10/17第三章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念一、教學目標1.核心素養(yǎng)通過學習數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念，初步形成基本的數(shù)學抽象和邏輯推理能力.2.學習目標（1）在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.（2）理解復數(shù)的基本概念，復數(shù)的代數(shù)形式及復數(shù)相等的充要條件.（3）復數(shù)的向量表示.3.學習重點復數(shù)的概念，復數(shù)的代數(shù)形式，復數(shù)的向量表示.4.學習難點復數(shù)相等的條件，復數(shù)的向量表示.二、教學設計（一）課前設計1.預習任務任務1閱讀教材P102，思考：方程在實數(shù)集中無解.聯(lián)系從自然數(shù)系到實數(shù)系的擴充過程，你能設想一種方法，使這個方程有解嗎？任務2閱讀教材P103，思考：復數(shù)集C和實數(shù)集R有什么關(guān)系？任務3閱讀教材P104-P105，思考：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，因此，實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示.類比實數(shù)的幾何意義，復數(shù)的幾何意義是什么呢？2.預習自測1.下列復數(shù)中，滿足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±eq\r(2)iD.±2i解：C2.已知復數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是()A.eq\r(2)，1B.eq\r(2)，5C.±eq\r(2)，5D.±eq\r(2)，1解：C3.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()A.1B.0C.－1D.－1或1解：B（二）課堂設計1.知識回顧（1）對因生產(chǎn)和科學發(fā)展的需要而逐步擴充數(shù)集的過程進行概括自然數(shù)→分數(shù)→負數(shù)→整數(shù)→有理數(shù)→無理數(shù)→實數(shù)2.問題探究問題探究一數(shù)系的擴充重點知識★對于實系數(shù)一元二次方程，沒有實數(shù)根.我們能否將實數(shù)集進行擴充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？●活動一回顧舊知，回顧數(shù)集的擴充過程對因生產(chǎn)和科學發(fā)展的需要而逐步擴充數(shù)集的過程進行概括自然數(shù)→分數(shù)→負數(shù)→整數(shù)→有理數(shù)→無理數(shù)→實數(shù)（教師引導）●活動二類比舊知，探究數(shù)系的擴充.對于實系數(shù)一元二次方程，沒有實數(shù)根，我們能否將實數(shù)集進行擴充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？我們說，實系數(shù)一元二次方程沒有實數(shù)根.實際上，就是在實數(shù)范圍內(nèi)，沒有一個實數(shù)的平方會等于負數(shù).解決這一問題，其本質(zhì)就是解決一個什么問題呢？最根本的問題是要解決－1的開平方問題.即一個什么樣的數(shù)，它的平方會等于－1.我們引入一個新數(shù)，它的平方等于－1●活動三類比探究，研究新數(shù)i的運算性質(zhì)把實數(shù)和新引進的數(shù)i像實數(shù)那樣進行運算，并希望運算時有關(guān)的運算律仍成立，你得到什么樣的數(shù)？根據(jù)前面討論結(jié)果，我們引入一個新數(shù)，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：=1\*GB3①虛數(shù)單位的平方等于-1，即②的周期性：，，，=3\*GB3③實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍然成立.有了前面的討論，引入新數(shù)，可以說是水到渠成的事.這樣，就可以解決前面提出的問題（可以開平方，而且的平方根是）.問題探究二復數(shù)的概念重點、難點知識★▲●活動一理解概念，復數(shù)的代數(shù)形式怎樣表示一個復數(shù)？根據(jù)虛數(shù)單位的第=3\*GB3③條性質(zhì)，可以與實數(shù)相乘，再與實數(shù)相加.由于滿足乘法交換律及加法交換律，從而可以把結(jié)果寫成這樣，數(shù)的范圍又擴充了，出現(xiàn)了形如的數(shù)，我們把它們叫做復數(shù).復數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi，(其中a，b∈R)，這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式，其中a、b分別叫做復數(shù)z的實部與虛部.復數(shù)的實部、虛部滿足什么條件表示實數(shù)？對于復數(shù)a+bi(a，b∈R)，當且僅當b=0時，它是實數(shù);當且僅當a=0且b=0時，它是實數(shù)0;當b≠0時，叫做虛數(shù);當a=0且b≠0時，叫做純虛數(shù).●活動二剖析概念復數(shù)m＋ni的實部、虛部一定是m、n嗎？不一定，只有當m∈R，n∈R，則m、n才是該復數(shù)的實部、虛部.對于復數(shù)a+bi和c+di(a，b，c，d∈R)，你認為滿足什么條件時，這兩個復數(shù)相等？（a=c且b=d，即實部與虛部分別相等時，這兩個復數(shù)相等.）任意兩個實數(shù)可以比較大小，復數(shù)呢？如果兩個復數(shù)不全是實數(shù)，那么它們不能比較大小.●活動三完善知識體系復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系是怎樣的？純虛數(shù)集純虛數(shù)集復數(shù)集實數(shù)集虛數(shù)集復數(shù)z=包括：●活動四復數(shù)基本概念、復數(shù)的代數(shù)形式、復數(shù)充要條件的應用例1實數(shù)m取什么值時是（1）實數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)?