PAGE7-河南省頂級名校2024年高三考前信息卷文科數學試題一.選擇題：（每小題5分，共60分）1.復數z=i9(-1-2i)的共軛復數為A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i設集合A={a,a+1},B={1,2,3},若A∪B的元素個數為4,則a的取值集合為A.{0} B.{0,3} C.{0,1,3} D.{1,2,3}3.已知向量,,則向量在向量方向上的投影為A．-eq\r(,3)B．eq\r(,3)C．-1D．14.如圖所示的圖形是弧三角形，又叫萊洛三角形，它是分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧得到的封閉圖形．在此圖形內隨機取一點，則此點取自等邊三角形內的概率是A．B．C．D．5.已知定義域R的奇函數f(x)的圖像關于直線x=1對稱,且當0≤x≤1時,f(x)=x3,則f(eq\f(5,2))=A．-eq\f(27,8)B．-eq\f(1,8)C．eq\f(1,8)D．eq\f(27,8)6.如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積為A．B．C．D．7.已知函數f(x)＝2sinx(eq\r(3)cosx－sinx)＋1，若f(x－φ)為偶函數，則φ可以為A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)8.已知a,b是兩條異面直線，直線c與a,b都垂直,則下列說法正確的是A.若平面，則 B．若平面，則C．存在平面，使得,,D．存在平面，使得，,9.已知且為常數,圓,過圓內一點(1,2)的直線與圓相交于兩點,當弦最短時,直線的方程為,則的值為A．2B．3C．4 D．510.在平面直角坐標系xOy中,M,N分別是x軸正半軸和y=x(x＞0)圖像上的兩個動點,且|MN|=eq\r(,2),則|OM|2+|ON|2的最大值是A．4-2eq\r(,2)B．eq\f(4,3)C．4D．4+2eq\r(,2)11．已知以圓的圓心為焦點,坐標原點為頂點的拋物線與圓在第一象限交于點，點是拋物線上隨意一點，與直線垂直，垂足為，則的最大值為A.1B.2C.D.8已知函數QUOTE則函數的零點個數為A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。共20分。13.某單位一般職工和行政人員共280人，為了了解他們在“學習強國”APP平臺上的學習狀況，現用分層抽樣的方法從全部職員中抽取容量為56的樣本，已知從一般職工抽取人數為49人，則該單位行政人員的人數為.14.一個算法的程序框圖如圖，若該程序輸出的結果為QUOTE，則推斷框中的條件QUOTE中的整數QUOTE的值是．15.在鈍角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為，且，已知則△ABC的面積為16.在平面直角坐標系xOy中,定義兩點,間的折線距離為，已知點,,,則的最小值為.三、解答題：本大題共6小題，共70分。解得應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。17.(12分)已知數列{an}滿意：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…） （1）求證：數列{an-1}是等比數列；（2）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），假如對隨意n∈N*，都有bn+QUOTEt≤t2，求實數t的取值范圍．18．(12分)某市A,B兩校組織了一次英語筆試(總分120分)聯賽,兩校各自選擇了英語筆試成果最好的100名學生參賽,成果不低于115分定義為優秀.賽后統計了全部參賽學生的成果(都在區間[100,120]內),將這些數據分成4組:[100,105),[105,110),[110,115),[115,120].得到如下兩個頻率分布直方圖:(1)分別計算A,B兩校聯賽中的優秀率;(2)聯賽結束后兩校將依據學生的成果發放獎學金,已知獎學金y(單位:百元)與其成果t的關系式為y=QUOTE.①當a=0時,試問A,B兩校哪所學校的獲獎人數更多?②當a=0.5時,若以獎學金的總額為推斷依據,試問本次聯賽A,B兩校哪所學校實力更強?19.(12分)如圖,在四棱錐B-ACDE中,正方形ACDE所在平面與正△ABC所在平面垂直,M,N分別為BC,AE的中點,F在棱CD上.(1)證明:MN∥平面BDE.(2)已知AB=2,點M到AF的距離為QUOTE,求三棱錐C-AFM的體積。20．(12分)橢圓QUOTE+QUOTE=1(m>1)的左、右頂點分別為A,B,過點B作直線l交直線x=-2于點M,交橢圓于另一點P.(1)求該橢圓的離心率的取值范圍;(2)若該橢圓的長軸長為4,證明:QUOTE·QUOTE為定值(O為坐標原點).21.(12分)已知函數f(x)=ax3-x2.(1)若f(x)的一個極值點在(1,3)內,求a的取值范圍;(2)若a為非負數,求f(x)在[-1,2]上的最小值.請考生在第22,23題中任選擇一題作答,假如多做,則按所做的第一題記分.作答時,用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑。22．(滿分10分)選修4-4:坐標系與參數方程在直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為(為參數,傾斜角),曲線C的參數方程為(為參數,∈[0,π]),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系。(I)寫出曲線C的一般方程和直線的極坐標方程;(Ⅱ)若直線與曲線C恰有一個公共點P,求點P的極坐標。23．(滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數的最大值為3,其中m>0。(I)求m的值；(Ⅱ)若a,b∈R,ab>0,a2+b2=m2,求證：。

