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直覺探索主意

羅增儒鐘湘湖編著

大家出版社

ZHIJUETANSUOFANGFA

LUOZENGRU

ZHONGXIANGHU

圖書在版編目（CIP）數據

直覺探索主意/羅增儒,鐘湘湖編著.-鄭州：大象出版社，1999

（中學數學思維主意叢書/王梓坤，張乃達主編）

第1頁/共170頁

千里之行，始于足下

ISBN7-5347-2337-X

I.直…II.⑴羅…（2）鐘…III.數學主意-中學-課外讀物IV.G634.603

中國版本圖書館CIP數據核字（1999）第23115號

責任編輯樊洪濤責任校對張靜燕

象社出版（鄭州市農業路73號郵政編碼

450002）

新華書店經銷河南省瑞光印務股份有限公司

印刷

開本850x〃68〃32印張6

1999年9月第1版1999年9月第1次印刷

印數1-2500冊定價6.85元

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印□'地址鄭州市一環路35號

郵政編碼450053電話（0371）中學數學思維主意叢書

主編王梓師張乃達

編委（以姓氏筆畫為序）

王梓坤過伯祥楊世明

張乃達蔣聲

本冊作者羅增儒鐘湘湖

序

早在1995年8月，大象出版社（原河南教誨出版社）在揚州舉辦了一個座談會,邀請十余

位教學水平很高的數學教師參加，商討出版一套“中學數學思維主意叢書與會同仁認為，

這是一個寬裕創見的倡議，因而得到大家熱烈贊許。提供一套既有較濃厚的理論基礎，又寬

裕文采和啟發性、可讀性的關于數學思維的參考書,對中學數學教學，無疑會是異常有益的;

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而更主要的，廣大的中學生們，將在形象思維、邏輯推理和嚴密計算等方面，學到無數的東西。

這對未來無論做什么工作，都會受益無窮。

回想我們青少年時期學習數學的情景，總會有幾分樂趣幾分驚奇。做出了幾道難題是樂

趣,而驚奇則來自主意的長進。記得小學算雞兔同籠,必須東拼西湊，多一只兔便比雞多了兩

條腿，好不容易才干做出一題。而學過代數，這類問題便變得極為容易。做幾何題也一樣，必

須詳細問題詳細解決，而學過解析幾何后便有了普通的程序可循。至于算圓的面積，倘若不用

積分便會相當麻煩。由此可見，主意的長進對科學的發展是何等重要。以上是對學習現成的

東西而言。倘若要舉行科研，從事創新、發現或發現，那就更應重視主意，異常是思維主意。

沒有新思想,沒有新主意,要超過前人是很艱難的。有鑒于此，一些優秀的數學家便諄諄告誡

學生們，要異常重視學習主意和研究主意。美國聞名數學家G.Polya寫過好幾種關于數學思

想主意的書，如《怎樣解題》、《數學的發現》、《數學與預測》，后來都成為世界名著，很

受歡迎。

學習任何一門科學,都有控制知識和培養能力兩方面。普通說來，前者比較容易。因為知

識已經成熟,而且大都己經過前人收拾,成為循序漸進的教材。但能力則不然，那是捉摸不定、

視之無形的東西，主要靠自己去思考,去探索,去總結,去刻苦鍛煉。教師的培養固然重要，但

只能起輔導作用。只可意會，不可言傳，而偶爾甚至連意會都做不到。正如游泳，只靠言傳是

絕對學不會的。這是對受業人而說的。

至于教師,則應無保留地傳授自己的經驗和體味,盡量縮短學生學習的時光。中國有句

古詩:“鴛鴦繡出憑君看?，不把金針度與人。”意思是說知識可以輸出，但能力不可傳授。前一

句話意思很好，后一句應改為“急把金針度與人這套叢書，正是專門傳授金針的。

普通的科學研究主意,可分為演繹與歸納兩大類。在數學中,演繹極為重要,而歸納則基

本上用不上，除了C.F.Gauss等人偶爾通過看見數列以提出一些數論中的預測而外。不過自

從計算機發現后,這種情況己大為改觀。混沌學主要靠計算機而發展起來,數學模擬也主要

靠計算機。再者，以往數學中極少實驗，還是因為計算機的廣泛使用，現在不少數學系己有了

實驗室,異常是統計實驗室。可以期待，計算機對改變數學的面貌，對改善數學的思維主意，都

會起到越來越大的作用。

千里之行，始于足下

在此之前，我國已經出版了幾本關于數學主意的書，它們都各有特色。如就規模之大，選

題之廣，論述之精而言,這套叢書大概是盛況空前、蔚為大觀的。我們希翼它在振興我國的

科學事業和培養數學人才中，將會起到令人鼓勵的作用。

引言

數學直覺像是一個未曾見過面的老朋友,我們感覺到它的存在與友誼,可又說不清它的

容顏與風度.本書嘗試對這位奧秘的友人,做點結合中學實際的探索.

