第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《反比例函數中的定值問題》專項測試卷(附帶答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖1，直線：與反比例函數的圖象在第一、三象限交于點A，B，與x軸、y軸分別交于點C，D，過點A作軸于點E，F為x軸上一點，直線與直線關于直線對稱．(1)若，，點A的橫坐標為3，求反比例函數的解析式．(2)在（1）的條件下，設拋物線的頂點為點Q，在平面直角坐標系中是否存在點Q，使最大？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，過點F作軸交于點G，過點A作于點P，連接．若k為定值，求證：的面積為定值．2．如圖1，點是反比例函數圖象上任意一點，過點作軸的垂線，垂足為，已知的面積為．(1)求的值．(2)若過點的直線與軸交于點，如圖2．①求證：．②與的平方差是不是定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．3．已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．(1)求I與R之間的函數關系式；(2)如果電流不超過，求電阻應控制的范圍．4．某汽車的功率為一定值，汽車行駛時的速度（米/秒）與它所受的牽引力（牛）之間的關系滿足反比例函數關系，其圖象如圖所示：(1)請求出與之間的函數關系式；(2)當它所受牽引力為牛時，汽車的速度為多少米/秒？5．已知點、均在反比例函數的圖象上．(1)求反比例函數的表達式；(2)如圖1，點P是反比例函數圖象上一點，軸于點A，點B是y軸上一點，交射線于點D，點M為線段上一點，連接，點C為的中點，點N為射線上一點，當四邊形為菱形且面積為時，求點P的坐標；(3)如圖2，點Q為反比例函數圖象上一動點，過Q作軸于點E，連接并延長，交反比例函數圖象于點H，過E作，交反比例函數圖象于點F，連接，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．6．如圖1，在菱形中，對角線、相交于點，頂點、在反比例函數的圖像上，點在反比例函數的圖像上，軸．(1)若，，則菱形的面積為______；(2)①當點、在坐標軸上時，求的值．②如圖2，當點、、三點在同一直線上時，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，說明理由．7．如圖1，在平面直角坐標系中，點繞原點順時針旋轉至點B，恰好落在反比例函數的圖像上，連接OA，OB，過點B作軸交于點C，點是第一象限內雙曲線上一動點．(1)求反比例函數的解析式；(2)若，求P的坐標；(3)如圖2，連接PO并延長交雙曲線于，平面內有一點，PQ與GA的延長線交于點H；①若，求點H的坐標；②當時，記H的坐標為，試判斷是否為定值？若為定值，求出該值；若不為定值，說明理由．8．如圖，在平面直角坐標系中，點A(-m，m)(m>0)在反比例函數(x<0)的圖象上，點C在反比例函數(x>0)的圖象上，矩形ABCD與坐標軸的交點分別為H，E，F，G，ABy軸．連接AE，AF，分別交坐標軸于點M，N，連接MN．（1）猜想：∠EAF的度數是定值嗎？若是，請求出度數；若不是，請說明理由；（2）若M為OH的中點，求tan∠ANM．9．兩個反比例函數和（k1k20）在第一象限內的圖象如圖，動點P在的圖象上，PC⊥x軸于點C，交的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交的圖象于點B．求證：四邊形PAOB的面積是定值．10．如圖在平面直角坐標系中，O為原點，A、B兩點分別在y軸、x軸的正半軸上，△AOB的一條內角平分線、一條外角平分線交于點P，P在反比例函數的圖像上．（1）求點P的坐標；（2）若OA＝OB，則①∠P的度數為；②求出此時直線AB的函數關系式；（3）如果直線AB的關系式為y＝kx＋n，且0＜n＜2，作反比例函數，過點P(0，1)作x軸的平行線與的圖像交于點M，與的圖像交于點N，過點N作y軸的平行線與y＝kx＋n的圖像交于點Q，若MN＋QN的和始終是一個定值d，求此時k的值及定值d．

