上海市戲劇學院附屬中學2024-2025學年數學高二第二學期期末學業水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果根據是否愛吃零食與性別的列聯表得到，所以判斷是否愛吃零食與性別有關，那么這種判斷犯錯的可能性不超過（）注：0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A．2.5% B．0.5% C．1% D．0.1%2．已知是定義在上的可導函數，的圖象如下圖所示，則的單調減區間是（）A． B． C． D．3．某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.454．被稱為宋元數學四大家的南宋數學家秦九韶在《數書九章》一書中記載了求解三角形面積的公式，如圖是利用該公式設計的程序框圖，則輸出的的值為（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知定義在上的函數的導函數為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．6．一個單位有職工800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,67．若函數在上是增函數，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．10名運動員中有2名老隊員和8名新隊員，現從中選3人參加團體比賽，要求老隊員至多1人入選且新隊員甲不能入選的選法有（）A．77種 B．144種 C．35種 D．72種9．如圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據我國古代數學家趙爽弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客．已知圖中直角三角形兩個直角邊的長分別為2和1．若從圖中任選一點，則該點恰在陰影區域的概率為（）A． B． C． D．10．函數在上的最大值為（）A． B． C． D．11．在用數學歸納法證明:“凸多邊形內角和為”時，第一步驗證的等于（）A．1 B．3 C．5 D．712．命題“”的否定為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的所有頂點都在球的表面上，平面，，，，，則球的表面積為__________．14．已知集合，，則__________．15．函數，的最大值是___．16．把6個學生分配到3個班去，每班2人，其中甲必須分到一班，乙和丙不能分到三班，不同的分法共有__________種.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）若函數與的圖像上存在關于原點對稱的點，求實數的取值范圍；（2）設，已知在上存在兩個極值點，且，求證：（其中為自然對數的底數）.18．（12分）已知復數為虛數單位.（1）若復數對應的點在第四象限，求實數的取值范圍；（2）若，求的共軛復數.19．（12分）如圖，已知海島與海岸公路的距離為，，間的距離為，從到，需先乘船至海岸公路上的登陸點，船速為，再乘汽車至，車速為，設.（1）用表示從海島到所用的時間，并指明的取值范圍；（2）登陸點應選在何處，能使從到所用的時間最少？20．（12分）將下列參數方程化為普通方程：（1）（為參數）；（2）（為參數）.21．（12分）己知數列的首項均為1,各項均為正數，對任意的不小于2的正整數n，總有，成立，（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前n項和分別為，求所有使得等式成立的正整數m,的值.22．（10分）已知函數，.（1）若函數的圖象與直線相切，求實數的值；（2）設函數在區間內有兩個極值點.（ⅰ）求實數的取值范圍；（ⅱ）若恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據得到，得到答案.【詳解】，故，故判斷“是否愛吃零食與性別有關”出錯的可能性不超過2.5%.故選：.本題考查了獨立性檢驗問題，意在考查學生的理解能力和應用能力.2、B【解析】分析：先根據圖像求出，即得，也即得結果.詳解：因為當時，，所以當時，，所以的單調減區間是，選B.點睛：函數單調性問題，往往轉化為導函數符號是否變號或怎樣變號問題，經常轉化為解方程或不等式.3、A【解析】

試題分析：記“一天的空氣質量為優良”，“第二天空氣質量也為優良”，由題意可知,所以，故選A.考點：條件概率．4、B【解析】

模擬程序運行，依次計算可得所求結果【詳解】當，，時，，；當，，時，，；當，，時，，；當，，時，，；故選B本題考查程序運算的結果，考查運算能力，需注意所在位置5、A【解析】分析：先構造函數，再根據函數單調性解不等式.詳解：令，因為，所以因此解集為，選A.點睛：利用導數解抽象函數不等式，實質是利用導數研究對應函數單調性，而對應函數需要構造.構造輔助函數常根據導數法則進行：如構造，構造，構造，構造等6、D【解析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級職稱抽取的人數為，中級職稱抽取的人數為，初級職稱抽取的人數為，其余人員抽取的人數為，所以各層中依次抽取的人數分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點：分層抽樣．【方法點睛】分層抽樣滿足“”，即“或”，據此在已知每層間的個體數量或數量比，樣本容量，總體數量中的兩個時，就可以求出第三個．7、D【解析】

在上為增函數，可以得到是為增函數，時是增函數，并且時，，利用關于的三個不等式求解出的取值范圍.【詳解】由題意，在上為增函數，則，解得，所以的取值范圍為.故選：D本題主要考查分段函數的單調性以及指數函數和一次函數的單調性，考查學生的理解分析能力，屬于基礎題.8、A【解析】

根據所選3名隊員中包含老隊員的人數分成兩類:(1)只選一名老隊員;(2)沒有選老隊員,分類計數再相加可得.【詳解】按照老隊員的人數分兩類:(1)只選一名老隊員,則新隊員選2名(不含甲)有42;(2)沒有選老隊員,則選3名新隊員(不含甲)有,所以老隊員至多1人入選且新隊員甲不能入選的選法有:種.故選A.本題考查了分類計數原理,屬基礎題.9、C【解析】