首先,書中記述了古今中外的許多潛邏輯現象,包括聞名數學家膾炙人口的直覺發現、

數學教誨同行們的直覺經驗和作者個人的直覺經歷,還有非數學的極其動人的靈感故事.然

后，探索了數學直覺的特征，主要分析它的非邏輯、潛意識特征，它的直接突發、整體綜合特

征,它的新異突破、自由熱烈特征等.最后,用較長的篇幅探索數學直覺的培養,涉及審美直

覺在數學發現中的作用.倘若讀者看了這本書后能產生這樣的共鳴:“我也曾有過直覺的情

節……我也有探索直覺奧秘的興趣!''那么，本書的寫作目的就基本達到了，因為它的目的就

是把深奧的數學直覺普及到中學去.

需要說明的是,本書在艱巨而漫長的寫作決定中，參閱了許多資料,我們謝謝書中已經列

出與尚未列出的資料的作者,謝謝他們的智慧對本書寫作的協助，同時又困窘于各家觀點的

不盡相同.后來，鑒于本書的主題一一探索，我們采取了兼容并蓄的做法,希翼讀者能從資料

的廣泛代表性上去理解,并作出自立思量和判斷.畢竟,當一個概念尚未成熟時,定義確實切

性并不是最重要的.

還要說明，固然本書有整體的結構,但又區別于邏輯順序異常鄭重的數學著作,讀者徹低

可以從感興趣的章節開始閱讀；異常是,許多詳細例題的分析大多有相對自立性,具備初中以

上數學知識即可跳過理論講述而直接贊賞.

探索總是粗糙的，但愿粗糙能成為確切與成熟的先導.

謹以本書獻給母校一一惠州市第一中小學慶70周生.

作者

1998年7月初稿于廣東惠州

1999年1月定稿于陜西西安in.

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目錄

引言

一、數學直覺的認識(1)

1.數學直覺的實例感知(2)

2.數學直覺的初步認識(18)

3.數學家與數學直覺(32)

二、數學直覺的特征(40)

1.非邏輯潛意識(42)

2.直接突發整體綜合(51)

3.新異突破自由熱烈(63)

三、數學直覺的培養(70)

1.數學直覺的培養主意(74)

2.培養數學直覺的學例(90)

3.解題活動中直覺與邏輯的互相

轉換(111)

4.“以美啟真”發展數學直覺(157)

主要參考書目(179)

一、數學直覺的認識

直覺已經擦開她那奧秘的面紗,被世人承認為人類思維活動的一種基本形式.文藝創作

中有靈感,科學發現中有頓悟,數學解題中有靈機一動和豁然開朗,這些都不再是秘密,更不

是迷信.但是,直覺與邏輯的關系,直覺思維的機制、過程和特點等,人們尚未研究清晰,觀點

固然也就不統一.可以說,我們對數學直覺的認識,是想知道無數，而又有無數不知道.

千里之行，始于足下

所以,我們的講述重點是提供大量的直覺素材,其理論總結與理論分析都只是很初步的，

并且容許不同觀點的并列.本章對數學直覺的認識是從實例感觸開始的,首先列出10個例子，

然后分析直覺與靈感、直覺與頓悟、直覺與想象、直覺與直感、直覺與急中生智、直覺與

腦半球、直覺與錯覺等方面的關系,最后又回到數學直覺的實例,不過，已升高到權威數學家

風靡世界的直覺發現了.它一方面是對數學直覺存在的繼續印證、對“初步認識”的輔助說明，

另一方面也是下一章數學直覺特征的感知.

一、數學直覺的認識

直覺已經擦開她那奧秘的面紗,被世人承認為人類思維活動的一種基本形式.文藝創作

中有靈感,科學發現中有頓悟,數學解題中有靈機一動和豁然開朗,這些都不再是秘密,更不

是迷信.但是,直覺與邏輯的關系,直覺思維的機制、過程和特點等，人們尚未研究清晰,觀點

固然也就不統一.可以說,我們對數學直覺的認識，是想知道無數，而又有無數不知道.

