浙江省公立寄宿學校2025年數學高二第二學期期末統考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知分別為四面體的棱上的點,且,,,,則下列說法錯誤的是（）A．平面 B．C．直線相交于同一點 D．平面2．已知函數是定義在上的偶函數，且，若對任意的，都有成立，則不等式的解集為（）A． B．C． D．3．已知將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為（）A． B． C． D．4．已知函數，若對于任意的，都有成立，則的最小值為（）A．4 B．1 C． D．25．把4個蘋果分給兩個人，每人至少一個，不同分法種數有()A．6 B．12 C．14 D．166．定義在（0，+∞）上的函數f（x）的導數滿足x2＜1，則下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+17．記為等比數列的前項和.若，，則（）A．2 B．-4 C．2或-4 D．48．函數的導函數為，若不等式的解集為，且的極小值等于，則的值是()。A． B． C．5 D．49．函數，，若，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個大于，反證假設正確的是()A．假設三內角都大于 B．假設三內角都不大于C．假設三內角至多有一個大于 D．假設三內角至多有兩個大于11．()A． B． C． D．12．甲、乙、丙三位同學站成一排照相，則甲、丙相鄰的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線與軸只有一個交點，則_____．14．為計算，設計了下面的程序框圖，則在空白框中應填入______.15．曲線在x=1處的切線方程是____________.16．已知向量，，，，若，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在某項體能測試中，規定每名運動員必需參加且最多兩次，一旦第一次測試通過則不再參加第二次測試，否則將參加第二次測試.已知甲每次通過的概率為23，乙每次通過的概率為1(Ⅰ)求甲乙至少有一人通過體能測試的概率；(Ⅱ)記X為甲乙兩人參加體能測試的次數和，求X的分布列和期望.18．（12分）阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數學家、物理學家，對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻.為調查中學生對這一偉大科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.他們的調查結果如下：0項1項2項3項4項5項5項以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列聯表，并判斷是否有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關？比較了解不太了解合計理科生文科生合計（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.（i）求抽取的文科生和理科生的人數；（ii）從10人的樣本中隨機抽取3人，用表示這3人中文科生的人數，求的分布列和數學期望.參考數據：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.19．（12分）已知函數，.（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，若存在，使不等式成立，求的最小值.20．（12分）在直角坐標系中，將單位圓上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變，得到曲線，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系．(1)求曲線的參數方程；(2)設為曲線上一點，點的極坐標為，求的最大值及此時點的坐標．21．（12分）已知O是平面直角坐標系的原點，雙曲線.（1）過雙曲線的右焦點作x軸的垂線，交于A、B兩點，求線段AB的長；（2）設M為的右頂點，P為右支上任意一點，已知點T的坐標為，當的最小值為時，求t的取值范圍；（3）設直線與的右支交于A，B兩點，若雙曲線右支上存在點C使得，求實數m的值和點C的坐標.22．（10分）某學校為調查高三年級學生的身高情況，按隨機抽樣的方法抽取80名學生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖（如圖（1））和女生身高情況的頻率分布直方圖（如圖（2））.已知圖（1）中身高在的男生有16名.（1）試問在抽取的學生中，男、女生各有多少名？（2）根據頻率分布直方圖，完成下面的列聯表，并判斷能有多大（百分數）的把握認為身高與性別有關？身高身高總計男生女生總計參考公式：，其中參考數據：0.400.250.100.0100.0010.7081.3232.7066.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據線面平行以及空間直線和平面的位置關系分別進行判斷即可．【詳解】，，是的中位線，，且，平面，平面，平面，故正確，，，，且，則，故B正確，是梯形，則直線，相交，設交點為，則，平面，，平面，則是平面和平面的公共點，則，即直線，，相交于同一點，故正確，因為，，所以直線與必相交，所以錯誤.故選D本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間直線和平面位置關系的判斷，根據空間直線和平面平行的性質是解決本題的關鍵．2、D【解析】

構造函數，判斷函數的單調性和奇偶性，根據其性質解不等式得到答案.【詳解】對任意的，都有成立構造函數在上遞增.是偶函數為奇函數，在上單調遞增.當時：當時：故答案選D本題考查了函數的奇偶性，單調性，解不等式，構造函數是解題的關鍵.3、B【解析】解析：因，故，因，故，則，所以，應選答案B．4、D【解析】

由題意得出的一個最大值為，一個最小值為，于此得出的最小值為函數的半個周期，于此得出答案．【詳解】對任意的，成立.所以，，所以，故選D．本題考查正余弦型函數的周期性，根據題中條件得出函數的最值是解題的關鍵，另外就是靈活利用正余弦型函數的周期公式，考查分析問題的能力，屬于中等題．5、C【解析】

給兩個人命名為甲、乙，根據甲分的蘋果數進行分類即可求出．【詳解】按照分給甲的蘋果數，有種分法，故選C．本題主要考查分類加法計數原理的應用．6、D【解析】

構造函數g（x）＝f（x），利用導數可知函數在（0，+∞）上是減函數，則答案可求．【詳解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），則g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上為單調減函數，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，則f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．綜上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故選：D．本題考查利用導數研究函數的單調性，正確構造函數是解題的關鍵，是中檔題．7、B【解析】

利用等比數列的前項和公式求出公比，由此能求出結果．【詳解】∵為等比數列的前項和，，，∴，解得，∴，故選B．本題主要考查等比數列的性質以及其的前項和等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．8、D【解析】

