高考一模數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\cupB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\{4\}\)2.復數\(z=1+2i\)，則\(\vertz\vert=(\)\)A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(5\)D.\(3\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,x)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(x=(\)\)A.\(2\)B.\(-2\)C.\(1\)D.\(-1\)4.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域為（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\)5.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=(\)\)A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)6.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)7.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,2)\)D.\((2,0)\)8.直線\(l\)過點\((1,1)\)且與直線\(x-2y+3=0\)垂直，則直線\(l\)的方程為（）A.\(2x+y-3=0\)B.\(x+2y-3=0\)C.\(2x-y-1=0\)D.\(x-2y+1=0\)9.已知\(a=0.3^2\)，\(b=2^{0.3}\)，\(c=\log_20.3\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關系是（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(c\lta\ltb\)C.\(b\lta\ltc\)D.\(c\ltb\lta\)10.函數\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)在區間\([2,3]\)上的最大值為（）A.\(1\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(0\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\vertx\vert\)2.下列命題正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a+c\gtb+d\)C.若\(a\gtb\)，\(c\gt0\)，則\(ac\gtbc\)D.若\(a\gtb\)，\(c\ltd\)，則\(a-c\gtb-d\)3.一個正方體的棱長為\(1\)，則以下說法正確的是（）A.正方體的表面積為\(6\)B.正方體的體積為\(1\)C.正方體的外接球半徑為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.正方體的內切球半徑為\(\frac{1}{2}\)4.已知函數\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，\(\vert\varphi\vert\lt\frac{\pi}{2}\)，若\(f(\frac{\pi}{6})=1\)，則（）A.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)B.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)C.\(f(x)\)的圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{3}\)對稱D.\(f(x)\)在\((-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})\)上單調遞增5.已知直線\(l\)：\(y=kx+1\)與圓\(C\)：\(x^2+y^2=1\)相交于\(A\)，\(B\)兩點，則（）A.弦長\(\vertAB\vert\)的最大值為\(2\)B.若\(\vertAB\vert=\sqrt{3}\)，則\(k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)C.若\(\angleAOB=120^{\circ}\)（\(O\)為圓心），則\(k=\pm\sqrt{3}\)D.直線\(l\)恒過定點\((0,1)\)6.已知\(a\)，\(b\)為正實數，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)7.以下哪些是基本不等式（）A.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)B.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）C.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）D.\(a^2+b^2+c^2\geqslantab+bc+ca\)8.已知函數\(y=f(x)\)的圖象在點\((x_0,f(x_0))\)處的切線方程為\(y=2x+1\)，則（）A.\(f(x_0)=2x_0+1\)B.\(f^\prime(x_0)=2\)C.函數\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處的導數為\(2\)D.切線與\(y\)軸交點為\((0,1)\)9.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，\(P\)為橢圓上一點，且\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，則（）A.\(\vertPF_1\vert^2+\vertPF_2\vert^2=4c^2\)B.\(\vertPF_1\vert+\vertPF_2\vert=2a\)C.若\(a=2\)，\(b=\sqrt{3}\)，則\(\vertPF_1\vert\vertPF_2\vert=3\)D.橢圓離心率\(e\geqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\)10.已知數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=2a_n+1\)，\(a_1=1\)，則（）A.\(a_2=3\)B.\(a_3=7\)C.數列\(\{a_n+1\}\)是等比數列D.\(a_n=2^n-1\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數\(y=x^3\)是奇函數。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.向量\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）7.圓\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的圓心坐標為\((1,2)\)，半徑為\(2\)。（）8.等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和公式為\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）9.函數\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）在\((0,+\infty)\)上單調遞增。（）10.若\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，則\(f(0)=0\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=2x^2-4x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{b}{2a}\)，這里\(a=2\)，\(b=-4\)，所以對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數得\(y=1\)，頂點坐標為\((1,1)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)的值。答案：分子分母同時除以\(\cos\alpha\)，則\(\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha-1}{\tan\alpha+1}\)，將\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}\)。3.已知直線\(l\)過點\((2,1)\)且斜率為\(-2\)，求直線\(l\)的方程。答案：由點斜式\(y-y_1=k(x-x_1)\)（\((x_1,y_1)\)為直線上一點，\(k\)為斜率），這里\(x_1=2\)，\(y_1=1\)，\(k=-2\)，則直線\(l\)的方程為\(y-1=-2(x-2)\)，即\(2x+y-5=0\)。4.求以點\((1,-2)\)為圓心，半徑為\(3\)的圓的標準方程。答案：圓的標準方程為\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（\((a,b)\)為圓心坐標，\(r\)為半徑），所以該圓方程為\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調性。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減；同理在\((-\infty,0)\)上也單調遞減。2.討論等差數列和等比數列的通項公式及性質的聯系與區別。答案：聯系：都是數列重要類型。區別：等差數列通項\(a_n=a_1+(n-1)d\)，性質與公差有關；等比數列通項\(a_n=a_1q^{n-1}\)，性質與公比有關。等差數列是線性變化，等比數列是指數變化。3.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線距離\(d\)與半徑\(r\)大小判斷，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代數法，聯立直線與圓方程得一元二次方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。4.討論如何根據函數圖象判斷函數的奇偶性和單調性。答案：奇偶性：若圖象關于原點對稱則為奇函數，關于\(y\)軸對稱則為偶函數。單調性：從左到右圖