高數2定積分試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的值與（）無關。A.積分下限\(a\)B.積分上限\(b\)C.被積函數\(f(x)\)D.積分變量的符號2.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{5}\)3.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)=（）A.\(F(a)-F(b)\)B.\(F(b)-F(a)\)C.\(F^\prime(b)-F^\prime(a)\)D.\(F^\prime(a)-F^\prime(b)\)4.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)=（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(-1\)5.定積分\(\int_{a}^{b}kdx\)（\(k\)為常數）等于（）A.\(k\)B.\(k(b-a)\)C.\(0\)D.\(kb\)6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，則\((\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime\)=（）A.\(f(x)\)B.\(f(a)\)C.\(f(b)\)D.\(0\)7.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx\)=（）A.\(0\)B.\(2\)C.\(-2\)D.\(4\)8.定積分\(\int_{0}^{1}e^xdx\)=（）A.\(e\)B.\(e-1\)C.\(1-e\)D.\(e+1\)9.若\(f(x)\)在\([-a,a]\)上是奇函數，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)=（）A.\(2\int_{0}^{a}f(x)dx\)B.\(0\)C.\(\int_{0}^{a}f(x)dx\)D.\(-\int_{0}^{a}f(x)dx\)10.\(\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx\)=（）A.\(\ln2\)B.\(\ln2-\ln1\)C.\(\ln1-\ln2\)D.\(1\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是定積分的性質（）A.\(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)B.\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(k\)為常數）C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）2.以下函數在給定區間上可積的有（）A.\(y=x\)在\([0,1]\)B.\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)C.\(y=\sinx\)在\([0,2\pi]\)D.\(y=\sqrt{x}\)在\([0,1]\)3.下列等式正確的是（）A.\(\int_{0}^{x}t^2dt=\frac{1}{3}x^3\)B.\((\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)C.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)（\(f(x)\)為偶函數）D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(u)du\)4.計算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)用到的公式有（）A.\(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)B.\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)C.\(\int_{a}^{b}kdx=k(b-a)\)D.\((\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)5.下列關于定積分幾何意義說法正確的是（）A.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(f(x)\geq0\)）表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)與\(x\)軸圍成圖形面積B.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(f(x)\leq0\)）表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)與\(x\)軸圍成圖形面積的相反數C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)與\(x\)軸圍成圖形面積的代數和D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示曲線\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上的長度6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上可能有有限個間斷點D.\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)一定存在7.計算\(\int_{-1}^{1}|x|dx\)，正確做法是（）A.因為\(y=|x|\)是偶函數，\(\int_{-1}^{1}|x|dx=2\int_{0}^{1}xdx\)B.\(\int_{-1}^{1}|x|dx=\int_{-1}^{0}-xdx+\int_{0}^{1}xdx\)C.由定積分幾何意義，\(\int_{-1}^{1}|x|dx\)表示\(y=|x|\)與\(x=-1\)，\(x=1\)及\(x\)軸圍成圖形面積D.\(\int_{-1}^{1}|x|dx=1\)8.下列定積分值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x\sinxdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x\cosxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)D.\(\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx\)9.定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)與（）有關。A.積分下限\(a\)B.積分上限\(b\)C.被積函數\(f(x)\)D.積分區間長度\(b-a\)10.以下哪些函數可以用定積分定義求其在某區間上的和（）A.連續函數B.單調函數C.有界且只有有限個間斷點的函數D.無界函數三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續。（）2.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{b}^{a}f(x)dx\)。（）3.定積分\(\int_{0}^{2\pi}\cosxdx=0\)。（）4.若\(f(x)\)在\([-a,a]\)上是偶函數，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）5.定積分\(\int_{a}^{b}kdx=k\)（\(k\)為常數）。（）6.\((\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)。（）7.定積分\(\int_{0}^{1}x^ndx=\frac{1}{n+1}\)（\(n\neq-1\)）。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，\(g(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(\int_{a}^{b}[f(x)g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\cdot\int_{a}^{b}g(x)dx\)。（）9.定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示曲線\(y=f(x)\)在\([a,b]\)上的弧長。（）10.\(\int_{0}^{1}e^{-x}dx\)的值小于\(1\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述定積分的幾何意義。定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續），當\(f(x)\geq0\)時，表示由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)與\(x\)軸圍成圖形面積；當\(f(x)\leq0\)時，表示該圖形面積相反數；一般情況下，表示這些圖形面積的代數和。2.計算\(\int_{0}^{1}(2x+1)dx\)。根據定積分性質\(\int_{0}^{1}(2x+1)dx=\int_{0}^{1}2xdx+\int_{0}^{1}1dx\)。\(\int_{0}^{1}2xdx=2\times\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{1}=1\)，\(\int_{0}^{1}1dx=x\big|_{0}^{1}=1\)，所以結果為\(2\)。3.已知\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，且\(\int_{a}^{b}f(x)dx=5\)，\(\int_{a}^{b}g(x)dx=3\)，求\(\int_{a}^{b}[2f(x)-3g(x)]dx\)。根據定積分性質\(\int_{a}^{b}[2f(x)-3g(x)]dx=2\int_{a}^{b}f(x)dx-3\int_{a}^{b}g(x)dx\)。將\(\int_{a}^{b}f(x)dx=5\)，\(\int_{a}^{b}g(x)dx=3\)代入，得\(2×5-3×3=1\)。4.若\(f(x)\)在\([-a,a]\)上可積，且\(f(x)\)為奇函數，說明\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)的原因。由定積分性質\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx\)。令\(t=-x\)，則\(\int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(-t)dt=\int_{0}^{a}f(-t)dt\)，因為\(f(x)\)是奇函數，\(f(-t)=-f(t)\)，所以\(\int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{0}^{a}f(x)dx\)，故\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論定積分與不定積分的聯系與區別。聯系：不定積分是求導的逆運算，定積分通過牛頓-萊布尼茨公式與不定積分相聯系，\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\)，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個原函數。區別：不定積分結果是函數族，定積分結果是一個數值；不定積分關注函數的全體原函數，定積分側重于區間上的累積量。2.如何利用定積分求平面圖形的面積？首先確定圖形由哪些曲線圍成及相應區間。然后根據曲線位置判斷被積函數，若\(y_1\geqy_2\)，面積\(S=\int_{a}^{b}[y_1-y_2]dx\)（\(x\)型區域）或\(S=\int_{c}^n5qcowa[x_1-x_2]dy\)（\(y\)型區域），最后計算定積分得出面積值。3.討論定積分在物理中的應用（舉例說明）。例如求變力做功。若力\(F(x)\)是位移\(x\)的函數，在區間\([a,b]\)上，力\(F(x)\)做的功\(W=\int_{a}^{b}F(x)dx\)。又如求變速直線運動的路程，速度\(v(t)\)是時間\(t\)的函數，在\([T_1,T_2]\)內路程\(s=\int_{T_1}^{T_2}|v(t)|dt\)。4.當被積函數\(f(x)\)在積分區間\([a,b]\)上有間斷點時，定積分的計算需要注意什么？需要判斷間斷點類型。若為有限個第一類間斷點，定積分仍可計算，可通過分段積分等方法。但若是無窮間斷