填空)請學生回答問題，板書解題過程，引導學生總結解決問題的一般方法．獨立完成例題，總結解題方法以例題的形式，幫助學生鞏固對新概念的理解，總結解決問題的方法，達到強化重點，落實雙基的效果．提升認識強化概念問題探究3問題4：對于任意給定的一個角，是否有唯一確定的sin與它對應？這說明了什么問題？引導學生認識到任意角的正弦定義給出了角的集合與實數集之間的一種對應關系，初步感受到三角函數是“比值”關于“角”的函數思考問題4，認識到對于給定的角，都有唯一確定的正弦值與之對應，初步了解正弦函數是以角為自變量，比值為函數值的函數．問題4引導學生認識到任意角的正弦定義給出了角的集合與實數集之間的一種對應關系，這種對應體現了三角函數的函數本質，實現了學生對概念理解的螺旋式上升．總結反思固化概念總結反思知識和技能任意角的正弦定義正弦值的符號規律思想和方法數形結合從特殊到一般作業1．閱讀材料——“三角函數發展史拾趣”；2．請你類比正弦的研究方法，定義并研究任意角的余弦．課后思考思考題：請你閱讀“有向線段”的介紹并思考：在引入部分的問題中，如果摩天輪的半徑是1，你能否用某些有向線段的數量來表示角的正弦值．回憶學習過程，梳理知識，體會思想方法．培養學生的總結反思意識，通過對學習過程的回顧，梳理知識，體會思想方法．為學有余力的學生提供思考和提升的素材．思考題既是對本節課學習的提升，同時為后續的進一步研究做好鋪墊．五、學習效果評價設計本節課的效果評價以當堂反饋為主，教師通過巡視、提問的方式關注學生的學習過程和學習進展．學生通過自主探索，交流討論，回答問題等方式，展示學習的效果，發現認知障礙，以便得到及時的引導、分析和糾正．將任意角的余弦的類比學習留給學生課后完成，可以讓學生自我評估對新概念以及研究方法的掌握情況，教師還將通過作業反饋進一步評估學生的學習效果．此外，本節課最后的思考題可以檢查學生對概念的認識是否深入，能否靈活的運用概念解決較復雜的問題．六、教學設計特色說明與教學反思本節課在教學實施中有以下特點：1．重視概念的形成過程為了避免知識的負遷移，本節課的設計并未采用從“銳角的正弦定義推廣到任意角的正弦定義”這一思路，而是引導學生通過“提出問題——分析問題——解決問題”，參與到概念形成的全過程．通過逐步深入的問題探究，學生實現對原有認知結構的部分改組，順利完成從“長度比”到“坐標比”的過渡，突破了難點；通過對概念的再分析和有針對性的練習，學生對概念的認識得到了螺旋式上升，掌握了解決問題的基本方法，落實了重點．我還給學生提供了閱讀材料，讓學生了解概念的發展歷史，深化對概念的認識．2．重視學生的自主探究本節課通過開放性的設問，給學生提供了充分的自主探究空