11．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，頂點的坐標為．點是邊上的一個動點(不與、重合)，反比例函數的圖像經過點且與邊交于點，連接．（1）當點是邊的中點時，求反比例函數的表達式（2）在點的運動過程中，試證明：是一個定值．12．已知反比例函數y1＝（m＞0，x＞0）和y2＝﹣（x＜0），過點P(0，1)作x軸的平行線1與函數y1，y2的圖象相交于點B，C．（1）如圖1，若m＝6時，求點B，C的坐標；（2）如圖2，一次函數y3＝kx﹣交l于點D．①若k＝5，B、C、D三點恰好滿足其中一點為另外兩點連線的中點，求m的值；②過點B作y軸的平行線與函數y3的圖象相交于點E．當m值取不大于的任意實數時，點B、C間的距離與點B、E間的距離之和d始終是一個定值．求此時k的值及定值d．

13．已知一次函數和反比例函數．如圖1，若，且函數、的圖象都經過點．求m，k的值；如圖2，過點作y軸的平行線l與函數的圖象相交于點B，與反比例函數的圖象相交于點C．若，直線l與函數的圖象相交點當點B、C、D中的一點到另外兩點的距離相等時，求的值；過點B作x軸的平行線與函數的圖象相交于點當的值取不大于1的任意實數時，點B、C間的距離與點B、E間的距離之和d始終是一個定值．求此時k的值及定值d．14．如圖，點是函數圖象上的任意一點，過點作⊥軸，交另一個函數的圖象于點，在軸上取點，使四邊形是平行四邊形．（Ⅰ）求證：平行四邊形的面積為定值；（Ⅱ）設直線與函數的圖象相交于另一點，若不論點在何處，都有，試求的關系式．15．如圖，一次函數的圖象過點A(0,3)，且與反比例函數(x＞O)的圖象相交于B、C兩點．(1)若B(1，2)，求的值；(2)若AB＝BC，則的值是否為定值?若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．參考答案1．(1)(2)存在，(3)見解析【分析】（1）先求出，，得出，證明．得出，根據，點A的橫坐標為3，求出，得出，即可得出答案；（2）由（1）得，，，，求出拋物線的頂點Q的坐標為，得出點Q是直線上一點．證明，作點D關于直線的對稱點，連接并延長，交直線于點Q，連接，此時最大，求出點的坐標為，待定系數法求出直線的解析式為．聯立，求出點Q的坐標為．（3）求出，，得出，，證明四邊形是矩形，得出．根據，得出，即，設，則，根據點A在反比例函數的圖象上，得出，根據即可證明結論．【詳解】（1）解：當時，直線的解析式為，把代入得，把代入得，解得：，∴，，∴，∵軸，∴，又，∴．∴，∵，點A的橫坐標為3，∴，∴，將代入，得，解得：，∴反比例函數的解析式為．（2）解：存在點Q，使最大．由（1）得，，，，∵直線與直線關于直線對稱，∴，∵，∴拋物線的頂點Q的坐標為，∴點Q是直線上一點．把代入得：，解得：，∴在直線，把代入得：，∴，∴，，，∴，∴為直角三角形，，∴，作點D關于直線的對稱點，連接并延長，交直線于點Q，連接，如圖所示：根據軸對稱可知，，∴，∴此時最大，∵直線，∴點在直線上，且，∴根據中點坐標可知：點的坐標為，設直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線的解析式為．聯立，解得，∴點Q的坐標為．（3）證明：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，，∴，，∵軸，，軸，∴四邊形是矩形，又直線與直線關于直線對稱，∴．根據解析（1）可知：，∴，∴，設，則，∴，∵點A在反比例函數的圖象上，∴，∴．即若k為定值，則的面積為定值．【點睛】本題主要考查了反比例函數的性質，二次函數的性質，一次函數的綜合應用，相似三角形的判定和性質，軸對稱的性質，勾股定理的逆定理，兩點間距離公式，中點坐標公式，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握相關的性質．2．(1)(2)①證明見解析；②是定值，【分析】本題考查了反比例函數系數的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特征，熟知反比例函數圖象上的點一定滿足反比例函數解析式是解題的關鍵．（1）設，得到即可得到；（2）①根據題意得到，求出，得到，即可得到結論；②是定值，由題得，繼而得到，即，由（1）知，得到．【詳解】（1）解：設．軸，．，，．，．（2）①證明：設．點在直線上，．．當時，，．．．．②解：是定值．設．軸，∴在中，，，，，．∴．由（1）知，．3．(1)；(2)．【分析】本題主要考查了反比例函數的應用，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）直接利用待定系數法求解即可；（2）根據題意得，代入關系式中即可求解．【詳解】（1）解：電流I與電阻R是反比例函數關系，設關系式為：，∵圖象經過點，∴，∴，∴電流I與電阻R間的函數關系式為：；（2）解：∵電流不超過，∴，∴，∴．