上海市長寧區(qū)延安中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個同學(xué)的學(xué)號是()A．10 B．11 C．12 D．162．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則（）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列{an}中，若a2=4，A．-1 B．0 C．1 D．64．下列四個命題中真命題是()A．同垂直于一直線的兩條直線互相平行B．底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條D．過球面上任意兩點的大圓有且只有一個5．若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D．函數(shù)在上最大值是16．已知向量，且，則等于（）A．1 B．3 C．4 D．57．若是小于的正整數(shù)，則等于（）A． B． C． D．8．設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z+1A．12 B．12i C．9．如圖所示為底面積為2的某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的側(cè)面積為（）A． B．C． D．10．如圖，函數(shù)的圖象在點P處的切線方程是，則（）A．4 B．3 C． D．11．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．-10 B．5 C．10 D．-512．以圓：的圓心為圓心，3為半徑的圓的方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由曲線與所圍成的封閉圖形的面積為__________．14．命題“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是.15．如果復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，則_______.16．如圖所示線路圖，機器人從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有________種.（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立.求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；記為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.18．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.(1)若，求證:;(2)若，異面直線與所成的角為30°，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）一個多面體的三視圖如圖：主視圖和左視圖均為一個正方形上加一個等腰直角三角形，正方形的邊長為，俯視圖中正方形的邊長也為.主視圖和左視圖俯視圖（1）畫出實物的大致直觀圖形；（2）求此物體的表面積；（3）若，一個螞蟻從該物體的最上面的頂點開始爬，要爬到此物體下底面四個項點中的任意一個頂點，最短距離是多少?（精確到個單位）20．（12分）某校舉辦《國學(xué)》知識問答中，有一道題目有5個選項A，B，C，D，E，并告知考生正確選項個數(shù)不超過3個，滿分5分，若該題正確答案為，賦分標準為“選對1個得2分，選對2個得4分，選對3個得5分，每選錯1個扣3分，最低得分為0分”.假定考生作答的答案中的選項個數(shù)不超過3個.（1）若張小雷同學(xué)無法判斷所有選項，只能猜，他在猶豫答案是“任選1個選項作為答案”或者“任選2個選項作為答案”或者“任選3個選項作為答案”，以得分期望為決策依據(jù)，則他的最佳方案是哪一種？說明理由.（2）已知有10名同學(xué)的答案都是3個選項，且他們的答案互不相同，他們此題的平均得分為x分.現(xiàn)從這10名同學(xué)中任選3名，計算得到這3名考生此題得分的平均分為y分，試求的概率.21．（12分）已知：已知函數(shù)（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線的斜率為﹣6，求實數(shù)a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的極值；22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（I）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（II）求曲線上的點到直線的距離的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題計算出抽樣的間距為13，由此得解．【詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

結(jié)合特殊角的正弦值，運用正弦定理求解.【詳解】由正弦定理可知：，故本題選A.本題考查了正弦定理，考查了數(shù)學(xué)運算能力.3、B【解析】在等差數(shù)列an中，若a2=4,a4=2，則4、C【解析】

通過“垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系不確定”可判斷A是否正確；通過“底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形”可判斷B是否正確；通過“兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以經(jīng)過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條”可判斷C是否正確；通過“經(jīng)過球面上任意兩點的大圓有無數(shù)個”可判斷D是否正確。【詳解】A項：垂直于同一直線的兩條直線不一定互相平行，故A錯；B項：底面各邊相等，側(cè)面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故B錯；C項：兩條異面直線的公垂線是唯一的，所以經(jīng)過空間任一點與兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條，故C正確；D項：過球面上任意兩點的大圓有無數(shù)個，故D錯，故選C項。本題考查了命題真假的判定以及解析幾何的相關(guān)性質(zhì)，考查了推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題，在進行解析幾何的相關(guān)性質(zhì)的判斷時，可以根據(jù)圖像來判斷。5、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式；利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點對稱，錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得：當時，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯誤；當時，，關(guān)于點對稱，錯誤；當時，此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項：本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).6、D【解析】

先根據(jù)已知求出x,y的值，再求出的坐標和的值.【詳解】由向量，且，則，解得，所以，所以，所以，故答案為D本題主要考查向量的坐標運算和向量的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.7、D【解析】

利用排列數(shù)的定義可得出正確選項.【詳解】，由排列數(shù)的定義可得.故選：D.本題考查排列數(shù)的表示，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)排列數(shù)的定義將代數(shù)式表示為階乘的形式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、A【解析】由z=1+i，得z+1z=1+i+9、B【解析】

由三視圖可以看出有多個直角，將該三棱錐放入正方體中，依次求各面面積即可【詳解】由三視圖可知該幾何體是三棱錐（放在棱長為2的正方體中），則側(cè)面是邊長為的等邊三角形，面積為；側(cè)面和都是直角三角形，面積均為，因此，此幾何體的側(cè)面積為，故選B本題考查三視圖、幾何體側(cè)面積，將棱錐放入棱柱中分析是解題的關(guān)鍵.10、A【解析】

由條件可得，【詳解】因為函數(shù)的圖象在點P處的切線方程是所以，所以4故選：A本題考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，較簡單.11、A【解析】

