PAGE8/15選修1-22.1.1類比推理（陳昌杰）一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)通過(guò)對(duì)類比推理的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的類比推理，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.2.學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)了解類比推理的含義；(2)能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)了解類比推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)類比推理本質(zhì)的理解，以及如何進(jìn)行類比推理.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1閱讀教材P22—P29思考：什么是推理？什么是合情推理？任務(wù)2什么是類比推理？類比推理有何特點(diǎn)？類比推理有什么作用？2.預(yù)習(xí)自測(cè)1.下列說(shuō)法中正確的是（）A.合情推理就是正確的推理B.合情推理就是歸納推理C.歸納推理是從一般到特殊的推理過(guò)程D.類比推理是從特殊到特殊的推理過(guò)程答案：D2.下列推理正確的是（）A.把a(bǔ)(b＋c)與lg(x＋y)類比，則lg(x＋y)＝lgx＋lgyB.把a(bǔ)(b＋c)與sin(x＋y)類比，則sin(x＋y)＝sinx＋sinyC.把a(bǔ)(b＋c)與ax＋y類比，則ax＋y＝ax＋ayD.把a(bǔ)(b＋c)與a(b＋c)類比，則a·(b＋c)＝a·b＋a·c答案：D由向量的運(yùn)算性質(zhì)知，a·(b＋c)＝a·b＋a·c正確.答案為D3.立體幾何中與平面幾何中的三角形做類比對(duì)象的是（）A.三棱柱B.三棱臺(tái)C.三棱錐D.正方體答案：C4.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ俑骼忾L(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等.A.①B.③C.①②D.①②③答案：D（二）課堂設(shè)計(jì)現(xiàn)代起重機(jī)的掛鉤起源于許多動(dòng)物的爪子現(xiàn)代起重機(jī)的掛鉤起源于許多動(dòng)物的爪子1.仿生學(xué)中許多發(fā)明的最初構(gòu)想都是類比生物機(jī)制得到的.2.有個(gè)人的母親，篤信佛，一天到晚念“南無(wú)阿彌陀佛”.于是有一天，這個(gè)人一早起來(lái)便喊：“媽！”母親答應(yīng)了他.過(guò)一會(huì)他又喊：“媽！”母親又答應(yīng)了他.可這個(gè)人還是沒(méi)完沒(méi)了地喊.母親終于被喊煩了，便沒(méi)好氣地說(shuō)：“不在！不在！你煩不煩？”這個(gè)人笑著說(shuō)：“我才喊了您幾聲，您就不高興了.那阿彌陀佛每天不知被您喊多少遍，不知他該怎樣發(fā)脾氣呢！”提問(wèn)：這還是歸納推理嗎？（類比推理.讓學(xué)生對(duì)照歸納推理的特點(diǎn)作出判斷）.3.火星存在生命嗎？這是一個(gè)憑空的推斷還是科學(xué)猜想？地球火星行星、圍繞太陽(yáng)運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)行星、圍繞太陽(yáng)運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)有大氣層有大氣層在一年中有季節(jié)的變更在一年中有季節(jié)的變更溫度適合生物的生存大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存有生命存在猜想：可能有生命存在提問(wèn)：你能說(shuō)說(shuō)這些問(wèn)題中用到的推理方法的含義嗎？問(wèn)題探究二類比推理的含義●活動(dòng)一什么是類比推理？由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）.●活動(dòng)二類比推理的特點(diǎn)1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測(cè)正在研究的事物的屬性，是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性.3.類比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠，單它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.●活動(dòng)三如何進(jìn)行類比推理？一般步驟：（1）找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；（2）用一類對(duì)象的特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；（3）檢驗(yàn)這個(gè)猜想.（結(jié)論未必正確）問(wèn)題探究三重點(diǎn)難點(diǎn)突破（1）常見(jiàn)類型：①由等差數(shù)列的某些性質(zhì)類比到等比數(shù)列的某些性質(zhì)；②由平面圖形的某些性質(zhì)類比到空間立體圖形的某些性質(zhì)；解決時(shí)要從數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手.(2)常用類比對(duì)象：線→線、面，面→面、體，三角形→四面體，圓→球，邊長(zhǎng)→邊長(zhǎng)、面積，面積→體積，線線角→面面角等.●活動(dòng)一由平面圖形的某些性質(zhì)類比到空間立體圖形的某些性質(zhì)例1：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.ＡＢＡＢＣabcc2=a2+b2【知識(shí)點(diǎn)：類比推理，猜想與證明】猜想：點(diǎn)拔：由三角形向四體的類比，可以實(shí)現(xiàn)由平面向空間的類比，線向面的類比，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論.在直角三角形中有勾股定理，在空間中有沒(méi)有類似的結(jié)論呢？例2.在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：.在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明理由.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理，猜想與證明】詳解：如圖右所示，在Rt△ABC中，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴.又∵BC2＝AB2＋AC2，∴.猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想在四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD于E，則.如上圖，連接BE交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∵AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴.∴.●活動(dòng)二由平面圖形中的圓某些性質(zhì)類比到空間立體圖形球的某些性質(zhì)例3.找出圓與球的相似之處，并用圓的性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì).完成下表中的空白.