4．(1)；(2)當它所受牽引力為牛時，汽車的速度為米/秒．【分析】（）設，利用待定系數法即可求解；（）把代入（）中所得的函數關系式計算即可求解；本題考查了反比例函數與實際問題的綜合運用，利用待定系數法求出反比例函數表達式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設，把代入得，，解得，∴與之間的函數關系式為；（2）解：把代入得，米/秒，答：當它所受牽引力為牛時，汽車的速度為米/秒．5．(1)(2)(3)是定值，【分析】（1）把、代入解析式解題即可；（2）連接，則有，根據，令，則解題即可；（3）過點F作軸于點G，與x軸交于點T，設點，點F坐標為，則，根據可以得到，根據解題即可．【詳解】（1）解：∵、均在反比例函數的圖象上，∴，解得，，∴反比例函數表達式為；（2）如圖，連接，∵為菱形，∴，∵，點C為的中點，，∴，∴，∴，∴，令，∵，∴，又∵，∴(舍)，∴，在中，，∴，∵，∴，又∵點P是反比例函數圖象上一點，∴點P的坐標為．（3）過點F作軸于點G，與x軸交于點T，設點，點F坐標為，則，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵,∴，又∵，∴，∴，∴，∴，解得，∵a，b異號，，∴，∴，由（1）知，∴，為定值．【點睛】本題是反比例函數的綜合題，考查反比例函數的圖像上點的特點，全等三角形的判定和性質，菱形的性質，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．6．(1)9；(2)①；②是，的值為【分析】（1）設點的橫坐標為，則，由題意可知，軸，則，，．所以，，由菱形的性質可知，，，所以．（2）①由題意可知，點在軸上，點在軸上，設點的橫坐標為，則，同上可知軸，所以，，．因為點是的中點，，，．由點，在坐標軸上，建立方程即可得出結論；②設點的橫坐標為，則，同上可知，，，．，，．設直線所在的直線為，利用待定系數法可求出．所以直線的解析式為：．因為點，，三點共線，所以將點的坐標代入可得，整理該等式即可得出結論．【詳解】（1）解：設點的橫坐標為，則，軸，，軸，，，．，，，，．故答案為：9．（2）解：①由題意可知，點在軸上，點在軸上，設點的橫坐標為，則，軸，，軸，，，．點是的中點，，，，即，，．點在軸上，點在軸上，且，；②是，理由如下：設點的橫坐標為，則，軸，，軸，，，．，，，即，，．設直線所在的直線為，，即．直線的解析式為：．點，，三點共線，，整理得或1（舍．綜上，的值為．【點睛】本題考查了反比例函數與幾何綜合題，待定系數法求函數解析式，菱形的性質，中點坐標公式等知識，解題的關鍵是設出關鍵點的坐標，利用菱形的性質去表達，，，的坐標．7．(1)(2)點P的坐標為（1，2）或(3)①點H（0，5）；②（a+2）（b-4）=2，為定值．【分析】（1）過點A作AH⊥x軸于點H，根據旋轉的性質易證△AHO≌△OCB（AAS），根據全等三角形的性質可得點B坐標，進一步即可求出反比例函數解析式；（2）設點P坐標為（p，），表示出△POC的面積，當點P在點B左側的雙曲線上，當點P在點B右側的雙曲線上，分別表示出△PBC的面積，根據S△POC=4S△PBC，列方程，求解即可；（3）①先求出點P坐標，進一步求出點G和點Q坐標，待定系數法求直線AG和直線PQ的解析式，聯立兩直線解析式即可求出交點H的坐標；②先待定系數法求出直線AG和直線PQ的解析式，聯立兩解析式求出交點H的坐標，可得a=m-2，b=n+4，進一步即可求出（a+2）（b-4）的值．【詳解】（1）解：過點A作AH⊥x軸于點H，如圖所示：則∠AHO=90°，∴∠HAO+∠AOH=90°，∵BC⊥x軸，∴∠BCO=90°，∴∠AHO=∠BCO，∵點A（-1，2）繞原點順時針旋轉90°至點B，∴AO=BO，∠AOB=90°，AH=2，OH=1，∴∠AOH+∠BOC=90°，∴∠HAO=∠BOC，∴△AHO≌△OCB（AAS），∴OC=AH=2，BC=OH=1，∴點B坐標為（2，1），將點B坐標代入反比例函數，得k=2×1=2，∴反比例函數解析式：；（2）設點P坐標為（p，），則S△POC＝×2×=，當點P在點B左側的雙曲線上，S△PBC＝×1×(2?p)，∵S△POC=4S△PBC，∴=4×，解得p1=p2=1，∴點P坐標為（1，2）；當點P在點B右側的雙曲線上，S△PBC＝×1×(p?2)=，∵S△POC=4S△PBC，∴=4×，解得（不符合題意，舍去），∴點P坐標為，∴符合條件的點P坐標為（