1第6章《計數原理》人教A版2019選擇性必修第三冊6.2.3組合

問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動,其中1名同學參加上午的活動,1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲乙，甲丙，乙丙從已知的3個不同元素中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一列。從已知的3個不同元素中每次取出2個元素合成一組有順序無順序排列組合甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙

環節一：創設情境，引入課題

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．

將具體背景舍去，上述問題可以概括為：從3個不同元素中取出2個元素作為一組，一共有多少個不同的組?

這就是我們要研究的問題．

環節二：觀察分析，感知概念

排列與組合的概念有什么共同點與不同點？

組合定義：一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．排列定義：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.共同點：都要“從n個不同元素中任取m個元素”

不同點：排列與元素的順序有關，而組合則與元素的順序無關.組合

甲乙

甲丙

乙丙

甲乙，乙甲

甲丙，丙甲

乙丙，丙乙排列

問題一和問題二中“排列”和“組合”的對應關系：

探究：你能說一說排列與組合之間的聯系與區別嗎？思考一：ab與ba是相同的排列還是相同的組合?為什么?思考二：兩個相同的排列有什么特點?兩個相同的組合呢?１）元素相同；２）元素排列順序相同.元素相同排列組合組合

環節三：抽象概括，形成概念判斷下列問題是組合問題還是排列問題?(1)設集合A={a，b，c，d，e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?組合問題(2)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候,共需握手多少次?組合問題(3)從4個風景點中選出2個游覽，有多少種不同的方法?組合問題(4)從4個風景點中選出2個，并確定這2個風景點的游覽順序，有多少種不同的方法?排列問題組合是選擇的結果，排列是選擇后再排序的結果.組合排列校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色、綠色的各有3輛.下面的問題是排列問題，還是組合問題？①從中選3輛，有多少種不同的方法?②從中選3輛給3位同學，有多少種不同的方法?思考：判斷一個計數問題是排列問題還是組合問題的方法：排列問題組合問題若交換某兩個元素的位置對結果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關.若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關.

環節四：辨析理解，深化概念例5：平面內有A、B、C、D共4個點.(1)以其中2個點為端點的有向線段共有多少條?(2)以其中2個點為端點的線段共有多少條?解：(1)一條有向線段的端點要分起點和終點，以平面內4個點中的兩個點為端點的有向線段的條數，就是從4個元素中取出2個元素的排列數，共有

條.(2)將(1)中端點相同、方向不同的2條有向線段作為1條線段，就是以平面內4個點中的2個點為端點的線段的條數，共有如下6條：AB，AC，AD，BC，BD，CD.這12條有向線段分別為

環節五：課堂練習，鞏固運用結論：取出2個元素的組合的個數是排列數的一半

利用排列和組合之間的關系，以“元素相同”為標準分類，你能建立起例5(1)中排列和(2)中組合之間的對應關系嗎？進一步地，能否從這種對應關系出發，由排列數求出組合的個數？思考：1.甲、乙、丙、丁4支足球隊舉行單循環賽，(1)列出所有各場比賽的雙方；（2)列出所有冠亞軍的可能情況.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：

請看課本P22：練習2.已知平面內A，B，C，D這4個點中任何3個點都不在一條直線上，寫出以其中任意3個點為頂點的所有三角形.解：ΔABC，ΔACD，ΔABD，ΔBCD3.現有1，3，7，13這4個數．（1）從這4個數中任取2個相加，可以得到多少個不相等的和?（2）從這4個數中任取2個相減，可以得到多少個不相等的差?

請看課本P23：練習1.組合的定義

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(combination).

課堂小結：判斷一個計數問題是排列問題還是組合問題的方法：排列問題組合問題若交換某兩個元素的位置對結果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關.若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關.1.從a，b，c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合分別是：ab,ac,bc

2.已知4個元素a，b，c，d，寫出每次取出兩個元素的所有組合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3個)(6個)概念理解：

從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示.如：從a，b，c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數是：如：已知4個元素a、b、c、d，寫出每次取出兩個元素的所有組合個數是：概念講解組合數：注意：是一個數，應該把它與“組合”區別開來．

1.寫出從a，b，c，d四個元素中任取三個元素的所有組合。abc，abd，acd，bcdbcddcbacd練一練:組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb你發現了什么?如何計算：根據分步計數原理，得到：因此：

一般地，求從個不同元素中取出個元素的排列數，可以分為以下2步：

第1步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數．第2步，求每一個組合中個元素的全排列數

．

這里，且，這個公式叫做組合數公式．

例：一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一人參加過比賽。按照足球比賽規則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人。問：（1）這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場