上海市四中2024-2025學年數學高二下期末調研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題，則（）A．是真命題，，B．是假命題，，C．是真命題，，D．是假命題，，2．已知函數，與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．3．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于同一個常數．若第一個單音的頻率為f，第三個單音的頻率為，則第十個單音的頻率為（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎.有人分別采訪了四位歌手，甲說：“乙或丙獲獎”；乙說：“甲、丙都未獲獎”；丙說：“丁獲獎”；丁說：“丙說的不對”.若四位歌手中只有一個人說的是真話，則獲獎的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．已知：，，且，若恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．若，滿足條件，則的最小值為（）A． B． C． D．7．變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實數等于（）A．—2 B．—1 C．1 D．28．設復數z=1+i（i是虛數單位），則復數z+1A．12 B．12i C．9．設，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．10．函數的最大值為（）A． B．1 C． D．11．以下說法錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．“”是“”的充分不必要條件C．若命題存在，使得，則:對任意，都有D．若且為假命題，則均為假命題12．已知函數的最大值為，最小值為，則等于（）A．0 B．2 C．4 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有甲、乙二人去看望高中數學張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是月日，張老師把告訴了甲，把告訴了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇:2月5日，2月7日，2月9日，3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日．看完日期后，甲說“我不知道，但你一定也不知道”，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現在我知道了”，甲接著說，“哦，現在我也知道了”．請問張老師的生日是_______．14．已知，且，則的最小值是______．15．如圖，兩條距離為4的直線都與軸平行，它們與拋物線和圓分別交于，和，，且拋物線的準線與圓相切，則的最大值為______.16．已知甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有2個白球、2個黑球，從這兩個箱子里分別隨機摸出1個球，則恰有一個白球的概率為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線，為上的任意點．（1）求證：點到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數；（2）設點的坐標為，求的最小值.18．（12分）已知函數.（1）求函數的極值;（2）當時，證明：;（3）設函數的圖象與直線的兩個交點分別為，，的中點的橫坐標為，證明：.19．（12分）已知定圓：，動圓過點且與圓相切，記圓心的軌跡為．(1)求曲線的方程；(2)已知直線交圓于兩點.是曲線上兩點，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.20．（12分）如圖，平面，在中，，，交于點，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）某班要從6名男生4名女生中選出5人擔任5門不同學科的課代表，請分別求出滿足下列條件的方法種數結果用數字作答．（1）所安排的男生人數不少于女生人數；（2）男生甲必須是課代表，但不能擔任語文課代表；（3）女生乙必須擔任數學課代表，且男生甲必須擔任課代表，但不能擔任語文課代表．22．（10分）證明下列不等式：（1）用分析法證明：；（2）已知是正實數，且.求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據命題真假的判斷和含有量詞的命題的否定，即可得到結論.詳解：，恒成立是真命題，，故選C.點睛：本題考查命題真假的判斷，含有量詞的命題的否定關系的應用.2、A【解析】

根據題意，可以將原問題轉化為方程在區間上有解，構造函數，利用導數分析的最大最小值，可得的值域，進而分析方程在區間上有解，必有，解之可得實數的取值范圍.【詳解】根據題意，若函數，與的圖象上存在關于軸對稱的點，則方程在區間上有解化簡可得設，對其求導又由，在有唯一的極值點分析可得：當時，，為減函數，當時，，為增函數，故函數有最小值又由，比較可得，，故函數有最大值故函數在區間上的值域為若方程在區間有解，必有，則有則實數的取值范圍是故選：A本題考查在函數與方程思想下利用導數求最值進而表示參數取值范圍問題，屬于難題.3、B【解析】

