PAGEPAGE4萬有引力理論的成就1．行星的運動可看做勻速圓周運動，則行星繞太陽運動的軌道半徑R的三次方與周期T的平方的比值為常量k＝eq\f(R3,T2)，下列說法正確的是()A．公式eq\f(R3,T2)＝k只適用于圍繞太陽運行的行星B．圍繞同一星球運行的行星或衛星，k值不相等C．k值與被環繞星球的質量和行星或衛星的質量都有關系D．k值僅由被環繞星球的質量確定【解析】由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R可得eq\f(R3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，所以k＝eq\f(GM,4π2)，k值只和被環繞星球的質量有關，即圍繞同一星球運行的行星或衛星，k值相等，所以只有D正確．【答案】D2．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面處的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，則該星球的質量是地球質量的()A.eq\f(1,4) B．64倍C．16倍 D．4倍【解析】星球表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，又知ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，故eq\f(M星,M地)＝(eq\f(g星,g地))3＝64.B對．【答案】B3．兩個行星的質量分別為m1和m2，繞太陽運行的軌道半徑分別為r1和r2，若它們只受太陽萬有引力的作用，那么，這兩個行星的向心加速度之比為()A．1 B.eq\f(m2r1,m1r2)C.eq\f(m1r2,m2r1) D.eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))【解析】行星繞太陽做勻速圓周運動，設M為太陽質量，m為行星質量，r為軌道半徑，則Geq\f(Mm,r2)＝ma向，則a向∝eq\f(1,r2).所以eq\f(a1,a2)＝eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))，故D正確．【答案】D4．一物體靜置在平均密度為ρ的球形天體表面的赤道上．已知萬有引力常量為G，若由于天體自轉使物體對天體表面壓力恰好為零，則天體自轉周期為()A．(eq\f(4π,3Gρ)) B．(eq\f(3,4πGρ))C．(eq\f(3π,Gρ)) D．(eq\f(π,Gρ))【解析】赤道表面的物體對天體表面的壓力為零，說明天體對物體的萬有引力恰好等于物體隨天體轉動所須要的向心力，有eq\f(Gρ\f(4,3)πR3m,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R，化簡得T＝(eq\f(3π,Gρ))，正確選項為C.【答案】C5．(多選)最近，科學家在望遠鏡中看到太陽系外某恒星有一行星，并測得它圍繞恒星運動一周所用的時間為1200年，它與該恒星的距離為地球與太陽距離的100倍．假定該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓形，僅利用以上兩個數據可以求出的量有()A．恒星質量與太陽質量之比B．恒星密度與太陽密度之比C．行星質量與地球質量之比D．行星運行速度與地球公轉速度之比【解析】由M＝eq\f(4π2r3,GT2)知，恒星質量與太陽質量之比M星∶M日＝eq\f(100r3,1200T2)∶eq\f(r3,T2)＝eq\f(25,36)，A正確；由于不知道太陽和恒星的體積，沒法求出恒星密度與太陽密度之比，B錯；僅由萬有引力公式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mr·eq\f(4π2,T2)無法求出行星質量與地球質量之比，C錯；行星運行速度與地球公轉速度之比v星∶v地＝100req\f(2π,1200T)∶req\f(2π,T)＝eq\f(1,12)，D正確．【答案】AD6．我們銀河系的恒星中大約有四分之一是雙星，某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間萬有引力的作用下繞兩者連線上某肯定點O做勻速圓周運動(如圖6-4-2所示)．由天文視察測得其運動周期為T，S1到O點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.由此可求出S1的質量為()圖6-4-2A.eq\f(4π2r2r－r1,GT2) B.eq\f(4π2r3,GT2)C.eq\f(4π2r\o\al(3,1),GT2) D.eq\f(4π2r2r1,GT2)【解析】雙星之間的萬有引力供應各自做圓周運動的向心力，對S2有Geq\f(m1m2,r2)＝m2eq\f(4π2,T2)(r－r1)，解得m1＝eq\f(4π2r2r－r1,GT2).A對．【答案】A7．2012年11月9日，由英國和德國科學家組成的一個國際天文學團隊宣布，他們在太陽系外距地球約42光年的恒星HD40307的“宜居帶”內發覺了一個“超級地球”，該“超級地球”有與地球類似的生存環境．若該“超級地球”圍繞恒星HD40307做勻速圓周運動的周期為T，軌道半徑為R，引力常量為G.