上海市進才實驗中學2025年高二數學第二學期期末質量跟蹤監視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A．30 B．24 C．20 D．152．五一放假，甲、乙、丙去廈門旅游的概率分別是、、，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有人去廈門旅游的概率為（）A． B． C． D．3．設集合，，則()A． B． C． D．4．已知函數，則“”是“在上單調遞增”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．用數學歸納法證：（時）第二步證明中從“到”左邊增加的項數是（）A．項 B．項 C．項 D．項6．已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是A．B．C．D．7．執行如圖所示的程序框圖,若輸入的值為,則輸出的的值為（）A． B． C． D．8．己知復數z滿足，則A． B． C．5 D．259．在一次調查中，根據所得數據繪制成如圖所示的等高條形圖，則（）A．兩個分類變量關系較強B．兩個分類變量關系較弱C．兩個分類變量無關系^D．兩個分類變量關系難以判斷10．已知隨機變量滿足，，則下列說法正確的是（）A．， B．，C．， D．，11．一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有（）A．12種 B．15種 C．17種 D．19種12．已知的展開式中的系數為5，則（）A．4 B．3 C．2 D．-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓x2+y2-6x-7=0與拋物線14．若向量，，且，則實數__________．15．在平面直角坐標系中,已知,,兩曲線與在區間上交點為.若兩曲線在點處的切線與軸分別相交于兩點,則線段的為____________.16．已知定義域為的偶函數，其導函數為，滿足,則的解集為_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設全體空間向量組成的集合為，為中的一個單位向量，建立一個“自變量”為向量，“應變量”也是向量的“向量函數”.（1）設，，若，求向量；（2）對于中的任意兩個向量，，證明：；（3）對于中的任意單位向量，求的最大值.18．（12分）如圖，直三棱柱中，側面為正方形，，是的中點，是的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，），以直角坐標系的原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立坐標系，圓的極坐標方程為.（1）求圓的直角坐標方程（化為標準方程）及曲線的普通方程；（2）若圓與曲線的公共弦長為，求的值.20．（12分）為降低養殖戶養鴨風險，某保險公司推出了鴨意外死亡保險，該保單合同規定每只幼鴨投保2元，若生長期內鴨意外死亡，則公司每只鴨賠付12元.假設鴨在生長期內的意外死亡率為0.15，且每只鴨是否死亡相互獨立.若某養殖戶養鴨3000只，都投保該險種.（1）求該保單保險公司賠付金額等于保費時，鴨死亡的只數；（2）求該保單保險公司平均獲利多少元.21．（12分）設函數.(1)若為定義域上的單調函數，求實數的取值范圍；(2)若，當時，證明：.22．（10分）最新研究發現，花太多時間玩手機游戲的兒童，患多動癥的風險會加倍．青少年的大腦會很快習慣閃爍的屏幕、變幻莫測的手機游戲，一旦如此，他們在教室等視覺刺激較少的地方，就很難集中注意力．研究人員對110名年齡在7歲到8歲的兒童隨機調查，并在孩子父母的幫助下記錄了他們在1個月里玩手機游戲的習慣．同時，教師記下這些孩子出現的注意力不集中問題．統計得到下列數據：注意力不集中注意力集中總計不玩手機游戲204060玩手機游戲302050總計5060110（1）試估計7歲到8歲不玩手機游戲的兒童中注意力集中的概率；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為玩手機游戲與注意力集中有關系？附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8405.0246.6357.87910.828．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據公式：計算即可.【詳解】因為，故選：A.本題考查排列數的計算，難度較易.2、B【解析】