所以,我們的講述重點是提供大量的直覺素材,其理論總結與理論分析都只是很初步的，

并且容許不同觀點的并列.本章對數學直覺的認識是從實例感觸開始的,首先列出10個例子，

然后分析直覺與靈感、直覺與頓悟、直覺與想象、直覺與直感、直覺與急中生智、直覺與

腦半球、直覺與錯覺等方面的關系,最后又回到數學直覺的實例,不過，已升高到權威數學家

風靡世界的直覺發現了.它一方面是對數學直覺存在的繼續印證、對“初步認識”的輔助說明，

另一方面也是下一章數學直覺特征的感知.

1.數學直覺的實例感知

中學數學在揭示客觀事物量與形式及其關系時，主要不是借助實驗的主意,而是通過鄭

重的邏輯推理來實現的.*教昉是按照邏輯順序來組織的,教師是按照邏輯規矩來講授的,學

生也是按照邏輯要求來練習的.一個數學結論的得出，須由已知的公理、概念、定理,經過邏

輯推導,步步有據地論證（參見本叢書中《邏輯探索方法》）.即使是出于量力性的考慮,未充

足論證的那些內容,也總是盡可能給出嚴謹的說明.所以，中小學園里的數學基本上是邏輯演

繹的一統天下，“沒有邏輯證實的數學已不能算作數學，不會邏輯演繹的學生不能算學會了數

學,,**這一切,對培養和發展學生的邏輯思維能力是異常有利的.

然而，這只是數學的一個側面.當我們由B鄭重推出A時,B須首先鄭重推出，這要用到C;

而鄭重推出C又要用到D……余此類推,數學證實需要一個演繹推理的起點,這個起點就是

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中學數學的公理或原始概念,它是不能鄭重證實的.譬如，什么是點？什么是線？為什么兩點

決定一條直線？黑板上畫著的兩條平行線延伸到教室外面乃至宇宙深處真的不會相交嗎？如

此等等,其公認的可信性來源于直覺經驗.

并且,在數學結論的天才發現與數學主意的策略發明中，不僅

1

有顯露的、可證實的邏輯推理，而且還有大量的非邏輯的、潛意識的思維活動，其中不

乏直覺預測、直覺預見和直覺頓悟.事實.匕一個孩子無需通過“母親的定義”就能隔門感知

媽媽來了；托兒所的小朋友能亳不費力認出桌子上的小地圖與墻上的大地圖都是中國地圖，

固然沒有學過“相似形”；費馬也沒有經過三段論就提出了種種預測.“數學王子”高斯反復強

調,他的數學發現主要來自經驗，“證實只是補行的手續''.而對于證實，他在1817年3月回顧

二次互反律的證實過程時又說:“去尋求一種最美和最容易的證實,乃是吸引我去研究的主要

動力（數學美的追求）“全能數學家”龐加萊說:“邏輯用于論證,直覺用于發現.”笛卡兒坦

言:“邏輯不過是把己經明了的東西告訴人們而已.”美籍匈牙利數學家波利亞說:“宜觀的洞

察和邏輯的證實是感知真理的兩種不同方式.……直觀的洞察可能遠遠超前于形式邏輯的證

實.”我們在學數學過程中的“心頭一亮”、“驟然開竅”,其中就有數學直覺.

就數學學習而言,法國科學院院士狄多涅認為:任何水平的數學教學的總算目的,無疑是

使學生對他所要處理的數學對象有一個可靠的“直覺”.以“過直線□口上的一點匚，可以作

□□的一條垂線”為例，他本人對于遠比“直覺構思”更為鄭重的邏輯證實反而“弄不清”，“在

好長的一段日子里,證實的概念使我覺得十分神秘”.舉個極端的例子,倘若有哪位老學究硬

要給初中生鄭重證實“線段中點的存在惟一性”,那絕對會使孩子們感到:你不說我還明白，你

越說我反倒越清醒.事實上，中學數學的學習不僅要學會課本的知識、學會課本知識的鄭重

表達,更要學會數學的精神、思想和主意,這里就不僅僅是邏輯推理.就數學發明能力的培養

而言，非邏輯的形象思維與直覺思維是絕對不可忽略的.拿起等腰△□□口，作一個空中的翻轉

1*日常生活中的證實還可以有：個人的經驗、權威的認可、找出了實例、舉不出反例、

結果的有效性等多種方式，但數學上的證實惟獨邏輯演繹推理.

