注冊電氣工程師供配電公共基礎(數

學)歷年真題試卷匯編2

一、單項選擇題(本題共35題，每題1.0分，共35

分。)

1、(2009年)設z=f(x?-y2),則dz等于()。

A、2x—2y

B、2xdx-2ydy

C、f(x2-y2)dx

D、2f(x2-y2)(xdx-ydy)

標準答案：D..............

Idr="dr?生"一由于公=2/(/-_/),.=

知識點解析：這是二元函數求全微分，未學主歲

2yf(x2—y2)?所以dz=2f(x2-y2)(xdx—ydy)。

2、(2008年涵數y=x3-6x上切線平行于X軸的點是()。

(A)(0,0)(B)(75,1)

(C)和(0,-4a)(D)。,2)和(-1.2)

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：由于導數E(xo)表示曲線y=f(x)在點(X2，f(xo))處切線的斜率，故要求

切線平行于X軸的點即是求導數為零的點，由y，=3x2-6=0得代入產x3一

6x得I尸小反，所求點為(能,4&)和(a.?4近)?

3、(2009年)設y=(x)是(a,b)內的可導函數,x,x+Zkx是(a,b)內的任意兩點，則

()。

A、Ay=f(X)AX

B、在x,x+^x之間恰好有一點匕，使△y=r?)Ax

C^在x,x+Zix之間至少有一點自，使△y=r(94x

D^在x,x+Ax之間住意一點。均有△y=F?)Ax

標準答案：C

知識點解析：因y=f(x)在(a,b)內可導,x,x+Ax是(a,b)內的任意兩點，故f(x)在

[x,x+^x]上連續，在(x,x+Zkx)內可導，由拉格朗日中值定理，至少存在一點

眄x,x+Ax),使f(x+Ax)一f(x)=f(^)AX,即△y=?(g)2\X。

4、(2009年)函數"X在(?8,+8)內()。

A、單調減少

B、單調增加

C、有界

D、偶函數

標準答案：B

知識點解析：由于f(0—0)=f(0+0)=f(0)=Lf(x)在(-8,+8)內處處連續；又在(s,

0)內,f(x)=-2x>0,在(0,+oo)內,f(x)=l>0,故f(x)在(-00,+8)內單調增加。

5、(2007年)函數y=f(x)在點x=X2處取得極小值，則必有()。

A、f(xo)=O

B、fXx0)>0

C、F(xo)=0且f，(xo)>0

D、r(xo)=o或導數不存在

標準答案：D

知識點解析：r(xo)=o的點x=x()是駐點，并不一定是極值點：r(xo)二o且『的))>0

是y=f(x)在點X=xo處取得極小值的充分條件，但不是必要的，故選項(A)、(B)、

(C)都不正確；極值點必從駐點或導數不存在點取得。

6、(2006年)設函數f(x)在(?8,+oo)上是奇函數，且在(0,+8)內有f(x)V0,P(x)

>0,則在(-8,0)內必有()。

A、f(x)>0,f(x)>0

B、f(x)<0,f(x)<0

C、f(x)<0,rxx)>o

D、f(x)>0,fXx)<0

標準答案：B

知識點解析：該題有兩種解法。利用奇函數圖形關于原點對稱，偶函數圖形關于y

軸對稱。方法一：當f(X)在(-8,+00)上一階和二階導數存在時，若f(X)在(-8,+00)

上是奇函數，則f(X)在(-8,+00)上是偶函數，且「(X)在(-8,+O0)上是奇函數：再

由在(0,+oo)內有「(x)<o,r,(x)>o,利用上述對稱性，故在(-8,0)內必有r(x)

<0,f,(x)<0o方法二：函數f(x)在(-8,+O0)上是奇函數，其圖形關于原點這

稱，由于在(0,+8)內有r(x)vo,廣(x)>o,f(x)單調減少，其圖形為凹的；故在(-

00,0)內，f(x)應單調減少，且圖形為凸的,所以有F(x)V0,f,(x)<0o

7、(2008年)設函數f(x)在(-8,+00)上是偶函數,且在(0,+8)內有r(x)>0,廣(x)

>0,則在(-8,0)內必有()。

A、f(x)>0,f(x)>0

B、f(x)<0,f(x)>0

C、f(x)>0,產(x)VO

D、f(x)<0,f(x)<0

標準答案：B

知識點解析：該題有兩種解法。方法一：當f(X)在(-8,+00)上一階和二階導數存在

時，若f(x)在+8)上是偶函數，貝I」「(X)在(?8,+00)上是奇函數，且「(X)在(?

