上海市上海外國語附屬外國語學校2025年數學高二第二學期期末考試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．若為假命題，則均為假命題C．對于命題：，使得，則：，均有D．“”是“”的充分不必要條件2．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x3．已知定義在R上的增函數f(x)，滿足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，則f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正負都有可能4．設定點，動圓過點且與直線相切.則動圓圓心的軌跡方程為（）A． B． C． D．5．已知三角形的面積是，，，則b等于()A．1 B．2或1 C．5或1 D．或16．極坐標系內,點到直線的距離是(

)A．1 B．2 C．3 D．47．若“直線與圓相交”，“”；則是()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．拋物線的焦點坐標為A．（0，2） B．（2，0） C．（0，4） D．（4，0）9．某班級要從四名男生、兩名女生中選派四人參加某次社區服務，則所選的四人中至少有一名女生的選法為（）A． B． C． D．10．若x∈0,2π，則不等式x+A．0,π B．π4,5π411．高二（3）班共有學生56人，現根據座號，用系統抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號、31號、45號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的座號是A．15 B．16 C．17 D．1812．已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=1，平面區域Ω:x+y-6≤0x-y+4≥0y≥0A．-∞,-73∪75,+∞二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓焦距與長軸之比的比值是______.14．在極坐標系中，點到直線的距離為_____.15．在等差數列中,,則________16．設函數，，對于任意的，不等式恒成立，則正實數的取值范圍________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列各項均為正數，滿足．（1）求，，的值；（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明你的結論．18．（12分）已知正三棱柱中，，點為的中點，點在線段上.（Ⅰ）當時，求證；（Ⅱ）是否存在點，使二面角等于60°？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.19．（12分）將下列參數方程化為普通方程：（1）（為參數）；（2）（為參數）.20．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）求函數在上的最大值和最小值；21．（12分）已知函數f(x)=ln(ax)+bx在點（1，f(1)）處的切線是y=0；(I)求函數f(x)的極值；(II)當恒成立時,求實數m的取值范圍(e為自然對數的底數)22．（10分）設且，函數.（1）當時，求曲線在處切線的斜率；（2）求函數的極值點．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由原命題與逆否命題的關系即可判斷A；由復合命題的真值表即可判斷B;由特稱命題的否定是全稱命題即可判斷C；根據充分必要條件的定義即可判斷D；．【詳解】A．命題：“若p則q”的逆否命題為：“若￢q則￢p”，故A正確；B．若p∧q為假命題，則p，q中至少有一個為假命題，故B錯．C．由含有一個量詞的命題的否定形式得，命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p為：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正確；D．由x2﹣3x+2＞0解得，x＞2或x＜1，故x＞2可推出x2﹣3x+2＞0，但x2﹣3x+2＞0推不出x＞2，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要條件，即D正確故選：B．本題考查簡易邏輯的基礎知識：四種命題及關系，充分必要條件的定義，復合命題的真假和含有一個量詞的命題的否定，這里要區別否命題的形式，本題是一道基礎題．2、A【解析】分析：根據離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛：已知雙曲線方程x2a23、A【解析】因為f(x)在R上的單調增,所以由x2＋x1>0，得x2>-x1,所以同理得即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0,選A.點睛：利用函數性質比較兩個函數值或兩個自變量的大小，首先根據函數的性質構造某個函數，然后根據函數的奇偶性轉化為單調區間上函數值，最后根據單調性比較大小，要注意轉化在定義域內進行4、A【解析】

由題意，動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，求得，即可得到答案．【詳解】由題意知，動圓圓心到定點與到定直線的距離相等，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，則方程為故選A本題考查拋物線的定義，屬于簡單題．5、D【解析】

由三角形面積公式，計算可得的值,即可得B的值,結合余弦定理計算可得答案.【詳解】根據題意:三角形的面積是,即,又由，則則或，若則此時則；若,則,此時則；故或.故選：D.本題考查三角形的面積公式,考查余弦定理在解三角形中的應用,難度較易.6、B【解析】

通過直角坐標和極坐標之間的互化，即可求得距離.【詳解】將化為直角坐標方程為，把化為直角坐標點為，即到直線的距離為2，故選B.本題主要考查極坐標與直角坐標之間的互化，點到直線的距離公式，難度不大.7、B【解析】

直線y＝x+b與圓x2+y2＝1相交?1，解得b．即可判斷出結論．【詳解】直線y＝x+b與圓x2+y2＝1相交?1，解得．∴“直線y＝x+b與圓x2+y2＝1相交”是“0＜b＜1”的必要不充分條件．故選：B．本題考查了充分必要條件，直線與圓的位置關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8、A【解析】

根據拋物線標準方程求得，從而得焦點坐標．【詳解】由題意，，∴焦點在軸正方向上，坐標為．故選A．本題考查拋物線的標準方程，屬于基礎題．解題時要掌握拋物線四種標準方程形式．9、A【解析】所選的四人中至少有一名女生的選法為本題選擇A選項.10、D【解析】

由絕對值三角不等式的性質得出xsinx<0，由0<x<2π，得出【詳解】因為x+sinx又x∈(0,2π)，所以sinx<0，x∈(π,2π)，故選：D本題考查絕對值三角不等式的應用，再利用絕對值不等式時，需要注意等號成立的條件，屬于基礎題。11、C【解析】試題分析：由系統抽樣的特點—等距離可得，∴3號、17號、號、號同學在樣本中.考點：系統抽樣.12、A【解析】