**張奠宙等著《數學教誨學》，江西教誨出版社，1991年11月第1版.

千里之行，始于足下

后，可以重合于本來的位置,這就是“等腰三角形的兩個底角相等”的可靠直覺;“口克糖水中有

□克糖，若再添上□克糖則糖水變甜了“，這是小學生都能明了的道理，它就是高中“真分數不

等式”的可靠直覺：

曰<=（口>口>。,口>。）?

對于分不清□與｛口｝的學生，告訴他“空箱子放進空房間，空房不空'‘，他會終生難忘.

稍有數學實踐體味的人都有這樣的感觸：

（1）在未找到證實之前,直覺先協助我們對結論或解題方向產生預見.

拿到一道詳細的題目，我們首先要決定從何處下手及向何方前進.這時,經驗性的直覺預

感常常是邏輯所無法替代的.

張奠宙教授在《數學教誨學》中對數學直覺先作出數學預見有過出色的描述:“數學主

要是對事物的一種認識、一種理解,數學思想和數學觀念，以及與之相聯系的數學主意，乃是

數學思維的主導方面.任何一種新的數學理論，只靠嚴謹的邏輯演繹是“推”不出來的,必須加

上生動的思維發明.一旦有了新的主意,采取了新的策略,控制了新的技巧，數學思維就前進一

步.人們的直覺和頓悟,往往已經得出了囪冏理論的70%，剩下的30%則是邏輯驗證.數學史

上冠以某數學家名字的預測、定理、法則，往往并無邏輯證實，邏輯推演是后人補做的.但是

人們仍把功勞歸于首創者,道理也在這里

費馬的直覺產生了費馬大定理:“□>2時，方程□□+□□=□匚無正整數解.”其思維的

跳躍性人類足足花了300多年才于近年填平.而哥德巴赫預測“每個不小于6的偶數都是兩

個素數之利”,甚至使人疑惑人類的智慧是否已經成熟到解決它的程度.例1在異面直線的學

習中，我們看到：

r對異面直線口〃心，任取□口（/<□<?）中的每一點□，都可以作無窮條直線口同時

與□/,心相交，這是一個很平庸的結論.但是再增強一條直線口3，使與口/，口2均成異面直線，

是否還存在直線□同時與口相交呢？直覺的啟示是:過□€而與口2相交的無窮

條直線上，會有一條與心相交.由此得

三異面直線命題：對于空間中兩兩成異面直線的口/,口2，口3,存在直線口與口/,口2，口3同

時相交.

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沿著“直覺的啟示”，過口（口E□；）與?的平面口最多有1個與口3平行，其余的都與

口相交，記交點為口；平面口上的直線口口，最多有1條與心平行，因而有無窮條直線口口，

同時與口/,口2，口3相交（圖）

這樣,直覺就提供了預測和預測的

圖1

證實思路.

2。從兩異面直線到三異面直線，與之同時相交的直線口，由“每點有無窮條”（暗示為88）

遞減為“每點最多有1條”，但直線上有無窮個點（最多去掉□,的兩個點），仍得無窮條直線口

（暗示為8,）.這兩個“無窮條”有本質的區別,按此遞減的趨勢,可直覺預測：難以保證兩兩成

異面直線的□"□2，口3，口4恒存在直線□與之同時相交.由此得

四異面直線命題:存在四條兩兩異面的直線，使得沒有任何直線能與之同時相交.這個預

測我們很早就有了，但簡捷的初等證實不久前才找到*.而在這問題思量的全過程中，我們感

到一直有一種想象力在牽引著.

（2）在推理面臨多種可能性時,直覺協助我們作出果斷的選擇.

經驗豐盛的指揮官,在險峻的形勢下,到前沿陣地一看,趕緊作出布置，仗打勝了.當初的

情況,容不得他多作思量,他的計劃是一種直覺挑選.

在解題中，當證得兩個三角形全等之后，下來可推出對應邊相等，也可推出對應角相等，

還可推出對應高、對應中線、對應角平分線、對應周長、對應面積相等……在各種可能性

面前,我們會陷人”布里丹的驢子那樣的困境代這時,我們常常不是舉行一一列舉而是憑

直覺作出先后優劣的抉擇.即使是一一列舉,我們也不是隨機安頓順序,仍是憑直覺粗略地排

千里之行，始于足下

事實上，“我們的數學活動是在縱橫交錯的數學關系中舉行的,在這個過程中,我們從一

種可能性過渡到另一種可能性時,并非徹低對每一個數學概念都十分清晰,而是在短時光內

朦朧地插上夢想的翅膀,直接翱翔到最優的可能性上,形成人們珍貴的數學直覺的爆發,從而

達到對某數學對象的某種本質邏輯性的領悟.”**即便一環扣一環的鄭重的三段論接著三段

論,那為什么在

*在直紋曲面的知識背景下，問題是直觀而深奧的，但初等證法依然很有趣(參見例25).