圓球(1)圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的直線垂直于弦(1)______________________________(2)與圓心距離相等的弦長(zhǎng)相等(2)______________________________(3)圓的周長(zhǎng)(3)______________________________(4)圓的面積(4)______________________________【知識(shí)點(diǎn)：類比推理，猜想與證明】詳解：(1)球心與截面圓(不過(guò)球心的小截面圓)圓心的連線垂直于截面(2)與球心的距離相等的兩個(gè)截面圓的面積相等(3)球的表面積(4)球的體積點(diǎn)拔：球與圓有許多類似之處，從概念上講，都是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等，都有直徑和半徑，從平面向空間實(shí)現(xiàn)類比，將點(diǎn)與線、線與面、面積向體積等進(jìn)行類比.●活動(dòng)三平面曲線中的圖形之間類比例4.在圓中，AB為直徑，C為圓上異于AB的任意一點(diǎn)，則有，你能用類比的方法得出橢圓中有什么樣的結(jié)論.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理，猜想與證明】詳解：設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則A點(diǎn)關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則.由于A，B，P三點(diǎn)都在橢圓上.所以兩式相減有，所以，即.故橢圓中過(guò)中心的一條弦的兩個(gè)端點(diǎn)A，B，P為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，則有.點(diǎn)拔：圓與橢圓的類比不光是斜率的問(wèn)題，還有面積的類比，如圓的面積公是，橢圓的面積公式是，其中r是圓的半徑，a、b分別是橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸的長(zhǎng).3.課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】（1）由兩個(gè)（兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤换蚱渲幸活悓?duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）.簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.（2）類比推理的一般步驟：①找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；②用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；③檢驗(yàn)猜想.即觀察、比較觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論【難點(diǎn)突破】（1）類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)，類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠.（2）類比推理的特點(diǎn)①類比是從特殊到特殊的推理，是根據(jù)兩類不同對(duì)象已具有的某些相似性質(zhì)，而聯(lián)想到它們?cè)谄渌矫婵赡芤灿邢嗨频男再|(zhì)，從而由一類對(duì)象的已知的某項(xiàng)性質(zhì)，猜測(cè)出另一類對(duì)象也可能有此項(xiàng)相應(yīng)的性質(zhì)而得到一個(gè)明確的結(jié)論，類比結(jié)論有明顯的猜想和創(chuàng)新的特性.所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍；②類比所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍，結(jié)論不一定真.③類比的前提是兩類對(duì)象之間有可比性，所謂可比性是指：它們之間有可以清楚定義的某些共同特征.而且兩類對(duì)象之間的相似性質(zhì)越多，類比所得的性質(zhì)的可靠性越大；（3）類比推理的結(jié)論未必真，欲知真假需證明.4.隨堂檢測(cè)1.三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r，a，b，c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為（）A.V＝eq\f(1,3)abcB.V＝eq\f(1,3)ShC.V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)·r（S1，S2，S3，S4分別為四面體的四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑）D.V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)·h(h為四面體的高)【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：C平面幾何與立體幾何的類比，類比的知識(shí)點(diǎn)有：面積與體積，邊長(zhǎng)與面積，圓與球.因此，應(yīng)選C，答案為C2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間，在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的方程為（）A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ac)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1D.ax＋by＋cz＝1【知識(shí)點(diǎn)：類比推理；數(shù)學(xué)思想：推理論證】解：A3.圓的面積S＝πr2，周長(zhǎng)c＝2πr，兩者滿足c＝S′(r)，類比此關(guān)系寫出球的公式的一個(gè)結(jié)論是：________.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：V球＝eq\f(4,3)πR3，S球＝4πR2，滿足S＝V′(R)圓的面積、周長(zhǎng)分別與球的體積和表面積類比可得，球的體積V＝eq\f(4,3)πR3，表面積S＝4πR2，滿足S＝V′(R).答案為V球＝eq\f(4,3)πR3，S球＝4πR2，滿足S＝V′(R).4.等差數(shù)列{an}中，有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，類比以上結(jié)論，在等比數(shù)列{bn}中類似的結(jié)論是________.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：beq\o\al(2,n)＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)5.坐標(biāo)平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為.類比以上結(jié)論，若△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC重心G的坐標(biāo)為_(kāi)_______.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ俑骼忾L(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等A.①B.①②C.①②③D.③答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】對(duì)于①：正四面體中，各棱長(zhǎng)相等，各側(cè)面是全等的等邊三角形，因此，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；①正確；對(duì)于②：∵正四面體中，各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角中，它們有共同的高，底面三角形的中心到對(duì)棱的距離相等，∴相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等，②正確；對(duì)于③：∵各個(gè)面都是全等的正三角形，∴各面都是面積相等的三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等，③正確.