1/5向量數量積的物理背景與定義學習目標：1、利用物理中功的概念了解平面向量數量積的物理背景，理解向量的數量積概念及幾何意義；能夠運用這一概念求兩個向量的數量積，并能根據條件逆用等式求向量的夾角；2、掌握由定義得到的數量積的5條重要性質，并能運用性質進行相關的判斷和運算；3、了解用平面向量數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，培養學生的應用意識.學習過程一、課前準備復習：1、向量加法和減法運算的兩個法則是和.2、向量數乘運算的定義是.思考：通過前面的學習我們知道向量的運算有向量的加法、減法、數乘，那么向量與向量能否“相乘”呢？二、新課導學探究1：如下圖，如果一個物體在力的作用下產生位移，那么力所做的功=，其中是.思考:這個公式的有什么特點？請完成下列填空：F（力）是量；S（位移）是量；是；W（功）是量；結論：功是一個標量，功是力與位移兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積啟示：能否把“功”看成是力與位移這兩個向量的一種運算的結果呢？新知1：向量的數量積（或內積）的定義已知兩個非零向量和，我們把數量叫做和的數量積（或內積），記作.說明：①記法“·”中間的“·”不可以省略，也不可以用“”代替;②兩個非零向量夾角的概念：非零向量與，作＝，＝，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角（兩向量必須是同起點的）,特別地：當θ＝０時，與同向；當θ＝π時，與反向；當θ＝時，與垂直，記⊥；=3\*GB3③“規定”：零向量與任何向量的數量積為零，即。探究2：向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數量積大小因素有哪些？期望學生回答：線性運算的結果是向量；數量積的結果則是數，這個數值的大小不僅和向量與的模有關，還和它們的夾角有關.這個數的符號由cos的符號所決定.學生討論，完成下表：的范圍0°≤<90°=90°0°<≤180°·的符號新知2：向量的數量積（或內積）幾何意義（1）向量投影的概念：如圖，我們把叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影.說明：如圖，.向量投影也是一個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當當=0時投影為||；當＝９０時投影為0；當=180時投影為||作圖：（2）向量的數量積的幾何意義：數量積·等于的長度︱︱與在的方向上的投影︱︱cos的乘積。新知3：由定義得到的數量積的結論設和都是非零向量，是與的夾角，則⑴當與垂直時，，即；⑵當與同向時，，=；當與反向時，，=；⑶當，即=，或；⑷cos==5\*GB2⑸因為，所以.三、典型例題例1已知，，和的夾角為，求？變式1：若，求.變式2：若，求.變式3：已知，，=-10，求與的夾角.變式4：已知，，=-10，求向量在向量的方向上的投影.例2.判斷下列命題的真假，并說明理由.⑴在中，若，則是銳角三角形；⑵為直角三角形，則.特別注意：在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的，范圍是０≤θ≤π四、總結提升1.向量數量積的定義及幾何意義；2.由定義推出的數量積的相應結論.3．在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的，范圍是０≤θ≤π學習自我評價：你完成本節導學案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差五當堂檢測：1.在平行四邊形中，，，，則為（）A.4B.-4C.8D.-82.設，，，則與的夾角為（）A.B.C.D.3.已知，，，當時，為（）A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形4.已知平面內三個點，則向量與的夾角為（）A.B.C.D.5.已知，，且，則向量在向量的方向上的投影為.6.已知，在方向上的投影為，則=；7.已知向量滿足，則.六、課后作業已知，與的夾角為，求：⑴；⑵；⑶.2、已知，，=，求與的夾角.3、已知為單位向量，當之間夾角分別為時，畫圖表示在方向上的投影，并求其值.4.若四邊形滿足，且，則四邊形是（）.A.平行四邊