根據題意，設單音的頻率組成等比數列{an}，設其公比為q，由等比數列的通項公式可得q的值，進而計算可得答案．【詳解】根據題意，設單音的頻率組成等比數列{an}，設其公比為q，（q＞0）則有a1＝f，a3，則q2，解可得q，第十個單音的頻率a10＝a1q9＝（）9ff，故選：B．本題考查等比數列的通項公式，關鍵是求出該等比數列的公比，屬于基礎題．4、A【解析】分析：因為四位歌手中只有一個人說的是真話，假設某一個人說的是真話，如果與條件不符，說明假設不成立，如果與條件相符，說明假設成立.詳解：若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說的真話，不符合題意；若丙是獲獎的歌手，則甲、丁都說的真話，不符合題意；若丁是獲獎的歌手，則乙、丙都說的真話，不符合題意；若甲是獲獎的歌手，則甲、乙、丙都說的假話，丁說的真話，符合題意；故選A.點睛：本題考查合情推理，屬基礎題.5、A【解析】

若恒成立,則的最小值大于,利用均值定理及“1”的代換求得的最小值,進而求解即可.【詳解】由題,因為,,,所以,當且僅當,即,時等號成立,因為恒成立,則,即,解得,故選:A本題考查均值不等式中“1”的代換的應用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立問題.6、A【解析】作出約束條件對應的平面區域（陰影部分），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，平移直線y=2x﹣z，由圖象可知當直線y=2x﹣z，經過點A時，直線y=2x﹣z的截距最大，此時z最小．由解得A（0，2）．此時z的最大值為z=2×0﹣2=﹣2，故選A．點睛：利用線性規劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標系內作出可行域．(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優解：根據目標函數的類型，并結合可行域確定最優解．(4)求最值：將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值．7、C【解析】

將目標函數變形為，當取最大值，則直線縱截距最小，故當時，不滿足題意；當時，畫出可行域，如圖所示，其中．顯然不是最優解，故只能是最優解，代入目標函數得，解得，故選C．考點：線性規劃．8、A【解析】由z=1+i，得z+1z=1+i+9、A【解析】

先根據來分段，然后根據指數函數性質，比較出的大小關系.【詳解】由于，而，故，所以選A.本小題主要考查指數函數的單調性，考查對數函數的性質，考查比較大小的方法，屬于基礎題.10、A【解析】

由題意求得導數，得到函數單調性，即可求解函數的最大值，得到答案.【詳解】由題意，可得，當時，，則函數單調遞增；當時，，則函數單調遞減，所以函數的最大值為，故選A.本題主要考查了利用導數求解函數的最值問題，其中解答中求得函數的導數，得出函數的單調性是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.11、D【解析】

根據逆否命題定義、命題否定的定義分別判斷出正確；解方程得到解集和的包含關系，結合充要條件的判定可知正確；根據復合命題的真假性可知錯誤，由此可得結果.【詳解】選項：根據逆否命題的定義可知：原命題的逆否命題為“若，則”，可知正確；選項：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正確；選項：根據命題的否定可知對任意，都有，可知正確；選項：由且為假命題，則至少有一個為假命題，因此不正確.本題正確選項：本題考查了簡易邏輯的判定方法、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.12、C【解析】

因為，所以是奇函數，則由奇函數的性質，又因為，，即，，故，即，應選答案C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3月2日【解析】

甲說“我不知道，但你一定也不知道”，可排除五個日期，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現在我知道了”，再排除2個日期，由此能求出結果.【詳解】甲只知道生日的月份，而給出的每個月都有兩個以上的日期，所以甲說“我不知道”，根據甲說“我不知道，但你一定也不知道”，而5月、7月中8日6日是唯一的，所以5月、7月不正確，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現在我知道了”，而剩余的5個日期中乙能確定生日，說明一定不是7日，甲接著說，“哦，現在我也知道了”，可排除2月5日2月9日，現在可以得知張老師生日為3月2日.本題考查推理能力，考查進行簡單的合情推理，考查學生分析解決問題的能力，正確解題的關鍵是讀懂題意，能夠根據敘述合理運用排除法進行求解.14、1【解析】

直接將代數式4x+y與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【詳解】由基本不等式可得，當且僅當，等號成立，因此的最小值為1，故答案為：1．在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.15、【解析】