**“布里丹的驢子”是說一頭驢子站在兩堆同樣大小、同樣遠近的干草之間，因為沒有決

定吃哪一堆干草而餓死.愛因斯坦曾因他“在數學領域里的直覺能力不夠強”而感到“自己的

處境像“布里丹的驢子‘'一樣

*衿吳福能著《數學發現的奧秘一一試論數學直覺思維的形式》，《數學通報》1987年

第7期.

2

三段論A之后緊接著三段論B而不是三段論C?這還是需要直覺挑選.

下面是一些發生在我們身邊的事例，從小學、初中、高中直至大學，其中多有珍貴的數學

直覺.

例2某縣初中招生數學試卷中，有這樣一道題：用一張長3()厘米、寬20厘米的長方形鐵

皮，做一只深5厘米的長方體無蓋鐵皮盒(焊接處與鐵皮厚度不計).這只鐵皮盒的容積是多

少？

在10()0名考生中，前999名考生都認為是在長方形鐵皮的四個角上截去邊長5厘米的

正方形鐵皮,然后焊接成長方體無蓋鐵皮盒,如圖2.

2

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5厘米

獎

躍

0

5

無蓋長方體鐵皮盒長=30-5-5=20（厘米），

寬=20-5-5=10（厘米），

高=5（厘米）,

容積=20x10x5=1000（立方厘米）.

大家一致認為該答案是準確的.當改到最后一份答卷時,卻出現了獨特的解答.如圖3,

長方體鐵皮盒長=30-5=25（厘米），

寬=5+5=/0（厘米），

5

15厘米

*

?補

o

z上

30匣米

容積=25x10x5=1250（立方厘米）.

這份試卷的解答與眾不同，主考教師“拍案叫絕”.

千里之行，始于足下

例3希臘數學家丟番圖的墓碑上記載著這樣的數學題：

他生命的1/6是痛苦的童年；

又活了他壽命的〃，2,兩頰長起了細細的胡須；

他結婚了，又度過了一生的〃7;

再過5年,他有了兒子,感到很痛苦；

可是兒子只活了他父親所有年齡的一半；

兒子死后，他在極度悲痛中度過了4年,也與世長辭了.

這則用詩文寫成的基志銘是傳頌千古的數學佳話，人們通常用一個復雜的方程來求解，

即

□□□□

"石+萬+萬+5+5+4

《小學數學教師》1998年第2期給出了“丟番圖墓俾題新解”，抓住題中〃7,〃/2這兩處

關鍵，“說明丟番圖的年齡是12與7的公倍數，即可能是84,168,252,……按照生活常識，人的壽

命不可能達到168,252.……因此，滿意要求的惟獨一種可能，即丟番圖活了84歲”.這是用較

少的信息作出了確切的判斷.

例4有甲、乙、丙三種貨物,若購甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元若購甲4件、

乙10件、丙1件，共需4.20元;現在購甲、乙、丙各1件共需

設甲、乙、丙的單價分離為□元，□元，□元，依題意有

戶」+7□+□=3.15,

Uu+/0口+□=4.20.

(1)

(2)

為了處理這個異常規的方程，已經堆積了無數主意，其中一個較容易的思路是，由(l)x

3-(2)x2,得

□+□+□=3.15X3-4.20x2=/.05(元).

第12頁/共170頁

但有個學生從市場上“購一贈一”的促銷做法中獲得啟發,不妨認為某一商品根本不收錢,

令□=0,得

pn4-n=3.15,

[4□+□=4.20.

（3）

（4）

心算即可得口=1.05,□=0,□=0，從而

□+□+口=/.05（元）.

這里，"令□=0”的大膽念頭是一種直覺，但由問題的實際意義知,交款有“存在惟一性”，因

而，異常化取□=0不會有太大的風險.真是一個有趣而簡捷的解法.

例5波利亞在《數學的發現》（第二卷）中詳細講述了一個直覺發現的過程：

我要冒昧地向讀者談一個小小的經驗.我將講述一個容易但又不太平時的幾何定理,并

把一系列引導到它的證實的主意重新收拾出來.我將緩慢地,異常緩慢地去做,逐個地,一個

接一個地把線索揭示出來.我想在我講完囪冏情節之前,讀者就會抓住主要想法了（除非有什

么異常情況）.但是這個主要主意比較出人意外,所以讀者在這里可以體驗到一個小小發現的

喜悅.