計算出事件“至少有人去廈門旅游”的對立事件“三人都不去廈門旅游”的概率，然后利用對立事件的概率可計算出事件“至少有人去廈門旅游”的概率.【詳解】記事件至少有人去廈門旅游，其對立事件為三人都不去廈門旅游，由獨立事件的概率公式可得，由對立事件的概率公式可得，故選B.本題考查獨立事件的概率公式的應用，同時也考查了對立事件概率的應用，在求解事件的概率問題時，若事件中涉及“至少”時，采用對立事件去求解，可簡化分類討論，考查分析問題的能力和計算能力，屬于中等題.3、D【解析】函數有意義，則，函數的值域是，即.本題選擇D選項.4、A【解析】f′(x)＝x2＋a，當a≥0時，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上單調遞增”的充分不必要條件．故選A.5、D【解析】

分別寫出當，和時，左邊的式子，分別得到其項數，進而可得出結果.【詳解】當時，左邊，易知分母為連續正整數，所以，共有項；當時，左邊，共有項；所以從“到”左邊增加的項數是項.故選D本題主要考查數學歸納法，熟記數學歸納法的一般步驟即可，屬于常考題型.6、B【解析】試題分析：如圖，幾何體是四棱錐，一個側面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形,且邊長為20，那么利用體積公式可知,故選B.考點：本題主要考查三視圖、椎體的體積，考查簡單幾何體的三視圖的運用．培養同學們的空間想象能力和基本的運算能力．點評：解決該試題的關鍵是由三視圖可知，幾何體是四棱錐，一個側面垂直底面，底面是正方形，根據數據計算其體積．7、B【解析】開始運行，，滿足條件，，；第二次運行，，滿足條件，s=1+1=1．i=3；第三次運行，，滿足條件，，；第四次運行，，滿足條件，，；第五次運行，，滿足條件，，；第六次運行，，滿足條件，，，不滿足條件，程序終止，輸出，故選B.8、B【解析】

先計算復數再計算.【詳解】故答案選B本題考查了復數的化簡，復數的模，屬于基礎題型.9、A【解析】分析：利用等高條形圖中兩個分類變量所占比重進行推理即可.詳解：從等高條形圖中可以看出2，在中的比重明顯大于中的比重，所以兩個分類變量的關系較強.故選A點睛：等高條形圖，可以粗略的判斷兩個分類變量是否有關系，但是這種判斷無法精確的給出所得結論的可靠程度，考查識圖用圖的能力.10、D【解析】分析：利用期望與方差的性質與公式求解即可.詳解：隨機變量滿足，所以，解得，故選D.點睛：已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質求解.若隨機變量的均值、方差、標準差，則數的均值、方差、標準差.11、D【解析】試題分析：分三類：第一類，有一次取到3號球，共有取法；第二類，有兩次取到3號球，共有取法；第三類，三次都取到3號球，共有1種取法；共有19種取法.考點：排列組合，分類分步記數原理.12、D【解析】

將化簡為：分別計算的系數，相加為5解得.【詳解】中的系數為：的系數為：的系數為：故答案選D本題考查了二項式定理的計算，分成兩種情況簡化了計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】試題分析：x2+y2-6x-7=0∴(x-3)考點：直線和拋物線的性質14、.【解析】依題設，，由∥得，，解得.15、【解析】分析：求出點坐標，然后分別求出和在A處切線方程，即可求出兩點坐標詳解：由可得，所以又因為所以所以在A點處切線方程為：令解得，所以又因為所以所以在A點處切線方程為：令解得，所以所以線段BC的長度為點睛：熟練記憶導函數公式是解導數題的前提條件，導數的幾何意義是在曲線上某一點處的導數就等于該點處切線斜率，是解決曲線切線的關鍵，要靈活掌握.16、【解析】

