PAGEPAGE7課下實力提升(十三)[學業水平達標練]題組1二面角1．若一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關系是()A．相等B．互補C．相等或互補D．不確定2．(2024·瀘州高一檢測)從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不確定3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．題組2平面與平面垂直的判定定理4．經過平面α外一點和平面α內一點與平面α垂直的平面有()A．0個B．1個C．多數個D．1個或多數個5．(2024·淮南高一檢測)對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β6．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC7．假如直線l，m與平面α，β，γ滿意：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ8.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC⊥平面ABCD，E是SA的中點，求證：平面EDB⊥平面ABCD.題組3線面、面面垂直的綜合問題9．在四面體ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求證：平面ABD⊥平面BCD.10．如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD.(1)求證：平面ABD⊥平面ACD；(2)若AB＝2BD，求二面角A-DC-B的正弦值．[實力提升綜合練]1．(2024·溫州高一檢測)如圖，在立體圖形D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列說法中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEC．平面ABD⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE2．如圖所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則圖中相互垂直的平面共有()A．1對B．2對C．3對D．4對3．(2024·長沙高一檢測)如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()A．60°B．30°C．45°D．15°4．(2024·福州高一檢測)若P是△ABC所在平面外一點，且△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P-BC-A的大小為________．5．(2024·泰安高一檢測)如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜線BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則BC＝________.6．如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB＝90°，D為AB的中點，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求證：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.7．如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE.答案[學業水平達標練]題組1二面角1．解析：選C若方向相同則相等，若方向相反則互補．2．解析：選C若點P在二面角內，則二面角的平面角為120°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為60°.3．解析：依據正方體中的位置關系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，依據二面角平面角定義可知，∠ABA1即為二面角A-BC-A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.答案：45°題組2平面與平面垂直的判定定理4．解析：選D當兩點連線與平面α垂直時，可作多數個垂面，否則，只有1個．5．解析：選C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.6．解析：選D∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.7．解析：選AB錯，有可能m與β相交；C錯，有可能m與β相交；D錯，有可能α與β相交．8.證明：連接AC，交BD于點F，連接EF，則EF是△SAC的中位線，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF?平面EDB.∴平面EDB⊥平面ABCD.題組3線面、面面垂直的綜合問題9．證明：如圖所示，∵△ABD與△BCD是全等的等腰三角形，∴取BD的中點E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC為二面角A-BD-C的平面角．在△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，AE＝eq\r(AB2-BE2)＝eq\f(\r(2),2)a.同理CE＝eq\f(\r(2),2)a.在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，由于AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，∴平面ABD⊥平面BCD.10．解：(1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，又BD⊥CD且BD∩AB＝B.∴CD⊥平面ABD.又CD?平面ACD.∴平面ABD⊥平面ACD.(2)由(1)知∠ADB為二面角A-DC-B的平面角．在Rt△ABD中，AB＝2BD，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(5)BD，∴sin∠ADB＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(2\r(5),5).即二面角A-DC-B的正弦值為eq\f(2\r(5),5).[實力提升綜合練]1．解析：選B由條件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC?平面ADC，AC?平面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故選B.2．解析：選C因為AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD，所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又因為BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC.因為CD?平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD.故圖中相互垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.3．解析：選C由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.4．解析：取BC的中點O，連接OA，OP，則∠POA為二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，所以△POA為直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°5．解析：因為AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因為平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°.因為AB＝AC＝1，所以BD＝DC＝eq\f(\r(2),2)，則BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1.答案：16．證明：(1)因為△PDB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因為D是AB的中點，所以AD＝BD＝PD，又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，所以∠DPA＋∠BPD＝90°，所以PA⊥PB，又PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC.(2)因為PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，因為∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因為BC?平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.7．證明：如圖所示，取CD的中點M，BE的中點N，連接A′M，A′N，MN，則MN∥BC.∵AB＝eq\f(1,2)A