【知識點：復數(shù)的概念，復數(shù)的代數(shù)形式，虛數(shù)、純虛數(shù)的概念；數(shù)學思想：分類討論】詳解：（1）當，即時，復數(shù)z是實數(shù)；(2)當即時，復數(shù)z是虛數(shù)；(3)當即時，復數(shù)z是純虛數(shù).點撥：本題是對實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)概念的考查.因為，所以由是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件可以確定m的值.例2已知eq\f(x2－x－6,x＋1)＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值.【知識點：復數(shù)相等的充要條件】詳解：由復數(shù)相等的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0.,x2－2x－3＝0.))解得：x＝3（負值舍），所以x＝3為所求.點撥：本題考查復數(shù)相等的充要條件.對于復數(shù)a+bi和c+di(a，b，c，d∈R)當且僅當a=c且b=d，即實部與虛部分別相等時，這兩個復數(shù)相等.例3設z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1＜z2，求實數(shù)m的取值范圍.【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學思想：分類討論】詳解：由于z1＜z2，m∈R，∴z1∈R且z2∈R，當z1∈R時，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.當z2∈R時，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，∴當m＝1時，符合題意，此時z1＝2，z2＝6，滿足z1＜z2.∴z1＜z2時，實數(shù)m的取值為m＝1.點撥：本題考查對復數(shù)概念的理解.如果兩個復數(shù)不全是實數(shù)，那么它們不能比較大小.問題探究三復數(shù)的幾何意義重點、難點知識★▲●活動一類比實數(shù)的幾何意義，探究復數(shù)的幾何意義若把a，b看成有序?qū)崝?shù)對（a，b），則（a，b）與復數(shù)a+bi是怎樣的對應關(guān)系？有序?qū)崝?shù)對（a，b）與平面直角坐標系中的點是怎樣的對應關(guān)系？（一一對應關(guān)系）實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示這里面體現(xiàn)的是“數(shù)”、“形”互換的思想.任何一個復數(shù)z=a+bi，都可以由一個有序?qū)崝?shù)對（a，b）唯一確定.因為有序?qū)崝?shù)對（a，b）與平面直角坐標系中的點一一對應，所以復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應.復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應復平面內(nèi)的點Z(a，b)；如圖：復數(shù)z=a+bi可以用點Z（a，b）（復數(shù)的幾何形式）來表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數(shù)，虛軸上的點（除了原點）都表示純虛數(shù).例4實數(shù)m取什么值時，復平面內(nèi)表示復數(shù)的點，(1)位于第四象限(2)位于y=x上？詳解：(1)由位于第四象限，得，解得，(2)由位于直線y=x上，得即.點撥：本題考查復數(shù)的幾何意義即復數(shù)z=a+bi與點Z（a，b）一一對應.復數(shù)表示的點坐標為，分別由條件求解即可得.●活動二類比探究復數(shù)的另外一個幾何意義除了用平面里的點表示復數(shù)，還可以用什么表示復數(shù)？還可以用向量！設復平面內(nèi)的點Z（相對于原點來說）也可以由向量唯一確定.反之，也成立.因此，復數(shù)z=a+bi與也是一一對應的（實數(shù)0與零向量對應），這是復數(shù)的另一種幾何意義.復數(shù)z，點Z(a，b)，三者關(guān)系如下：復數(shù)的向量形式.以原點O為始點的向量，規(guī)定：相等的向量表示同一個復數(shù).●活動三探究復數(shù)的模的幾何意義向量的模叫做復數(shù)的模，記作或.由模的定義知:例5已知復數(shù)z＝3＋ai，且|z|<4，求實數(shù)a的取值范圍.【知識點：復數(shù)的幾何意義，復數(shù)的模；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】詳解：方法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝eq\r(32＋a2)，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－eq\r(7)，eq\r(7)).方法二：利用復數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復平面內(nèi)對應的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z＝3＋ai知z對應的點在直線x＝3上，所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合.由圖可知：－eq\r(7)<a<eq\r(7)點撥：本題考查復數(shù)的幾何意義即復數(shù)的模及考查數(shù)形結(jié)合思想.例6設z∈C，在復平面內(nèi)對應點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.【知識點：復數(shù)的模的幾何意義，復數(shù)的模；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】詳解：(1)方法一：|z|＝2說明復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z到原點的距離為2，這樣的點Z的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.方法二：設z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故點Z對應的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.