文科數學試題答案選擇題：1~5ABABB6~10BBCBD11~12AB填空題：13.3514.615.16.三、解答題：本大題共6小題，共70分。解得應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。17.（Ⅰ）證明：由題可知：a1+a2+a3+…+an=n-an，①a1+a2+a3+…+an+1=n+1-an+1，②②-①可得2an+1-an=1

即：an+1-1=QUOTE（an-1），又a1-1=-QUOTE所以數列{an-1是以-QUOTE為首項，以QUOTE為公比的等比數列（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得an=1-QUOTE，∴bn=（2-n）（an-1）=QUOTE…（8分）由bn+1-bn=QUOTE-QUOTE=QUOTE＞0可得n＜3由bn+1-bn＜0可得n＞3所以b1＜b2＜b3=b4，b4＞b5＞…＞bn＞…故bn有最大值b3=b4=QUOTE所以，對隨意n∈N*，都有bn+QUOTEt≤t2，等價于對隨意n∈N*，都有QUOTE≤t2-QUOTEt成立所以t2-QUOTEt-QUOTE≥0解得t≥QUOTE或t≤-QUOTE所以，實數t的取值范圍是（-∞，QUOTE]∪[QUOTE，+∞）18.解:(1)由頻率分布直方圖知,A校的優秀率為0.06×5=0.3, 1分B校的優秀率為0.04×5=0.2. 2分(2)①A校的獲獎人數為100×(1-0.04×5)=80,…………3分B校的獲獎人數為100×(1-0.02×5)=90,…………4分所以B校的獲獎人數更多.…………5分②A校學生獲得的獎學金的總額為0.2×100×0.5+0.5×100×1.5+0.3×100×2.8=169(百元)=16900(元),…………8分B校學生獲得的獎學金的總額為0.1×100×0.5+0.7×100×1.5+0.2×100×2.8=166(百元)=16600(元),………11分因為16900>16600,所以A校實力更強.…………12分19.(1)證明:取BD的中點G,連接EG,MG,∵M為棱BC的中點,∴MG∥CD,且MG=QUOTECD.…………1分又N為棱AE的中點,四邊形ACDE為正方形,∴EN∥CD,且EN=QUOTECD.…………2分從而EN∥MG,且EN=MG,于是四邊形EGMN為平行四邊形,…………3分則MN∥EG. …………4分∵MN?平面BDE,EG?平面BDE,∴MN∥平面BDE.…………5分(2)解:(法一)過M作MI⊥AC于I,∵平面ACDE⊥平面ABC,∴MI⊥平面ACDE, ………6分過I作IK⊥AF于K,連接MK,則MK⊥AF.…………7分∵AB=2,∴MI=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE,∴MK=QUOTE=QUOTE=QUOTE,∴IK=QUOTE,過C作CH⊥AF于H,易知QUOTE=QUOTE=QUOTE,則CH=QUOTE×QUOTE=QUOTE.……9分∵CH=QUOTE=QUOTE,∴CF=1.…………10分(法二)在正△ABC中,∵M為BC的中點,∴AM⊥BC.…………6分∵平面ABC⊥平面ACDE,AC⊥CD,∴CD⊥平面ABC,∴CD⊥AM. …………7分∵BC∩CD=C,∴AM⊥平面BCD,∴AM⊥MF. …………8分設CF=a,在△AFM中,AM=QUOTE,FM=QUOTE,AF=QUOTE,則QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE,解得a=1.…………10分從而VC-AFM=VF-ACM=QUOTE×1×QUOTE×QUOTE×22=QUOTE.…………12分20.(1)解:∵e=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,…………2分又m>1,∴0<e<QUOTE=QUOTE,∴e∈(0,QUOTE).…………4分(2)證明:∵橢圓的長軸長為2QUOTE=4,∴m=2, …………5分易知A(-2,0),B(2,0),設M(-2,y0),P(x1,y1),則QUOTE=(x1,y1),QUOTE=(-2,y0),…………6分直線BM的方程為y=-QUOTE(x-2),即y=-QUOTEx+QUOTEy0,…………7分代入橢圓方程x2+2y2=4,得(1+QUOTE)x2-QUOTEx+QUOTE-4=0,… 8分由韋達定理得2x1=QUOTE,…………9分∴x1=QUOTE,∴y1=QUOTE, …………10分∴QUOTE·QUOTE=-2x1+y0y1=-QUOTE+QUOTE=QUOTE=2m=4.…………12分21.解:(1)當a=0時,明顯不合題意,故a≠0. …………1分f'(x)=3ax2-2x,令f'(x)=0,得x=0或x=QUOTE, …………2分由題意可得,1<QUOTE<3,解得QUOTE<a<QUOTE,即a的取值范圍為(QUOTE,QUOTE). …………4分(2)當a=0時,f(x)=-x2在[-1,2]上的最小值為f(2)=-4. …………5分當0<a≤QUOTE時,QUOTE≥6,f'(x)=ax(3x-QUOTE).∵x∈[-1,2],∴3x-QUOTE≤0,故f(x)在[-1,0)上單調遞增,在(0,2]上單調遞減,∴f(x)min=min{f(-1),f(2)}.………………6分∵f(2)-f(-1)=(8a-4)-(-a-1)=9a-3≤0,∴f(x)min=f(2)=8a-4.…………7分當a>QUOTE時,f'(x)=ax(3x-QUOTE),0<QUOTE<2,當x∈[-1,0)∪(QUOTE,2]時,f'(x