1，2）或；（3）①當m=2時，根據題意，可得mn=2，即2n=2，∴n=1，∴點P坐標為（2，1），點G坐標為（-2，-1），點Q坐標為（1，3），設直線GA的解析式為y=kx+b（k≠0），將點A和點G坐標代入解析式，得，解得，∴直線AG的解析式為y=3x+5，設直線PQ的解析式為，將點P和點Q坐標代入解析式，得，解得，∴直線PQ的解析式為y=-2x+5，聯立，解得，∴點H坐標為（0，5）；②（a+2）（b-4）是定值，∵P（m，n），G（-m，-n），A（-1，2），Q（m-1，n+2），設直線AG的解析式為y=dx+c（d≠0），代入點A和點G的坐標，得，解得，∴直線AG的解析式為，設直線PQ的解析式為y=ex+f（e≠0），代入點P和點Q坐標，得，解得，∴直線PQ的解析式為y=-2x+2m+n，聯立，解得，∴點H（m-2，n+4），∵記H的坐標為（a，b），∴a=m-2，b=n+4，∴（a+2）（b-4）=mn，∵點P（m，n）是第一象限內雙曲線上一動點，∴mn=2，∴（a+2）（b-4）=2．【點睛】本題考查了反比例函數的綜合應用，涉及反比例函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求解析式，全等三角形的性質和判定，一次函數的交點，旋轉的性質，三角形的面積，定值問題等，本題綜合性較強，難度較大．8．（1）是定值，∠EAF=45°；（2）3【分析】（1）連接AO，由點的坐標可得四邊形AHOG為正方形，然后利用勾股定理得出，根據點C所在的反比例函數解析式可得：，利用等量代換得出：，根據相似三角形的判定和性質可得：，，結合圖形，由各角之間的數量關系即可得出結果；（2）OH的延長線上取點P，使得，連接AP，用正方形半角模型得，，設正方形AHOG的邊長為2a，，即可得出各邊長，然后利用勾股定理得出，根據正切函數的性質求解即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，連接AO，點，∴四邊形AHOG為正方形，∴，∵根據點C所在的反比例函數解析式可得：，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，為定值；（2）解：如圖，在OH的延長線上取點P，使得，連接AP，利用正方形半角模型即：將旋轉到位置，得，，設正方形AHOG的邊長為2a，則，設，則，，由勾股定理得，即：，得，∴．【點睛】題目主要考查反比例函數圖象與圖形的結合問題，包括正方形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，圖形的旋轉，正切函數等，理解題意，作出相應輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵．9．見解析【分析】由在反比例函數的圖象上任意一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是|k|，所構成的矩形的面積是|k|，且保持不變，得出S矩形OCPD=k1，S△AOC=S△DBO=k2，再根據四邊形PAOB的面積=S矩形OCPD﹣S△AOC﹣S△DBO，化簡后即可求出四邊形PAOB的面積是k1﹣k2，為定值．【詳解】證明：∵動點P在的圖象上，PC⊥x軸于點C，交的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交的圖象于點B，∴S矩形OCPD=k1，S△AOC=S△DBO=k2，∴四邊形PAOB的面積=S矩形OCPD﹣S△AOC﹣S△DBO=k1﹣2×k2=k1﹣k2．∴四邊形PAOB的面積是定值．【點睛】本題考查了反比例函數y=中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點．10．（1）P(2，2)；（2）①22.5°；②；（3）k＝2，d＝3．【分析】（1）過P作PC⊥x軸于C，作PD⊥y軸于點D，PE⊥AB于E，根據角平分線性質得PC=PD，再根據反比例函數的解析求得P點坐標；（2）①由等三角形的外角定理求得∠BAD的度數，再由角平分線求出∠PAD和∠POA的度數，最后由三角形的外角即可求得結果；②過P作PD⊥y軸于點D，由角平分線得PH=PD，進而求得OH，OA，得出A、B兩點坐標，再用待定系數法求得AB的解析式；（3）由已知點P的坐標，根據已知條件求出M、N、Q的坐標，再求得MN+NQ的解析式，根據解析式的特點進行解答即可．【詳解】解：（1）過P作PC⊥x軸于點C，作PD⊥y軸于點D，PE⊥AB于點E，如圖1，