分析：畫出可行域，由可行域結合圓C與x軸相切，得到b=1且-3≤a≤5，從而可得結果.詳解：畫出可行域如圖，由圓的標準方程可得圓心C(a,b)，半徑為1因為圓C與x軸相切，所以b=1，直線y=1分別與直線x+y-6=0與x-y+4=0交于點B5,1所以-3≤a≤5，圓心C(a,b)與點（2,8-3≤a<2時，k∈72<a≤5時k∈-所以圓心C(a,b)與點（2,8）連線斜率的取值范圍是-點睛：本題主要考查可行域、含參數目標函數最優解，屬于中檔題.含參變量的線性規劃問題是近年來高考命題的熱點，由于參數的引入，提高了思維的技巧、增加了解題的難度，此類問題的存在增加了探索問題的動態性和開放性，此類問題一般從目標函數的結論入手，對目標函數變化過程進行詳細分析，對變化過程中的相關量的準確定位，是求最優解的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列,列出關于的關系式再求解即可.【詳解】設橢圓長軸長,短軸的長,焦距為,則有,故,所以,故,化簡得,即,故,故橢圓焦距與長軸之比的比值是.故答案為：本題主要考查了橢圓的基本量的基本關系與離心率的計算,屬于基礎題型.14、【解析】

把點的極坐標化為直角坐標，把直線的極坐標方程化為直角坐標方程，利用點到直線的距離公式求出A到直線的距離．【詳解】解：點A（2，）的直角坐標為（0，2），直線ρ（cosθ+sinθ）＝6的直角坐標方程為x+y﹣6＝0，利用點到直線的距離公式可得，點A（2，）到直線ρ（cosθ+sinθ）＝6的距離為，故答案為.本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題．15、40【解析】

根據前項和公式，結合已知條件列式求得的值.【詳解】依題意.本小題主要考查等差數列前項和公式，屬于基礎題.16、【解析】

先分析的單調性，然后判斷的正負，再利用恒成立的條件確定的范圍.【詳解】，令，則，所以在單調遞減，在單調遞增，則；，令，則，所以在單調遞增，在單調遞減，則；當，所以不成立，故；因為恒成立，所以恒成立，所以，即，解得，即.恒成立問題解題思路：當恒成立時，則；存在性問題解題思路：當存在滿足時，則有.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，；（2）猜想：；證明見解析.【解析】

（1）分別代入，根據，解方程可求得結果；（2）猜想，驗證時成立；假設時成立，則時，利用假設可證得結論成立，從而證得結果.【詳解】（1）當時，，又當時，，解得：當時，，解得：(2)猜想：證明：（1）當時，由（1）可知結論成立；（2）假設當時，結論成立，即成立，則當時，由與得：又成立根據（1）、（2）猜想成立，即：本題考查數列中的項的求解、利用數學歸納法證明問題.利用數學歸納法證明時，要注意在證明時結論成立時，必須要用到時假設成立的結論，屬于常規題型.18、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）存在點,當時，二面角等于.【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：連接，由為正三棱柱為正三角形，又平面平面平面.易得丄平面.（Ⅱ）假設存在點滿足條件，設.由丄平面，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為．試題解析：（Ⅰ）證明：連接，因為為正三棱柱，所以為正三角形，又因為為的中點，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因為，所以，所以在中，，在中，，所以，即.又，所以丄平面，面，所以.（Ⅱ）假設存在點滿足條件，設.取的中點，連接，則丄平面，所以，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，令，得，同理，平面的一個法向量為，則，取，∴.∴，解得，故存在點,當時，二面角等于.19、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）分別分離處參數中的，根據同角三角函數的基本關系式，即可消去參數得到普通方程；（2）由參數方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.試題解析：（1）∵，∴，兩邊平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.考點：曲線的參數方程與普通方程的互化.20、(1)在上單調遞增，在上單調遞減.(2)最大值為0，最小值為.【解析】

通過求導函數判斷函數單調性，進而判斷函數在的最值.【詳解】（1）的定義域為.對求導得，因函數定義域有，故，由.∴在上單調遞增，在上單調遞減.（2）由（1）得在上單調遞增，在上單調遞減，∴在上的最大值為.又，，且，∴在上的最小值為，∴在上的最大值為0，最小值為.此題是函數單調性和函數最值的常見題，通常利用導數來處理．21、(1)的極大值為，無極小值；(2).【解析】分析：（1）先根據導數幾何意義得解得b,再根據得a，根據導函數零點確定單調區間，根據單調區間確定極值，（2）先化簡不等式為，再分別求左右兩個函數最值得左邊最小值與右邊最大值同時取到，則不等式轉化為，解得實數m的取值范圍.詳解：（1）因為，所以因為點處的切線是，所以，且所以，即所以，所以在上遞增，在上遞減，所以的極大值為，無極小值（2）當恒成立時,由（1），即恒成立，設，則，，又因為，所以當時，；當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增，；在上單調遞增，在上單調遞減，.所以均在處取得最值，所以要使恒成立，只需，即解得，又，所以實數的取值范圍是.點睛：利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.22、(1).(2)見解析.【解析】試題分析：（1）由已知中函數，根據a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．（2）由已知我們易求出函數的導函數，令導函數值為0，我們則求出導函數的零點，根據m＞0，我們可將函數的定義域分成若干個區間，分別在每個區間上討論導函數的符號，即可得到函數函