∴①②③都是合理、恰當(dāng)?shù)?故選C.2.如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率等于（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：A類比“黃金橢圓”，在黃金雙曲線中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由題意可知，∵，又，整理得，∴，，又，所以選A.3.平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，類比可得，在空間有（）A.平行于同一直線的兩直線平行；B.平行于同一直線的兩平面平行；C.平行于同一平面的兩直線平行；D.平行于同一平面的兩平面平行.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：D利用類比推理，平面中的直線與空間中的平面類比，即可得空間中平行于同一平面的兩平面平行.4.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)（2，3）與點(diǎn)（3，2）重合，且點(diǎn)（2005，2006）與點(diǎn)（m，n）重合，則m，n分別為（）A.2005，2005；B.2006，2006；C.2005，2006；D.2006，2005.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：D由于（2，3）與（3，2）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，(2005，2006)與(m，n)也關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故m=2006，n=2005.5.在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊.類比上述性質(zhì)：在三棱錐中，我們可以得到：__________________________.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：任意三個(gè)表面的面積之和大于第四個(gè)表面的面積.6.在項(xiàng)數(shù)為（），公差為的等差數(shù)列中，偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和的差等于.類比可得：在項(xiàng)數(shù)為（），公比為的等比數(shù)列中，.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的商為能力型師生共研8.已知等差數(shù)列中，有，則有成立.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，則我們可以得到等式：________________________.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：等差數(shù)列中，有，則有，類比推理，在等比數(shù)列若，則存在的等式是.9.半徑為的圓的面積，周長(zhǎng)，若將看作(0，＋∞)上的變量，則.①，①式可用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù).對(duì)于半徑為的球，若將看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于①式的式子：_______________________，你所寫的式子可用語(yǔ)言敘述為_(kāi)______________________.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù).10.定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列，是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為，這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和的計(jì)算公式為.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，11.已知兩個(gè)圓：①與②，則由①式減去②式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，既要求得到一個(gè)更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個(gè)特例，推廣的命題為.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：設(shè)圓的方程為③與④，其中或，則由③式減去④式可得兩圓的對(duì)稱軸方程.探究型多維突破1.設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，可求得的值.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：11，∴，∴2.若記號(hào)“*”表示兩個(gè)實(shí)數(shù)與的算術(shù)平均的運(yùn)算，即，則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“+”，且對(duì)于任意個(gè)實(shí)數(shù)都能成立的一個(gè)等式可以是.【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：此題答案不唯一還有：等（四）自助餐1.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間，在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的方程為（）A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ac)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1D.ax＋by＋cz＝1【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】答案：A2.下面類比推理中恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ〢.若“a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B.“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”C.“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”D.“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：B3.類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊(2)中位線長(zhǎng)等于底邊的一半(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：(1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積(2)過(guò)四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于第四個(gè)面面積的eq\f(1,4)(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)其中類比推理方法正確的有（）A.(1)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.都不對(duì)【知識(shí)點(diǎn)：類比推理】解：C4.六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體.如圖甲，在□ABCD中，有，那么在圖乙所示