依據題中信息可以求出()A．該“超級地球”的平均密度B．該“超級地球”與恒星HD40307之間的萬有引力C．恒星HD40307的質量D．恒星HD40307表面的重力加速度【解析】由題可知，欲求該“超級地球”的平均密度，必須要知道該“超級地球”的質量和半徑，而依據題目所給的信息，其質量和半徑是不行能求出來的，A錯誤；欲求該“超級地球”和恒星HD40307之間的萬有引力，必需知道二者的質量，由萬有引力定律和牛頓其次定律可得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，可解得中心天體恒星HD40307的質量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，但“超級地球”的質量m不能求出，故不能求出二者之間的萬有引力，B錯誤，C正確；求恒星HD40307表面的重力加速度必須要知道該恒星的半徑，故D錯誤．【答案】C8．(2013·福建高考)設太陽質量為M，某行星繞太陽公轉周期為T，軌道可視作半徑為r的圓．已知萬有引力常量為G，則描述該行星運動的上述物理量滿意()A．GM＝eq\f(4π2r3,T2) B．GM＝eq\f(4π2r2,T2)C．GM＝eq\f(4π2r2,T3) D．GM＝eq\f(4πr3,T2)【解析】本題依據行星所受的萬有引力供應其做圓周運動的向心力列方程求解．對行星有：eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，故GM＝eq\f(4π2r3,T2)，選項A正確．【答案】A9．(多選)兩顆靠得較近的天體叫雙星，它們以兩者連線上的某點為圓心做勻速圓周運動，這樣它們就不會因引力作用而吸引在一起，則下述物理量中，與它們的質量成反比的是()A．線速度 B．角速度C．向心加速度 D．轉動半徑【解析】雙星由相互間的萬有引力供應向心力，從而使雙星做勻速圓周運動，不會因相互間的吸引力而靠在一起，雙星做圓周運動的向心力大小相等，等于相互間的萬有引力，即m1ω2r1＝m2ω2r2，得eq\f(r1,r2)＝eq\f(m2,m1)，故D項正確；又v＝ωr，得eq\f(v1,v2)＝eq\f(m2,m1)，故A項正確；又a＝ω2r，得eq\f(a1,a2)＝eq\f(m2,m1)，故C項正確．【答案】ACD10．(多選)(2014·合肥高一期末)如圖6-4-3所示，極地衛星的運行軌道平面通過地球的南北兩極(軌道可視為圓軌道)．若已知一個極地衛星從北緯30°的正上方，按圖示方向第一次運行至南緯60°正上方時所用時間為t，地球半徑為R(地球可看作球體)．地球表面的重力加速度為g，引力常量為G.由以上條件可以求出()圖6-4-3A．衛星運行的周期 B．衛星距地面的高度C．衛星的質量 D．地球的質量【解析】衛星從北緯30°的正上方，第一次運行至南緯60°正上方時，剛好為運動周期的eq\f(1,4)，所以衛星運行的周期為4t，A項正確；知道周期、地球的半徑，由eq\f(GMm,R＋h2)＝m(eq\f(2π,T))2(R＋h)及GM＝R2g，可以算出衛星距地面的高度，B項正確；通過上面的公式可以看出，能算出中心天體的質量，不能算出衛星的質量，C項錯誤，D項正確．【答案】ABD11．如圖6-4-4所示，兩個星球A、B組成雙星系統，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動．已知A、B星球質量分別為mA、mB，萬有引力常量為G.求eq\f(L3,T2)(其中L為兩星中心距離，T為兩星的運動周期)．圖6-4-4【解析】設A、B兩個星球做圓周運動的半徑分別為rA、rB.則rA＋rB＝L.對星球A：Geq\f(mAmB,L2)＝mArAeq\f(4π2,T2).對星球B：Geq\f(mAmB,L2)＝mBrBeq\f(4π2,T2).聯立以上三式求得eq\f(L3,T2)＝eq\f(GmA＋mB,4π2).【答案】eq\f(GmA＋mB,4π2)12．(2014·渭南高一檢測)“嫦娥一號”探月衛星與稍早日本的“月亮女神號”探月衛星不同，“嫦娥一號”衛星是在繞月極地軌道上運動的，加上月球的自轉，因而“嫦娥一號”衛星能探測到整個月球的表面.12月11日，“嫦娥一號”衛星CCD相機已對月球背面進行成像探測，并獲得了月球背面部分區域的影像圖．衛星在繞月極地軌道上做圓周運動時距月球表面高為H，繞行的周期為TM.月球繞地公轉的周期為TE，軌道半徑為R0，地球半徑為RE，月球半徑為RM.(1)若忽視地球及太陽引力對繞月衛星的影響，試求月球與地球質量之比．(2)當繞月極地軌道的平面與月球繞地公轉的軌道平面垂直，也與地心到月心的連線垂直時(如圖6-4-5)，探月衛星向地球發送所拍攝的照片，此照片由探月衛星傳送到地球最少須要多長時間？(已知光速為c)圖6-4-5【解析】(1)由牛頓其次定律得F向＝man＝m(eq\f(2π,T))2r，萬有引力定律公式為：F引＝Geq\f(Mm,r2)，月球繞地公轉時由萬有引力供應向心力，故Geq\f(M月M地,R\o\al(2,0))＝M月(eq\f(2π,TE))2R0；同理，探月衛星繞月運動時有：Geq\f(M月M衛,RM＋H2)＝M衛(eq\f(2π,TM))2(RM＋H)，解得：eq\f(M月,M地)＝(eq\f(TE,TM))2×(eq\f(RM＋H,R0))3＝(eq\f(TE,TM))2(eq\f(RM＋H,R0)