8,+8)上是偶函數；再由在(0,十8)內有P(X)>0,f(X)>0,利用上述對稱性，故

在(-8,0)內必有f(X)V0,f(X)>0o方法二：函數f(X)在(-8,+8)上是偶函數，

其圖形關于y對稱，由于在(0，+8)內有r(x)>0,「(x)>0,f(x)單調增加，其圖形

為凹的；故在(-8,O)內，f(x)應單調減少，且圖形仍為凹的，所以有r(x)vo,

f'(x)>0o

8、(2007年)對于曲線‘一53下列各性態不正確的是()。

A、有3個極值點

B、有3個拐點

C、有2個極值點

D、對稱原點

標準答案：A

知識點解析：函數53在(.8,+8)內處處可導，由y=x%2—1)=0,求得三

個駐點x=±l,x=0o在x=±l的兩側鄰近一階導數符號發出變化，故*=±1是極值

點，而在x=0兩側鄰近一階導數符號沒發生變化，故x=0不是極值點，因而曲線

53有兩個極值點，(A)選項是錯的，應選(A)。再由y”=2x(2x2-l)=0,解得

.X—t—

x=0,2經判別這二個點都是是拐點的橫坐標，故有3個拐點，(D)選項正確；

函數是奇函數，曲線關于原點對稱，(D)選項也正確。

9、(2010年)下列各點中為二元函數z=x3一y3—3x2+3y-9x的極值點的是()，

A、(3,-1)

B、(3,1)

C、(1,1)

D、(-1,-1)

標準答案：A

--=3x:-6x-9=0

由，而I

知識點解析：利用多元函數極值存在必要條件，^="3/+3"0解得四個花點

(3,1)、(3,-1)、(-1,1)、(-1,-1)。再利用多元函數極值存在充分條件，求二階偏

知識點解析：由r(x)=g，(x),顯然有df(x)=dg(x)和Jdf(x)=Jdg(x)成立，再對

「(x)=g，(x)兩邊積分，可得f(x)=g(x)+C,選項(B)、(C)、(D)都正確。

13、(2010年)若f(x)的一個原函數是e】x,則田(x)dx等于()。

A、e-2x+C

B、-2e】x

C、-2e-2x+C

D、4e-2x+C

標準答案：D

知識點解析：因。么是f(x)的一個原函數，故有f(x)=(eZ)，=一2c以，f(x)=(-2e-

2xy=4e-2xj『(x)dx=jdr(x尸r(x)+C=4e-2x+C。

J.",dr等于().

[4、Jsmxcosx

A、cotx-tanx+C

B、cotx+tanx+C

C、一cotx一tanx+C

D、-cotx+tanx+C

標準答案：C

知識點解析：cos2x=cos2x-sin2x,有

原式二產…f-Udx-f^_-tx-unx+C

JsinxcosxJsinxJcosax<k=co

(A)---J—+C(B)-1(3-x2p+C

15等于

(C)3-x、C(D)(3-，尸+C

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：用第一類爽元及基函數積分公式，有

JxV3-x2dr=J(3-x2Pd(3-xa)=-；(3-Y)；十0

16、(2007年)若Jf(x)dx-x34C(C為任意常數)，則Jf(cosx)sinxdx等于()。

A、-cos3x+C

B、sin2x+C

C、cos3x+C

D、3cos3x+C

標準答案：A

知識點解析：用第一類爽元Jf(cosx)sinxdx=Jf(cosx)dcosx=-cos3x+C。

17、(2009年)若Jf(x)dx=F(x)+C(C為任意常數)，則‘五"""等于()。

(A)1F(VX)+C(B)2F?)+C

(C)F(x)+C(D)尊

vx

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

用第一類換元及3&=2d\/，，有f-L/(7x)dx=2f/(\/x)dx/x=2F(Vx)+Ca

知識點解析：??

18、(2010年)Jxe'Xdx等于()。(選項各式中C為任意常數)

(A)-F(2X+1)+C(B)LL(2X+1)+C

4

(C)-*g-l)+C(D)-ie^U+D+C

A、

B、

C、

D、

標準答察.A

知識點解M：用分部積分法，

有

jxe2,dx=—Jxde_2x=-^(xe'24■je^dr)=-id+；)+C

=_}m(2x+l)+C

色廣，萬;7dz等于()#

19、&0

A^sinx

B、IsinxI

C、-sin2x

D^-sinxIsinxI

標準答案：D

知識點解析：利用積分上限函數導數等于被積函數，以及:"了可小有

=V1-cos;x-(-sinx)=-|sinxjsinx

20、(2006年)若H(3x2+2x)dx=0(k#0),則k等于()。

(A)1(B)-1

(C)-(D)1

22

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：由J()k(3x2+2x)dx=k3+k2=0,得k=l(k#))。

「X廬7dx等『《).

21、J-3

A、0

B、9n

C、37t

9

D、2n

標準答案：A

知識點解析：積分區間關于原點對稱，被積函數是奇函數，故積分為0。該題也可

用第一類換元法求解。

22、(2005年)下列結論中錯誤的是()。

a2a2

A、f.af(x)dx—2Jof(x)dx

B、必兀sin1。xdx=fo27tcos10xdx

C、J-Jcos5xsin7xdx=0

D、fo'lOxdx=9

標準答案：D

f^O'dxs—L=-^-.