直接根據幾何概型計算得到答案.【詳解】，，故.故選：.本題考查了幾何概型，意在考查學生的計算能力.10、A【解析】

對函數求導，利用導數分析函數的單調性，求出極值，再結合端點函數值得出函數的最大值．【詳解】，，令，由于，得.當時，；當時，．因此，函數在處取得最小值，在或處取得最大值，，，因此，，故選A．本題考查利用導數求解函數的最值，一般而言，利用導數求函數在閉區間上的最值的基本步驟如下：（1）求導，利用導數分析函數在閉區間上的單調性；（2）求出函數的極值；（3）將函數的極值與端點函數值比較大小，可得出函數的最大值和最小值．11、B【解析】

多邊形的邊數最少是，即三角形，即可得解；【詳解】解：依題意，因為多邊形的邊數最少是，即三角形，用數學歸納法證明:“凸多邊形內角和為”時，第一步驗證的等于時，是否成立，故選：本題主要考查數學歸納法的基本原理，屬于簡單題.用數學歸納法證明結論成立時，需要驗證時成立，然后假設假設時命題成立，證明時命題也成立即可，對于第一步，要確定，其實就是確定是結論成立的最小的.12、C【解析】

利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可．【詳解】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：“，”的否定為，故選：C．本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，是基本知識的考查．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：根據三棱錐的結構特征，求得三棱錐外接球半徑，由球表面積公式即可求得表面積。詳解：由，根據同角三角函數關系式得，解得所以，因為，，由余弦定理代入得所以△ABC為等腰三角形，且，由正弦定理得△ABC外接圓半徑R為，解得設△ABC外心為，，過作則在中在中解得所以外接球面積為點睛：本題綜合考查了空間幾何體外接球半徑的求法，通過建立空間模型，利用勾股定理求得半徑；結合球的表面積求值，對空間想象能力要求高，綜合性強，屬于難題。14、【解析】

根據集合的交集補集運算即可求解.【詳解】因為，所以因此.故答案為：本題主要考查了集合的補集，交集運算，屬于中檔題.15、【解析】

求導數，根據導數的正負判斷函數單調性，求得最大值.【詳解】函數時：函數單調遞減故答案為本題考查了利用導函數求單調性，再求最大值，意在考查學生的計算能力.16、1【解析】

根據題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，②、再從除了甲、乙、丙之外的3個人種任意選出2個人，分到三班，③、最后再把剩下的3個人選出2個人分到二班，剩余的一個分到一班，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】根據題意，分3步分析：①、讓甲分到一班，只有1種方法；②、再從除了甲、乙、丙之外的3個人種任意選出2個人，分到三班，有C32＝3種安排方法；③、最后再把剩下的3個人選出2個人分到二班，剩余的一個分到一班，有C32＝3種安排方法；則不同的分法有1×3×3＝1種；故答案為：1．本題考查分步計數原理的應用，關鍵是對于有限制的元素要優先排，特殊位置要優先排．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見證明【解析】

（1）將問題轉化為在有解，即在上有解，通過求解的最小值得到；（2）通過極值點為可求得，通過構造函數的方式可得：；通過求證可證得，進而可證得結論.【詳解】（1）函數與的圖像上存在關于原點對稱的點即的圖像與函數的圖像有交點即在有解，即在上有解設，，則當時，為減函數；當時，為增函數，即（2），在上存在兩個極值點，且且，即設，則要證，即證只需證明，即證明設，則則在上單調遞增，即本題考查利用導數來解決函數中的交點問題、恒成立問題，解決問題的關鍵是能將交點問題轉變為能成立問題、不等式的證明問題轉化為恒成立的問題，從而通過構造函數的方式，找到合適的函數模型來通過最值解決問題.18、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）求出復數的代數形式，根據第四象限的點的特征，求出的范圍；（2）由已知得出，代入的值，求出．試題解析;（I）=，由題意得解得（2）19、（1），.（2）登陸點與的距離為時，從海島到的時間最少.【解析】

求出AD，CD，從而可得出的解析式；

利用導數判斷函數單調性，根據單調性得出最小值對應的夾角.【詳解】（1）在中，∵，，∴，，∴，∴，即.∵，∴，∴(若寫成開區間不扣分).（2），，當時，，當時，，所以時，取最小值，即從海島到的時間最少，此時.答：（1），.（2）登陸點與的距離為時，從海島到的時間最少.本題考查了解三角形的應用和正弦定理的應用，考查了利用導數求函數最值，屬中檔題．20、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）分別分離處參數中的，根據同角三角函數的基本關系式，即可消去參數得到普通方程；（2）由參數方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.試題解析：（1）∵，∴，兩邊平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.考點：曲線的參數方程與普通方程的互化.21、（1），；（2），.【解析】

(1)通過因式分解可判斷為等差數列，于是可得通項，通過等比中項性質可知為等比數列，于是可求通項；（2）計算出前n項和，化簡式子，通過分解因式找出因子，然后利用正整數解可求得，.【詳解】(1)由于，整理得，而，故，所以為等差數列，所以；由于，可知為等比數列，，所以；（2）由（1）可得，，所以轉化為，整理即，要m,都為正整數，則都分別是2的倍數，且，故2的冪指數中，只有4與16相差12，故，故，此時.本題主要考查等差數列與等比數列的通項公式，前n項和的計算，意在考查學生的轉化能力，分析能力，計算能力，難度中等.22、（1）.（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】

求導并設出切點，建立方程組，解出即可；

（ⅰ）求導得，令，則函數在上有兩個零點，，由