第3節利用導數研究函數的極值、最值高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎?固本增分研考點?精準突破目錄索引0102課標解讀1.借助函數的圖象,了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導數求某些函數的極大值、極小值以及給定閉區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值.3.體會導數與極大(小)值、最大(小)值的關系.強基礎?固本增分知識梳理1.函數的極值與導數

函數極值反映的是函數局部的性質

條件f'(x0)=0x0附近的左側f'(x)

0,右側f'(x)

0

x0附近的左側f'(x)

0,右側f'(x)

0

圖象

形如山峰

形如山谷極值f(x0)為極

值

f(x0)為極

值

極值點

x0為極

值點

極值點是一個實數x0為極

值點

><<>大小大小[教材知識深化]1.函數的極值點一定出現在區間的內部,區間的端點不能稱為極值點.2.在函數的整個定義域內,極值不一定是唯一的,有可能有多個極大值或極小值.3.極大值與極小值之間無確定的大小關系.微思考若函數f(x)可導,則當f'(x0)=0時,f(x)一定在x=x0處取得極值嗎?提示

不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件,例如f(x)=x3,滿足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0處沒有極值.2.函數的最值與導數反映的是函數整體的性質

(1)一般地,如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條

的曲線,那么它必有最大值和最小值.

(2)一般地,求函數y=f(x)在閉區間[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下:①求函數y=f(x)在區間(a,b)上的

;

②將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值

比較,其中最大的一個是

,最小的一個是

.

連續不斷極值f(a),f(b)最大值最小值[教材知識深化]1.函數在其定義域上或在某給定區間上若存在最大(小)值,則其具有唯一性,即只能有一個最大(小)值.2.函數的最值可以在區間端點處取得,但極值不能在區間端點處取得.3.函數有最值時,不一定有極值;有極值時,不一定有最值.4.函數最值是“整體”概念,而函數極值是“局部”概念.自主診斷一、基礎自測1.思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若函數f(x)可導,且在x=x0取得極值,則必有f'(x0)=0.(

)(2)一個函數的極大值一定比極小值大.(

)(3)函數在閉區間上的最值一定在端點處取得.(

)(4)函數在開區間上的最值一定是相應的極值.(

)√××√2.(人教B版選擇性必修第三冊6.2.2節練習B第3題改編)設函數f(x)=ax3+3x+2有極值,則實數a的取值范圍是

,函數的極值點是

.

(-∞,0)

3.(人教A版選擇性必修第二冊5.3.2節例7改編)給定函數f(x)=(x+1)ex,則函數的最小值為

.

BCD

5.(2021·新高考Ⅰ,15)函數f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為

.

1

研考點?精準突破考點一利用導數研究函數的極值(多考向探究預測)考向1

由函數圖象判斷函數極值情況例1(2024·重慶渝中月考)設函數f(x)在R上可導,其導函數為f'(x),且函數y=(x-1)3f'(x)的圖象如圖所示,則下列結論中正確的是(

)A.函數f(x)有極大值f(-3)和f(3)B.函數f(x)有極小值f(-3)和f(3)C.函數f(x)有極小值f(3)和極大值f(-3)D.函數f(x)有極小值f(-3)和極大值f(3)D解析

當x<-3時,(x-1)3f'(x)>0且x-1<0,可得f'(x)<0,則f(x)單調遞減;當x=-3時,(x-1)3f'(x)=0,可得f'(x)=0;當-3<x<1時,(x-1)3f'(x)<0且x-1<0,可得f'(x)>0,則f(x)單調遞增;當x=1時,(x-1)3f'(x)=0,但不能確定f'(x)是否等于0;當1<x<3時,(x-1)3f'(x)>0且x-1>0,可得f'(x)>0,則f(x)單調遞增;當x=3時,(x-1)3f'(x)=0,可得f'(x)=0;當x>3時,(x-1)3·f'(x)<0且x-1>0,可得f'(x)<0,則f(x)單調遞減.故f(x)有極小值f(-3)和極大值f(3).故選D.[對點訓練1](2024·河北石家莊期中)已知定義在(-2,2)內的函數f(x)的導函數為f'(x),且f'(x)在(-2,2)內的圖象如圖所示,則下列說法正確的是(

)A.1是f(x)的極小值點B.1是f(x)的極大值點C.-1是f(x)的極小值點D.-1是f(x)的極大值點D解析

由題圖可知,f(x)的定義域為(-2,2).當x∈(-2,-1)時,f'(x)>0;當x∈(-1,2)時,f'(x)<0,所以f(x)在(-2,-1)內單調遞增,在(-1,2)內單調遞減,所以-1是f(x)的極大值點,無極小值點,故選D.考向2

已知函數解析式求極值或極值點例2(多選題)(2025·遼寧開學考試)對于函數f(x)=-2lnx+x2-3x,下列說法正確的是(

)A.f(x)在區間(2,+∞)內單調遞增B.x=2是函數f(x)的極大值點C.f(x)的單調遞減區間是(0,2)D.函數f(x)的最小值是-2ln2-2ACD

BCD

考向3

已知函數的極值(點)求參數例3(1)(2024·湖南長沙模擬)已知函數f(x)的導函數g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函數f(x)的極值點,則實數a的值為(

)A.-1 B.0

C.1

D.2D解析

由題意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函數f(x)的極值點,設h(x)=x2-3x+a,則h(1)=0,即1-3+a=0?a=2,當a=2時,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),故當x>2時,f'(x)>0;當x<2且x≠1時,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的極值點,1不是極值點,所以a=2滿足題意,故選D.(2)(多選題)(2024·河南鄭州模擬)已知函數f(x)=(ax2+bx+c)ex的極大值點為0,極小值點為m(m>0),且極小值為0,則下列說法正確的是(

)A.a>0 B.b>0

C.c>0

D.m=2ACD

變式探究1本例(1)中,其他條件不變,將“若1不是函數f(x)的極值點”改為“若-1是函數f(x)的極值點”,則實數a的值為

.

-4解析

由于-1是函數f(x)的極值點,所以f'(-1)=g(-1)=0,即(-1-1)(1+3+a)=0,解得a=-4,此時f'(x)=(x-1)(x2-3x-4)=(x-1)(x+1)(x-4),經驗證符合題意,故實數a的值為-4.變式探究2本例(1)中,其他條件不變,將“若1不是函數f(x)的極值點”改為“若1是函數f(x)的極大值點”,則實數a的取值范圍為

.

(-∞,2)

考點二利用導數研究函數的最值(多考向探究預測)

B

B

(2)(2024·廣東期中)函數y=(x+1)ex+1,x∈[-3,4]的最小值為(

)A.2e-2

B.5e5

C.4e5

D.-e-1D解析

由函數f(x)=(x+1)ex+1,可得f'(x)=(x+2)ex+1,當x∈[-