知識點解析：MIOInlO選項①)是錯的，故應選(D)。函數曲2)在［

a,a］上是偶函數，所以Laaf(x2)dx=2j()af(x2)dx；利用結論h'sinnxdxTo^cosnXdx,

知選項(B)正確：再利用cos5xsin7x在［一兀，兀］上是奇函數，知L『cos5xsin7xdx=0.

23、(2008年)設函數f(x)在|0,+oo)上連續，且f(x)=xe-x+eXJoif(x)dx滿足，則f(x)是

()。

A、xex

B、xex-ex4

C、ex-1

D、(x-l)e-x

標準答案：B

知識點解析：記a=Jo】f(x)dx,有f(x戶xe-x+ae，，對f(x)=xe"+aeX在［0,1］上積分,

2i

...4=1—+o(e—1)?解得a=—，八

#f()f(x)dx=foxe-xdx+afoexdx,積分得ee所C

/(x)=xe-=i.

24、（2008年）廣義積分'J。則c等于（）。

2

(A)n(D>--

n

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：用第一類浜元法，有

C.雙廣C.Xy/lc一X|+0*&九

r五丁彳工不『正二丁1rc引0=了丁

所以C=乎.

25、（2007年）Jo+°°xe-2xdx等于（）。

（A）--（B）i（C）-（D）4

42,4

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：用分部積分法，有

26、（2009年）下列結論中正確的是（）。

（A）收斂

(C)jjjdr發散(D)J：”dx收斂

A、

B、

C、

D、

標準答案:c

因為也=24『=一發散，應選(c).

J:34=J:3女+j;g*,

而(二出=」|；=2發散；1*/(/)dr=2xf(x2)；Je2dx=-2e邛_=f

知識點解析:發散，故其他三個選項都是錯誤的.

27、(2010年)下列廣義積分中收斂的是()。

(A)￡-ydr(B)|-j=J=dx(C)|°e"dx(D)(Inxdr

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

因為『:=dr=-26i|,O：=26,該廣義積分收斂,故應選(B)。

J。MF

r-Vdx=-，|：=e,//'dr=-e"=2，[Inxdx=-H??都發散.

知識點解析：hx鈔1J，

設平面閉區域O由x=0,y=0,x+y=：,x+y=1所圍成，/)=j|

ZD

[ln(x+y)r(kd>-,/2="。+向3白與，/產WsiMx+^fdrdy,則/”人/之間的大

DD

28、小關系為()?

A、"12Vl3

B、I1VI3VI2

C>13V12Vli

D、I3VI1VI2

標準答案：B

,1,

—<x+v<1.

知識點解析：由圖1-1知，在積分區域D內，有2,于是有ln(x+y)V

sin(x+y)<x+y>BP|ln(x+y)]3<[sin(x+y)]3<(x+y)3,故3V12,應選B。

圖i-i

92xda

29、（2007年）設D是曲線y=x"■與y=l所圍閉區域，。等于（）。

A、1

1

B、2

C、0

D、2

標準答案：C

知識點解析：由圖1-2知，積分區域D關于y軸對稱，又被積函數f（x,y）關于X

為奇函數，積分為零?；驅⒍胤e分化為二次積分，有

1?

0

用xd。=21產J；dy=2j：〃l-x，)dx=0圖I

30、(2006年)設f(x,y)是連續函數,則K/dx?f(x,y)dy=()。

A、Hdy?f(x,y)dx

B、EdyHf(x,y)dx

C、J(JdyJ(Jf(x,y)dx

D、?dyjyif(x,y)dx

標準答案：D

知識點解析：積分區域D如圖1—3所示，將積分區域D看成X.型區域，則D：

y<x<l,0<y<l,故有ddxJ()Xf(x,y)dy=fo1dyfy1f(x,y)dx。

31、(2008年)D域由x軸，x2+y2-2x=0(yK))及x+y=2所圍成，f(x,y)是連續函數,

(A)J；dcJ:*7(Pcos0.0sin⑼pdp

(B)"心/(”8

(C)j2d^|/(pcos伊,psin(p)pdp

化心…為二次積分是()。⑺

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：畫出積分區域圖形(見圖1-4),由圖可知，積分

【乂域。為OWyWl,i-《1-y，WxW2-y?

，=?2

32、(2010年)圓周p=cosO,p=2cosB及射線0=0,4所圍圖形的面積s為()。

<A)葡+2)(B)/+2)

o10

、

(C)33(k2)(D)7-n

168

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：圓周p=cosO,p=2cos0及射線0=0,所圍圖形如圖1-5所示，所

收麗(4cos*夕-8S，夕)d。

D/

-Pcos3046

21

=13(2^+sin20)4=-f-+l|=—(JC+2)

以808\2)16)6圖1-5

/=fffzdv

33、（2010年）計算?其中Q為z2=x2+y2,z=l所圍成的立體，則正確的解法

是（）。

A、I=J（產dOjo