求導數，利用韋達定理，結合的極小值等于，即可求出的值，得到答案．【詳解】依題意，函數，得的解集是，于是有，解得，∵函數在處取得極小值，∴，即，解得，故選：D．本題主要考查了利用導數研究函數的極值，考查韋達定理的運用，著重考查了學生分析解決問題的能力，比較基礎.9、C【解析】分析：利用均值定理可得≥2，中的，即≤2，所以a≤0詳解：由均值不等式得≥2，當且僅當x=0取得≤2，，當a≤0時，≥2，≤2故本題選C點晴：本題是一道恒成立問題，恒成立問題即最值問題，本題結合均值，三角函數有界性等綜合出題，也可以嘗試特殊值方法進行解答10、B【解析】

反證法的第一步是假設命題的結論不成立，根據這個原則，選出正確的答案.【詳解】假設命題的結論不成立，即假設三角形的內角中至少有一個大于不成立，即假設三內角都不大于，故本題選B.本題考查了反證法的第一步的假設過程，理解至少有一個大于的否定是都不大于是解題的關鍵.11、C【解析】

根據定積分的運算公式，可以求接求解.【詳解】解:，故選C.本題考查了定積分的計算，熟練掌握常見被積函數的原函數是解題的關鍵.12、C【解析】分析：通過枚舉法寫出三個人站成一排的所有情況，再找出其中甲、丙相鄰的情況，由此能求出甲、丙相鄰的概率.詳解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6種，其中甲、丙相鄰有4種，所以，甲、丙相鄰的概率為.故選C.點睛：本題考查古典概型的概率的求法，解題時要注意枚舉法的合理運用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】

由曲線y＝x2+4x+m﹣1與x軸只有一個交點△＝0可求m的值．【詳解】因為與x軸只有一個交點,故,所以.故答案為5本題考查由△判定二次函數與x軸交點個數問題，屬于基礎題．14、【解析】

根據框圖作用分析即可求得空白處應該填入的語句.【詳解】由程序框圖的輸出值，結合本框圖的作用是計算，考慮，，所以空白處應該填入.故答案為：此題考查程序框圖的識別，根據已知程序框圖需要輸出的值填補框圖，關鍵在于弄清框圖的作用，準確分析得解.15、【解析】分析：根據求導公式求出導數，再求出切線的斜率和切點的坐標，代入點斜式方程化為一般式即可.詳解：由題意得，，在處的切線的斜率是，且切點坐標是，則在處的切線方程是：，即.故答案為：.點睛：1.對于曲線切線方程問題的求解，對曲線的求導是一個關鍵點，因此求導公式，求導法則及導數的計算原則要熟練掌握.2.對于已知的點，應首先確定其是否為曲線的切點，進而選擇相應的方法求解.16、【解析】

計算出向量與的坐標，利用共線向量坐標的等價條件列等式求出實數的值.【詳解】，，又，所以，，解得，故答案為.本題考查利用共線向量求參數的值，解題時要計算出相關向量的坐標，利用共線向量的坐標的等價條件列等式求解，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)3536X的分布列為；X234P111EX=2×【解析】

(Ⅰ)先求出甲未能通過體能測試的概率，然后再求出乙未能通過體能測試的概率，這樣就能求出甲、乙都未能通過體能測試的概率，根據對立事件的概率公式可以求出甲乙至少有一人通過體能測試的概率；(Ⅱ)由題意可知X=2,3,4，分別求出P(X=2)、【詳解】解:(Ⅰ)甲未能通過體能測試的概率為P1乙未能通過體能測試的概率為P2∴甲乙至少有一人通過體能測試的概率為P=1-P(Ⅱ)X=2,3,4P(X=2)=23×12∴X的分布列為X234P111∴EX=2×本題考查了相互獨立事件的概率、對立事件的概率公式、離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查了數學運算能力.18、(1)見解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）見解析【解析】

（1）寫出列聯表后可計算，根據預測值表可得沒有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關.（2）（i）文科生與理科生的比為，據此可計算出文科生和理科生的人數.（ii）利用超幾何分布可計算的分布列及其數學期望.【詳解】解：（1）依題意填寫列聯表如下：比較了解不太了解合計理科生422870文科生121830合計5446100計算，沒有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關.（2）（i）抽取的文科生人數是（人），理科生人數是（人）.（ii）的可能取值為0,1,2,3，則，，，.其分布列為0123所以.本題考查獨立性檢驗、分層抽樣及超幾何分布，注意在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）．19、（1）見解析；（2）2【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）問題等價于，令，問題轉化為求出，利用導數研究函數的單調性，利用函數的單調性求出的最小值，從而求出的最小值即可.詳解：（1）解：∵∴∴當即時，對恒成立此時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間當，即時，由，得，由，得此時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為綜上所述，當時，的單調遞增區間為,無單調遞減區間；當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為（2）解：由，得：當時，上式等價于令據題意，存在，使成立，則只需，令，顯然在上單調遞增而，∴存在，使，即又當時，，單調遞減，當時，，單調遞增∴當時，有極小值（也是最小值）∴∵，即，∴，∴又，且，∴的最小值為2.點睛：本題是以導數的運用為背景的函數綜合題，主要考查了函數思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導數問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數的幾何意義；第二層次是導數的簡單應用，包括求函數的單調區間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統內容中有關不等式甚至數列及函數單調性有機結合，設計綜合題.20、(1)(為參數)；(2)最大值，此時．【解析】

(1)根據坐標變換可得曲線的方程，根據平方關系可求出其參數方程；(2)求出的直角坐標，再由兩點間的距離公式可求出，結合三角函數即可求出最值．【詳解】(1)依題意可得曲線C的直角坐標方程為，所以其參數方程為(為參數)．(2)，設，則