題A倘若3個有相同半徑的圓過一點,則通過它們的另外3個交點的圓具有相同的半徑.

這是我們要證的定理.它的講述簡短而明確，但是沒有把細節充足清晰地表達出來.倘若我們

作一圖（圖4）,并且引進適當的符號，便可得到更明確的復述：

題B3個圓□，口，□具有相同的半徑

m

千里之行，始于足下

圖4

［，并通過同一點□.此外，□和口相交于點口，口和口相交于點口，口和口相交于點□.

則通過點口，口口的圓口的半徑也是□.

圖4畫出了4個圓以及它們的4個交點□，口口，口.這個圖畫得不甚圓滿，它

既不簡練,也不徹低；有些東西好似漏掉了，某些本質性的東西似乎沒有畫進去.

我們處理的是圓，圓是什么？圓由中央和半徑決定,它所有的點到中央的距離都等于半徑

的長.我們在圖中看不到這個共同的半徑口，這樣我們就沒有把假設中的一個基本部分考慮

進來.因此讓我們引進各圓的中央，口的圓心的圓心匚和口的圓心口.我們應該在哪

兒畫出半徑□呢？我們似乎沒有理由把3個給定圓口,E,□中任一個及3個交點口,□,□中任

一個放在優于其他圓及點的位置上,于是我們就把3個圓的中央分離與3個交點聯結起

圖5

圖6

來：□聯結□，上□，等等.

結果得到的是一張擁擠的圖（圖5）,這里面有這么多的線段和弧,使得我們很不便于去

“看見”它,所以這張圖“還是站不住腳”.它有點像老式雜志上的某些畫面,這種畫面有不止一

種效果，倘若你按照通常的方式去看它，它是一個圖像,可是倘若你轉到另一個位置再換一種

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異常方式去看它,那么另一個圖像就會驟然閃現在你面前,并對第一個圖像發表某些詼諧的

評論.你能從我們這張塞滿了直線段和圓的圖中看出有第二種含意的圖像嗎？……

我們大概一下子看出躲藏在塞滿了的畫面里的真正圖形，或者也可能是逐漸把它認了出

來我們可能是在努力解題的過程中，也可能是在一些次要的、非實質性的機會中達到了它.

比如當我們想去重畫一下我們的不完滿圖形時，我們大概會注重到囪冏圖形是由它的直線形

部分決定的（圖6）.

注重到這一點看來是重要的.因為它確實把幾何圖形簡化了，而且還可能改進了它的邏輯

情況.它使我們能把定理復述為下列形式.

題C倘若9條線段口口，□口，□口，□口，□口，□口，□口，□口，□口都等于□，則必存在一點口，

使得下列3個線段□口，□口□□都等于□.

定理的這種講述把我們的注重力引向圖6,這個圖形是有吸引力的，它使我們想起一些認

識的東西.（想起什么?）

固然，在圖6中，由假設,某些四邊形如□□口口的4條邊相等，它們是菱形.菱形是我們認

識的對象,認出它之后,我們就能更好地“看見”這個圖形了.（囪冏圖形使我們想起什么?）

菱形的對邊是平行的.根據這一點,我們能把圖6中的9條線段分成三類,同一類中的線

段譬如口□，口口□口是彼此平行的.（現在這個圖形使我們想起什么?）

我們不應該把我們要去求的結論忘掉了.讓我們假定這個結論是對的.在圖中引進圓口

的中央口以及以□，口，□為端點的3條半徑,我們得到了（假設的）更多的菱形,更多的平行

線段，見圖7.（現在阿冏圖形使我們想起什么?）

M

圖7

千里之行，始于足下

固然，圖6是平行六面體12條棱的一個投影圖形,它的異常性在于所有的棱的投影長度

都相等.

圖6是一個“不透明”的平行六面體的投影，我們只看到了它的3個面、7個頂點和9條

棱,還有3個面、1個頂點和3條棱在這個圖中看不出來,所以圖6只是圖7的一部分，但是

這一部分就決定了閔囹圖形.倘若這個平行六面體和投影方向的挑選使得9條棱的投影如圖

6所示那樣都等于口（按照假設它們應該這樣），那么剩下的3條棱的投影也一定等于□.這3

條長為口的線是從看不見的第8個頂點的投影出發的，而這個頂點的投影口就是通過點

且半徑為□的圓的中央.