根據(jù)，把按二項式定理展開，可得含的項的系數(shù)，得到答案．【詳解】由題意，在的展開中為，所以含的項的系數(shù)，故選A．本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】

先求得圓M的圓心坐標，再根據(jù)半徑為3即可得圓的標準方程.【詳解】由題意可得圓M的圓心坐標為，以為圓心，以3為半徑的圓的方程為．故選:A.本題考查了圓的一般方程與標準方程轉(zhuǎn)化，圓的方程求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：由題得曲線與所圍成的封閉圖形的面積為，再計算得解.詳解：因為，所以.聯(lián)立所以曲線與所圍成的封閉圖形的面積為，所以.故答案為：點睛：（1）本題主要考查定積分求面積和微積分基本原理，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力計算能力.(2)）圖中陰影部分的面積S=14、【解析】試題分析：由題意可得命題:,為真命題.所以,解得.考點：命題的真假.15、7【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算可求得，根據(jù)實部與虛部相等可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，解得：.故答案為：.本題考查根據(jù)復(fù)數(shù)的實部和虛部定義求解參數(shù)值的問題，涉及到復(fù)數(shù)的除法運算問題，屬于基礎(chǔ)題.16、20【解析】

分兩步：第一步先計算從A到B的走法種數(shù)，第二步：再計算從B到C走法種數(shù)，相乘即可.【詳解】A到B共2種走法，從B到C共種不同走法，由分步乘法原理，知從A地經(jīng)B地走到C地，最近的走法共有種.故答案為：20本題考查分步乘法原理及簡單的計數(shù)問題的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯分析能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的情況有：前2局甲贏；第1局乙贏、第2、3局甲贏；第1局甲贏、第2局乙贏、第3、4局甲贏，從而就可以求出概率.（2）根據(jù)題意的可能取值為...列出分布列表格，就可以求出期望的值.用表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”，表示“第局乙獲勝”.則，..的可能取值為...故的分布列為

2

3

4

5

所以.考點：1.概率的求解；2.期望的求解.視頻18、(1)證明見解析(2)【解析】

（1）取中點，連接，，易知要證，先證平面；（2）如圖以為坐標原點，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量及直線的方向向量，即可得到結(jié)果.【詳解】(1)證明:取中點，連接，，有，因為，所以，又因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，又因為平面平面，所以平面，又因為平面，所以又因為，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以.(2)設(shè)，如圖以為坐標原點，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系，由(1)可知，，所以，故，，，，，對平面，，，所以其法向量為.又，所以直線與平面成角的正弦值.本題主要考查線面垂直的證明、中位線定理以及利用空間向量求線面角的正弦值，考查了學(xué)生空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．19、（1）見解析；（2）；（2）【解析】

（1）根據(jù)三視圖可知幾何體的下部分是正方體，上部分是正四棱錐，畫出幾何體；（2）根據(jù)（1）所畫的幾何體，幾何體的表面積包含5個正方形和4個三角形的面積；（3）根據(jù)數(shù)形結(jié)合，先畫出展開圖的平面圖形，最短距離就是，根據(jù)余弦定理求邊長.【詳解】（1）（2）正視圖中等腰三角形的直角邊是幾何體正四棱錐的斜高，，（3）一個三角形和下面的正方形的的展開圖，如圖所示，當時，，，設(shè)，,而，,根據(jù)數(shù)形結(jié)合可知最短距離就是,,本題考查根據(jù)三視圖求幾何體的直觀圖，以及計算表面積，意在考查空間想象能力和計算求解能力，本題第二問需注意三視圖中等腰三角形的腰是正四棱錐的斜高，等腰三角形斜邊上的高是錐體的高，求解表面積時需注意這點.20、（1）他的最佳方案是“任選1個選項作為答案”或者“任選2個選項作為答案”，理由見解析；（2）.【解析】

（1）分情況討論：當任選1個選項的得分為X分，可得X可取0，2，利用組合運算算出概率，并計算出期望；當任選2個選項的得分為Y分，可得Y可取0，4，利用組合運算算出概率，并計算出期望；當任選3個選項的得分為Z分，則Z可取0，1，5，利用組合運算算出概率，并計算出期望；比較數(shù)值大小即可.（2）由題意可得這10名考生中有3人得分為0分，6人得分為1分，1人得分為5分，可得，由，、可得3人得分總分小于3.3，即可求解.【詳解】（1）設(shè)任選1個選項的得分為X分，則X可取0，2，，，設(shè)任選2個選項的得分為Y分，則Y可取0，4，設(shè)任選3個選項的得分為Z分，則Z可取0，1，5，，，所以他的最佳方案是“任選1個選項作為答案”或者“任選2個選項作為答案”（2）由于這10名同學(xué)答案互不相同，且可能的答案總數(shù)為10，則這10名考生中有3人得分為0分，6人得分為1分，1人得分為5分，則有，則3人得分總分小于3.3，則本題考查了古典概型的概率計算公式、組合數(shù)的計算以及數(shù)學(xué)期望，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.21、(1)-2；(2)極小值為，極大值為.【解析】分析：（1）求出曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率為﹣6，即可求出；（2）通過a=1時，利用導(dǎo)函