(2)不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2及該圓內(nèi)部所有點的集合.不等式|z|≥1的解集是圓|z|＝1及該圓外部所有點的集合.這兩個集合的交集，就是滿足條件1≤|z|≤2的點的集合.如圖中的陰影部分，所求點的集合是以O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界.點撥：解決復數(shù)的模的幾何意義的問題，應把握兩個關(guān)鍵點：一是|z|表示點Z到原點的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點Z的集合表示的圖形；二是利用復數(shù)的模的概念，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決3.課堂總結(jié)【知識梳理】(1)復數(shù)的分類：復數(shù)(z=a＋bi，a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數(shù)(b＝0),虛數(shù)(b≠0)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)(a＝0),非純虛數(shù)(a≠0)))))(2)復數(shù)相等的充要條件設a，b，c，d都是實數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.(3)復數(shù)與點、向量間的對應①復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應復平面內(nèi)的點Z(a，b)；②復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(→,\s\up7(一一對應))平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).(4)復數(shù)的模復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應的向量為eq\o(OZ,\s\up6(→))，則eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數(shù)z的模，記作|z|，且|z|＝eq\r(a2＋b2).【重難點突破】（1）對于復數(shù)概念，首先要在變化中認識復數(shù)代數(shù)形式的結(jié)構(gòu)，正確判斷復數(shù)的實部、虛部，然后依據(jù)復數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件，用列方程（或不等式）的方法求出相應參數(shù)的取值(或取值范圍)（2）對于復數(shù)相等的問題.必須保證實部和虛部都分別相等（3）對于復數(shù)的向量表示，先準確找出復數(shù)所表示的向量是關(guān)鍵.4.隨堂檢測1.若復數(shù)(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數(shù)，則()A.a＝－1B.a≠－1且a≠2C.a≠－1D.a≠2【知識點：純虛數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學思想：分類討論】解：C.若一個復數(shù)不是純虛數(shù)，則該復數(shù)是一個虛數(shù)或是一個實數(shù).當a2－a－2≠0時，已知的復數(shù)一定不是純虛數(shù)，解得a≠－1且a≠2；當a2－a－2＝0且|a－1|－1＝0時，已知的復數(shù)也不是一個純虛數(shù)，解得a＝2.綜上所述，當a≠－1時，已知的復數(shù)不是一個純虛數(shù).2.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()A.1B.0C.－1D.－1或1【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學思想：分類討論】解：B由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m(m＋1)＝0,m2－1≠0))∴m＝0.3.在復平面內(nèi)，復數(shù)z＝i＋2i2對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【知識點：復數(shù)幾何意義；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：B∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴實部小于0，虛部大于0，故復數(shù)z對應的點（-2，1）位于第二象限..4.在復平面內(nèi)，O為原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的復數(shù)為－1＋2i，若點A關(guān)于直線y＝－x的對稱點為B，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數(shù)為()A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i【知識點：復數(shù)的幾何意義；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：B∵A(－1，2)關(guān)于直線y＝－x的對稱點B(－2，1)，∴向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數(shù)為－2＋i.（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1.說出復數(shù)的實部和虛部.【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式】解：復數(shù)2+3i的實部是2，虛部是3；-的實部是-，虛部是0；的實部是0，虛部是.2.指出下列各數(shù)中，哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？，，，0，，，，實數(shù)：虛數(shù)：純虛數(shù)：【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式】解：實數(shù)有：，，0，虛數(shù)有：，，，純虛數(shù)有：，3.設O是原點，向量對應的復數(shù)分別為，那么向量對應的復數(shù)是（）A.B.C.D.