這樣,我們就證實了定理這個證實意外地用了一個美術家的概念,把平面圖形看作是立

體的一個投影.

這個證實用了立體幾何的概念.我希翼這樣做沒什么大錯誤，即使有錯也容易糾正.現在

我們可以很容易地把中央口的位置定下來，而且很容易不依賴任何立體幾何的知識去檢查

口口□□,□□的長度.不過這里我們不再這樣做了！（《數學的發現》引文完）

這個例子不僅體現了直覺與發現的關系,而且也體現了直覺的培養.為了讀者閱讀上的方

便,我們補充兒個“不依賴任何立體幾何”的解法.

證實1如圖7,作□口=□□，則□□=□□=□.

又在菱形□□口□與菱形口□□口中，有

□□主□□主□□三

故得菱形□□□□，從而.

同理，□□=U.

這說明，過口、口、口的圓半徑為□.

證實2如圖6,在菱形□□口口與菱形口□□口中，有

□□=□□=

故得平行四邊形□□□口，從而

第16頁/共170頁

□□=

同理□□==匚口.

所以△□□□三d□□□.

即兩三角形的外接圓為等圓，半徑均為□.

若將證實2改寫成向量證法，則可以不依賴于圖形.

證實3m=甘百一百萬

=（oa+m）-（na+nn）

=□□-nr=

同理,EE=mnH=Kn.

故得△□□□=△□□□.

即兩三角形的外接圓為等圓，半徑均為口.

例6筆者之一在給學生開設數學解題學選修課時，曾布置作業“談談你解題經歷中最難

忘的例子”,有個學生談到夢中解題的情況：

剛學近世代數時,教師出了這樣一道題一一試對集合口=L，.，口.，*，2口｝規定一個

運算?，使□中的元素互相間經過運算?后，其結果仍在口中.當初,我想普通的加、減、乘、

除等運算,顯然不能滿意.我幾乎找遍了通常的所有運算法則,終不能解決.但我沒有放棄對

這個問題的思索，腦子中不斷想著這六個角度.有一天晚上做夢的時候,夢見一個帶有角度的

車輪在轉動.忽然,我靈機一動,有了，這不就是一個單

千里之行，始于足下

圖8

位圓嗎？等分圓周的角度旋轉后可以重合.第二天,我就將這一運算規定為一種運動（在

此為旋轉）,-0^就令其為在-基礎上按逆時針方向旋轉?，即為□，記為“二-=□

按這樣規定的運算，問題便很容易地解決了.

例7判斷下面這個命題是否準確:若復數□□（□=:2,…，口）滿意|Da|=/，并且

Zk/口口=0,則復平面內以口□（口=/,2,…，口）的對應點為頂點的口邊形是正口邊形.

此命題何小亞、朱華偉在《數學通報》1993年第10期上已舉行了一番探索，現摘錄如

下：

a.□=3時，命題成立；

b.□=4,5時,命題均不準確，舉出了兩個反例;c.單位圓內接正口邊形的□個頂點所對應

的復數的和等于零.

按照這些結果,我判斷命題不準確.但如何舉行證實,舉出反例，則使我陷人了困境.

某日清晨5點多鐘，環境十分寂靜,我處于似醒非醒的朦朧狀態.“舉反例”的問題躍入腦

中，浮上的是一單位圓，另外還有□個從原點出發的單位向量（復數）,這些向量很亂.過了一會

兒，那□個向量變成了幾個很規矩的向量，它們恰好把單位圓口等分，此時我意識到它們的和

為零（結果c的緣故）.停頓了片刻，驟然之間,我讓這口個向量同時繞著原點旋轉了一個角度.

頓時,我腦中浮上了20個復數，它們的和為零，但由它們的頂點構成的2口邊形不是正2口邊

形.于是便得到了下面的證法：

第18頁/共170頁

若□=2□（口>3）,取□個復數為一單位圓內接正口邊形的頂點對應的復數,將此正〔

邊形繞原點旋轉一個角度□（0V□V-），那么就得到另外□個復數.由逆命題（此即結果c）

知，這口個復數的和為零，其模都是1,但聯結它們對應頂點的口邊形不是正口邊形.

若□=2口+/（口23）,取2（口-7）個復數為單位圓內接正2（口-1）邊形的頂點對應的復

數，另外3個復數取為單位圓內接三角形的頂點對應的復數，那么這□=2口+/個復數的和

為零,它們的模都是1.但因2（口-1）>4，所以聯結這U=2U+/個復數對應頂點的U邊

形不是正口邊形.