∵AP和BP分別是∠BAF和∠ABC的平分線，∴PC=PE=PD，設PC=a，則P（a，a），把P（a，a）代入中得，a2=4，∴，由于，因此，∴P(2，2)；（2）①∵OA=OB，∠A0B=90°，∴∠OAB=45°，∴∠BAD=135°，∵∵AP和BP分別是∠BAF和∠ABC的平分線，∴∠PAD=67.5°，∠POA=45°，∴∠APO=∠PAD-∠POA=22.5°，∴∠P＝22.5°；②過P作PD⊥y軸于點D，如圖2，

∵OA=OB，OP平分∠AOB，∴OP⊥AB，∵AP平分∠BAD，∴PH=PD，由（1）知P（2，2），∴PH=PD=OD=2，OP=，∴OH=，∴OB=OA=OH=，∴A（0，），B（，0），設直線AB的解析式為：y=mx+n（m≠0），則，解得，∴直線AB的函數關系式為；（3）如圖，

把y＝1代入中，x＝4，∴M(4，1)．把y＝1代入中，x＝－n，∴N(－n，1)．把x＝－n代入y＝kx＋n中，y＝－kn＋n，∴Q(－n，－kn＋n)．∴MN＋QN＝（4＋n）＋（－kn＋n－1）＝－kn＋2n＋3＝（－k＋2）n＋3，∵0＜n＜2，∴當k＝2時，MN＋QN為定值，定值d＝3．【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象和性質，反比例函數的圖象和性質，角平分線的性質，直角三角形的性質，三角形的外角性質，熟練掌握函數的圖象和性質是解題的關鍵．11．（1）y=；（2）2【分析】（1）根據已知條件，求出點的坐標，代入反比例函數解析式即可求出；（2）根據待定系數法，可得反比例函數解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得點N的坐標，根據線段的和差可得MB、BN，再根據分式的性質可得答案．【詳解】解：（1）矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，頂點的坐標為．∵點是邊的中點，∴點的坐標為，∵反比例函數的圖像經過點，∴，解得：∴反比例函數的表達式為．（2）證明：設點M的坐標為，∴．∵反比例函數的圖像經過點，∴，∵反比例函數的圖像經過點且與邊交于點，∴點的橫坐標是，當時，，∴點的坐標是．∴，∵，∴是一個定值．【點睛】本題主要考查了反比例函數的綜合題，解題的關鍵是利用待定系數法求出函數的解析式．12．（1）B(6，1)，C(﹣3，1)；（2）①或；②k的值為2，定值d為1【分析】（1）將y＝1代入y1＝和y2＝﹣＝，即可求解；（2）①分點B是CD的中點、點D為BC中點兩種情況，利用中點公式即可求解；②點B（m，1），則點E（m，mk﹣m），則BC＝，BE＝|mk﹣m﹣1|，d＝BC+BE，即可求解．【詳解】解：（1）∵m＝6，將y＝1代入y1＝＝1，解得：x＝6，故點B（6，1），將y＝1代入y2＝﹣＝＝1，解得：x＝﹣3，故點C（﹣3，1）；（2）①當y＝1時，點B、C的坐標分別為：（m，1）、（﹣m，1），當k＝5時，y3＝kx﹣＝5x﹣＝1，解得：x＝，故點D（，1），當點B是CD的中點時，由中點公式得：＝+2m，解得：m＝；當點D為BC中點時，同理：m﹣m＝2×，解得：m＝；綜上，m＝或；②點B（m，1），則點E（m，mk﹣m），則BC＝，BE＝|mk﹣m﹣1|，d＝BC+BE＝+mk﹣m﹣1＝（k+1）m﹣1，當k＝﹣1時，d＝﹣1＜0，舍去；d＝BC+BE＝﹣mk+m+1＝（2﹣k）m+1，∵BC+BE為定值，故k＝2，此時d＝1，故此時k的值為2，定值d為1．【點睛】本題考查的是反比例函數綜合運用，涉及到中點公式的運用、絕對值的意義、定值問題等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．13．（1）m=12，k=2；（2）①m-n=1或m-n=4；②k=1，定值d=1【分析】（1）將點A的坐標代入一次函數表達式即可求解，將點A的坐標代入反比例函數表達式，即可求解；（2）①BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2，由BD＝BC或BD＝DC或BC＝CD得：m﹣n＝1或0或2，即可求解；②點E的坐標為（，m），d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），即可求解．【詳解】解：（1）當n＝﹣2時，y1＝kx﹣2，將點A（3，4）代入一次函數y1＝kx﹣2得：3k﹣2＝4，解得：k＝2，將點A（3，4）代入反比例函數得：m＝3×4＝12