【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的幾何意義】解：D點撥：4.下列n的取值中，使=1(i是虛數(shù)單位）的是（）A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式】解：因為，故選C.5.設是復數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，則對虛數(shù)單位，（）A.8B.6C.4D.2【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式】解：，則最小正整數(shù)為4，選C.6.若復數(shù)為純虛數(shù)，試求實數(shù)的值.【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式】解：若復數(shù)為純虛數(shù)，則能力型師生共研7.若θ∈(eq\f(3π,4)，eq\f(5π,4))，則復數(shù)(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在復平面內(nèi)所對應的點在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【知識點：復數(shù)的幾何意義；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：B.∵θ∈(eq\f(3π,4)，eq\f(5π,4))，∴cosθ＋sinθ<0，sinθ－cosθ>0.∴選B.8.復數(shù)復數(shù)(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數(shù)，則有（）A.a＝－1B.a≠－1且a≠2C.a≠－1D.a≠2【知識點：純虛數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學思想：分類討論】解：C.若一個復數(shù)不是純虛數(shù)，則該復數(shù)是一個虛數(shù)或是一個實數(shù).當a2－a－2≠0時，已知的復數(shù)一定不是純虛數(shù)，解得a≠－1且a≠2；當a2－a－2＝0且|a－1|－1＝0時，已知的復數(shù)也不是一個純虛數(shù)，解得a＝2.綜上所述，當a≠－1時，已知的復數(shù)不是一個純虛數(shù).9.集合｛Z︱Z＝｝，用列舉法表示該集合，這個集合是（）A.｛0，2，－2｝B.｛0，2｝C.｛0，2，－2，2｝D.｛0，2，－2，2，－2｝【知識點：復數(shù)的乘法運算】解：A點撥：根據(jù)成周期性變化可知.10.設A、B為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則復數(shù)z＝(cosB－tanA)＋tanBi對應的點位于復平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【知識點：復數(shù)的幾何意義；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：B探究型多維突破11復數(shù)z1=3+4i，z2=0，z3=c+(2c-6)i在復平面內(nèi)對應的點分別為A?B?C，若∠BAC是鈍角，求實數(shù)c的取值范圍.【知識點：復數(shù)的幾何意義，代數(shù)形式】解：在復平面內(nèi)三點坐標分別為A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c-6)，由∠BAC是鈍角得<0，且B?A?C不共線，由(-3，-4)·(c-3，2c-10)<0解得c>其中當c=9時，，三點共線，故c≠9.∴c的取值范圍是12.在復平面內(nèi)，滿足下列復數(shù)形式方程的動點Z的軌跡是什么？（1）|z-1-i|=|z+2+i|；（2）|z+i|+|z-i|=4；（3）|z+2|-|z-2|=1；（4）若將（2）中的等于改為“≤”呢？【知識點：復數(shù)四則運算及復數(shù)幾何意義】解：（1）直線；（2）橢圓；（3）雙曲線；（4）橢圓及其內(nèi)部自助餐1.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z=i2015的虛部是（）A.0B.﹣1C.1D.﹣i【知識點：復數(shù)的乘法運算】解：D2.設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)1﹣2i+3i2﹣4i3等于（）A.﹣2﹣6iB.﹣2+2iC.4+2iD.4﹣6i【知識點：復數(shù)的乘法運算】解：B3.實數(shù)x，y滿足（1+i）x+（1﹣i）y=2，則xy的值是（）A.2B.1C.﹣1D.﹣2【知識點：復數(shù)的運算、復數(shù)相等的概念】解：B4.設復數(shù)z=1+bi（b∈R）且|z|=2，則復數(shù)的虛部為（）A.B.C.D.【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式、復數(shù)的?！拷猓篋5.2＋eq\r(7)，eq\f(2,7)i，0，8＋5i，(1－eq\r(3))i，0.618這幾個數(shù)中，純虛數(shù)的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.3【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式】解：C.eq\f(2,7)i，(1－eq\r(3))i是純虛數(shù)，2＋eq\r(7)，0，0.618是實數(shù)，8＋5i是虛數(shù).6.已知復數(shù)z＝eq\f(1,a－1)＋(a2－1)i是實數(shù)，則實數(shù)a的值為()A.1或－1B.1C.－1D.0或－1【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式】解：C.因為復數(shù)z＝eq\f(1,a－1)＋(a2－1)i是實數(shù)，且a為實數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a－1≠0，))解得a＝－17.復數(shù)z＝icosθ，θ∈[0，2π)的幾何表示是()A.虛軸B.虛軸除去原點C.線段PQ，點P，Q的坐標分別為(0，1)，(0，－1)D.C中線段PQ，但應除去原點【知識點：復數(shù)的幾何意義；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：C8.