先設直線的方程為，再利用直線與圓錐曲線的位置關系將用表示，再利用導數求函數的最值即可得解.【詳解】解：由拋物線的準線與圓相切得或7，又，∴.設直線的方程為，則直線的方程為，則.設，，令，得；令，得.即函數在為增函數，在為減函數，故，從而的最大值為，故答案為：.本題考查了利用導數求函數的最值，重點考查了運算能力，屬中檔題.16、【解析】

通過分析恰有一個白球分為兩類：“甲中一白球乙中一黑球”，“甲中一黑球乙中一白球”，于是分別計算概率相加即得答案.【詳解】恰有一個白球分為兩類：甲中一白球乙中一黑球，甲中一黑球乙中一白球．甲中一白球乙中一黑球概率為：，甲中一黑球乙中一白球概率為：，故所求概率為.本題主要考查乘法原理和加法原理的相關計算，難度不大，意在考查學生的分析能力，計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析．（2）的最小值為【解析】

試題分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，設點利用點到直線的距離公式，即可得到結論，寫出距離的乘積，再利用點在雙曲線上得出定值；（2）用點點距公式表示出|PA|，利用配方法，求得函數的最值，即可求得結論．（1）設點，由題意知雙曲線的兩條漸近線方程分別為和，則點到兩條漸近線的距離分別為和，則，得證；（2）設點，則當時，有最小值.18、（1）取得極大值，沒有極小值（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）利用導數求得函數的單調性，再根據極值的定義，即可求解函數的極值；（2）由，整理得整理得，設，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．（3）不妨設，由（1）和由（2），得，利用單調性，即可作出證明．【詳解】（1）由題意，函數，則，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，取得極大值，沒有極小值;（2）由得整理得，設，則，所以在上單調遞增，所以，即，從而有．（3）證明：不妨設，由（1）知，則，由（2）知，由在上單調遞減，所以，即，則，所以.本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．19、(1);(2).【解析】分析：（1）根據動圓與定圓相內切，結合橢圓的定義，即可求得動圓圓心的軌跡方程；（2）由題可知，，因圓心坐標在直線上，則直徑，將問題轉化為求的最大值.根據題意設直線方程為，設,與橢圓方程聯立，整理得關于的一元二次方程，由韋達定理及，結合函數的單調性，由此可以求出四邊形面積的最大值.詳解：解：（1）依題意得：，圓的半徑，點在圓內，圓內切于圓，，點的軌跡為橢圓，設其方程為則，，，軌跡的方程為：.（2）點在直線上，即直線經過圓的圓心，，故設直線方程為，設,聯立消得，，且，，四邊形的面積，（當且僅當時取等號），即四邊形面積的最大值為.點睛：本題考查曲線的軌跡方程求法和直線與圓錐曲線位置關系，考查對角線互相垂直的四邊形面積的最大值求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用.解決直線與圓錐曲線綜合問題基本步驟為：（1）設，即設交點坐標和直線方程，注意考慮直線斜率是否存在;（2）聯，即聯立直線方程與圓錐曲線，消元;（3）判，即直線與圓錐曲線的位置關系可以通過判別式加以判斷;（4）韋，即韋達定理，確定兩根與系數的關系.（5）代，即根據已知條件，將所求問題轉換到與兩點坐標和直線方程相關的問題，進而求解問題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

過D作平行線DH，則可得兩兩垂直，以它們為坐標軸建立空間直角坐標，求出長，寫出的坐標．求出相應向量，（1）由，證得垂直；（2）求出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值等于向量和夾角余弦值的絕對值．由向量的數量積運算易求．【詳解】（1）過D作平行線DH，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，為軸，建立空間坐標系，如圖，在中，，，，，交于點，，；,，，；（2）由（1）可知，，，設平面BEF的法向量為，所以，，取，，設直線與平面所成角為，所以=.本題考查證明空間兩直線垂直，考查求直線與平面所成的角，解題方法是建立空間直角坐標系，由向量法證明線線垂直，求線面角，這種方法主要考查學生的運算求解能力，思維量很少，解