令，對函數求導，根據條件可得單調遞增，且單調遞增，進而利用單調性和奇偶性求解．【詳解】的解集為的解集，令，則，因為，所以當時有，所以，即當時，單調遞增，又因為，所以，所以的解集為的解集，由單調性可知，又因為為偶函數，所以解集為本題解題的關鍵是構造新函數，求導進而得出函數的單調性，然后利用奇偶性和單調性求解．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）見解析；（3）最大值為.【解析】分析：（1），設，代入運算得：，從而可得結果；（2）設，，，則利用“向量函數”的解析式化簡，從而可得結果；（3）設與的夾角為，則，則，即最大值為.詳解：（1）依題意得：，設，代入運算得：或；（2）設，，，則從而得證；（3）設與的夾角為，則，則，故最大值為.點睛：新定義問題一般先考察對定義的理解，這時只需一一驗證定義中各個條件即可.二是考查滿足新定義的函數的簡單應用，如在某些條件下，滿足新定義的函數有某些新的性質，這也是在新環境下研究“舊”性質，此時需結合新函數的新性質，探究“舊”性質.三是考查綜合分析能力，主要將新性質有機應用在“舊”性質，創造性證明更新的性質.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

(1)由題意可得平面即可得，再利用可以得到，由線面垂直判斷定理可得平面，然后根據面面垂直判斷定理可得結論；(2)先以點為原點建立空間直角坐標系，設，寫出相關點的坐標，再求出平面的法向量和平面的法向量，由數量積公式求出二面角的余弦值.【詳解】（1）∵三棱柱為直三棱柱，，∴平面，∴，∵是的中點，是的中點，∴，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）建立如圖所示空間直角坐標系，如圖：設，則，，，，，設平面的法向量為，則即，令得，又平面的法向量，∴，即二面角的余弦值為.本題考查了面面垂直的證明，向量法求二面角的余弦值，考查了學生的邏輯推理以及計算能力，屬于一般題.19、(1)曲線的直角坐標方程為,曲線的普通方程為;(2).【解析】分析：（1）由極坐標與直角坐標的互化公式即可得圓的直角坐標方程；消去參數即可得曲線的普通方程；（2）聯立圓C與曲線，因為圓的直徑為，且圓與曲線的公共弦長為，即公共弦直線經過圓的圓心，即可得到答案.詳解：(1）由，得，所以，即，故曲線的直角坐標方程為.曲線的普通方程為（2）聯立，得因為圓的直徑為，且圓與曲線的公共弦長為，所以直線經過圓的圓心，則，又所以點睛：求解與極坐標有關的問題的主要方法(1)直接利用極坐標系求解，可與數形結合思想配合使用；(2)轉化為直角坐標系，用直角坐標求解．使用后一種方法時，應注意若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標．20、（1）500只；（2）600元【解析】

（1）根據題意，得到保費的總額，再除以每只鴨賠付的金額，得到答案；（2）根據鴨在生長期內的意外死亡率，得到需賠付的金額，然后根據總的保費，得到平均獲利.【詳解】（1），答：該保險公司賠付金額等于保費時，鴨死亡只數為只.（2）因為鴨在生長期內的意外死亡率為0.15，所以需賠付的金額為，總保費為，所以得到平均獲利為.答：該保單保險公司平均獲利元.本題考查求隨機變量的均值，屬于簡單題.21、（1）；（2）見解析【解析】

(1)求得的導數，，得到方程的判別式，分和、三種討論，求得函數的單調性，即可求解；(2)由，當時，只需，故只需證明當時，，求得函數的單調性與最值，即可求解.【詳解】(1)由題意，函數的定義域為，則，方程的判別式.(ⅰ)若，即，在的定義域內，故單調遞增．(ⅱ)若，則或.若，則，.當時，，當時，，所以單調遞增．若，單調遞增．(ⅲ)若，即或，則有兩個不同的實根，當時，，從而在的定義域內沒有零點，故單調遞增．當時，，在的定義域內有兩個不同的零點，即在定義域上不單調．綜上：實數的取值范圍為.(2)因為，當，時，，故只需證明當時，.當時，函數在上單調遞增，又，故在上有唯一實根，且，當時，，當時，，從而當時，)取得最小值．由得，即，故，所以.綜上，當時，.本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而