已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，則m＋n＝________.【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式】解：－10根據(jù)復數(shù)相等的充要條件可知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－5n＝3n，,3＝－(m＋5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－8，,n＝－2.))所以m＋n＝－10.9.若復數(shù)(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虛數(shù)，則實數(shù)m滿足________.【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式】解：m≠－1且m≠6.因為m2－3m－4＋(m2－5m－6)i是虛數(shù)，所以m2－5m－6≠0，所以m≠－1且m≠6.10.如果(m＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然數(shù)m，n的值？【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學思想：分類討論】解：因為(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以(m＋n)－(m2－3m)i是實數(shù)，從而有m2－3m=0，且(m＋n)>－1解得m＝0或m＝3，當m＝0時，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；當m＝3時，代入②得n<－1，與n是自然數(shù)矛盾，綜上可得m＝0，n＝1.11.設復數(shù)z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i，(1)當實數(shù)m為何值時，z是純虛數(shù)？(2)當實數(shù)m為何值時，z是實數(shù)？【知識點：復數(shù)的概念、復數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學思想：分類討論】解：(1)因為復數(shù)z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i是純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3＞0，,lg(m2－2m－3)＝0，,m2＋3m＋2≠0.))解得m＝1±eq\r(5)，所以當m＝1±eq\r(5)時，z是純虛數(shù).(2)因為復數(shù)z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i是實數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3＞0，,m2＋3m＋2＝0，))解得m＝－2，所以當m＝－2時，z是實數(shù).12.已知復數(shù)|z|＝1，求復數(shù)|3＋4i＋z|的最大值及最小值.【知識點：復數(shù)的幾何意義；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：令ω＝3＋4i＋z，則z＝ω－(3＋4i).∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，∴復數(shù)ω在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是以(3，4)為圓心，1為半徑的圓，∴對應的復數(shù)ωA的模最大為5＋1＝6；對應的復數(shù)ωB的模最小，為5－1＝4，∴復數(shù)|3＋4i＋z|的最大值及最小值分別為6和4.數(shù)學視野自然數(shù)的產(chǎn)生，起源于人類在生產(chǎn)和生活中計數(shù)的需要.開始只有很少幾個自然數(shù)，后來隨著生產(chǎn)力的發(fā)展和記數(shù)方法的改進，逐步認識越來越多的自然數(shù).從某種意義上說，幼兒認識自然數(shù)的過程，就是人類祖先認識自然數(shù)的過程的再現(xiàn).隨著生產(chǎn)的發(fā)展，在土地測量、天文觀測、土木建筑、水利工程等活動中，都需要進行測量.在測量過程中，常常會發(fā)生度量不盡的情況，如果要更精確地度量下去，就必然產(chǎn)生自然數(shù)不夠用的矛盾.這樣，分數(shù)就應運而生.據(jù)數(shù)學史書記載，三千多年前埃及紙草書中已經(jīng)記有關(guān)于分數(shù)的問題.引進分數(shù)，這是數(shù)的概念的第一次擴展.最初人們在記數(shù)時，沒有“零”的概念.后來，在生產(chǎn)實踐中，需要記錄和計算的東西越來越多，逐漸產(chǎn)生了位值制記數(shù)法.有了這種記數(shù)法，零的產(chǎn)生就不可避免的了.我國古代籌算中，利用“空位”表示零.公元6世紀，印度數(shù)學家開始用符號“0”表示零.但是，把“0”作為一個數(shù)是很遲的事.引進數(shù)0，這是數(shù)的概念的第二次擴充.以后，為了表示具有相反意義的量，負數(shù)概念就出現(xiàn)了.我國是認識正、負數(shù)最早的國家，《九章算術(shù)》中就有了正、負數(shù)的記載.在歐洲，直到17世紀才對負數(shù)有一個完整的認識.引進負數(shù)，這是數(shù)的概念的第三次擴充.數(shù)的概念的又一次擴充淵源于古希臘.公元前5世紀，古希臘畢達哥拉斯(Pythagqras，約公元前580～前500)學派發(fā)現(xiàn)了單位正方形的邊長與對角線是不可公度的，為了得到不可公度線段比的精確數(shù)值，導致了無理數(shù)的產(chǎn)生.當時只是用幾何的形象來說明無理數(shù)的存在，至于嚴格的實數(shù)理論，直到19世紀70年代才建立起來.引進無理數(shù)，形成實數(shù)系，這是數(shù)的概念的第四次擴充.數(shù)的概念的再一次擴充，是為了解決數(shù)學自身的矛盾.16世紀前半葉，意大利數(shù)學家塔爾塔利亞發(fā)現(xiàn)了三次方程的求根公式，膽地引用了負數(shù)開平方的運算，得到了正確答案.由此，虛數(shù)作為一種合乎邏輯的假設得以引進，并在進一步的發(fā)展中加以運用，成功地經(jīng)受了理論和實踐的檢驗，最后于18世紀末至19世紀初確立了虛數(shù)在數(shù)學中的