因此，原命題不成立.

例8有一個三棱雉和一個四棱雉，棱長都相等,將它們一個側面重疊后，還有幾個裸露面?

這是一道曾有83萬美國中學生參加的數學比賽試題.原答案是7個面.佛羅里達州的一

名中學生丹尼爾則答是5個面,被評卷委員會一定了.丹尼爾自己做了一個模型,驗證自己的

結論是準確的,隨后乂給出了證實,然后向考試委員會申訴.數學家們看了他的模型，不得不

承認他是準確的.

如圖9（1）,作□□=□□唐到以□為頂點，以△□口口為底的正三棱雉.但有趣的是，圖

9（2）固然沒有畫出三棱雉,卻不難想象兩正四棱雉之間那個空的三棱雉側面與四棱雉側面確

實共面.這兩

圖9

個圖一實一虛，恰好表現出邏輯與直覺想象的相輔相成.

千里之行，始于足下

例9考慮圓周上的□個點(口>2),用弦兩兩聯結起來，其中任何三條弦都不在圓內共點,

問題是決定由此形成的互不重疊的圓內區域的個數.

現設圓內區域有□口個,則如圖10所示：

圖10

由此得出預測：□□=2口-'.

但是，口6=3/;真切的結果是

□□=□&-/+□:/++叭+*

(1)

因為2口一/可以展開為

2-，=(/+/尸T=口4_/+□+…+D°Z；,

(2)

所以,兩個表達式在□工5時是相等的，當口之6時就不相等了(此處約定□V□時

□g=。).

例10證實素數有無限個.

證實假設素數惟獨有限個，記為」,“，???，□□.現作一個自然數

□=□/」2…

(1)

我們來證實□不是合數.若不然，存在口的素因數□□>/.因為素數惟獨有限個，所以

□□必是□/,”??，□口中的某一個，有

□□I口，匚/二2…

第20頁/共170頁

這就得出

I7=―0/口2…口口?

這一矛盾說明口不是合數,且大于1,故也是素數,且大于所有的…，口□,這就與素

數惟獨有限個□/,口〃…，□口矛盾.所以素數有無限個.

由這個證實，我們得出一個直覺預測:若為素數，則□/口2…□口+1也為素

數.

驗證開始幾個素數,有

2.3+/=7為素數；

2?3?5+/=3，為素數;

2?3?5?7+1=211為素數;

2?3?5?7?〃+/=23〃為素數.

看來,預測是合理的，但是

2?3?5?7?M?13+1=30031=59x509

不是素數.直覺預測錯了.

2.數學直覺的初步認識

上面的例子使我們感觸到一種數學直覺的存在，但對這些事實的認識卻是很不一致的.

目前,對于數學思維的分類主要有兩個觀點.其一是二分法,將數學思維分為邏輯思維與直覺

思維,于是,直覺思維就是不受固定的邏輯規矩約束、直接領略事物本質的一種思維方式.現

今所提供的許多事例，實質上都是這種觀點，只要邏輯上找不到鄭重的解釋,就作為直覺思維

的案例記錄下來.這種從更寬泛的角度收集事例的顯然益處是不至于漏掉一些優質的研究素

材.*畢竟,藏匿的數學論文基本上都是精心演繹的總算結果，很少能顯露出真切數學發現中

直覺的念頭和蜿蜒的過程.

二分法觀點之下,關于邏輯思維與直覺思維的特點、品質及作用，張乃達先生曾在《數學

思維教誨學》一書中列表表述.

千里之行，始于足下

思典思

維形式型方式思維過程維素質思維產品主要作用

維演1.遵循邏輯法則1.1.概念1.論證

繹條理性

2.以漸近方式展開2.2.定理、2.思維的深

論證性公人

3.有清晰殘破的思3.式、法展開3.問題

維過程確切性則、性質的詳細

4.結論具有滯后性3.數學知解決

識體系4.表達交流

3

續表

思典思

維形型方維素思維

式式思維過程質產品主要作用

直1.不遵循邏輯規矩11.形1.提出問題

覺思?靈便象

維性

2.以躍進方式展開22.預2.思維的啟

?靈巧測動

性

靈3.思維過程不清晰，偶爾成為33.數3.問題的概用各

感瞬時判斷4.結論具有超前性?發明知識題體解決4.互相觸發

性系

3*但是.不要把“宜覺”作為解決某些理論艱難的“通詞

第22頁/共170頁

其二是三分法，將數學思維分為形象思維、邏輯思維、直覺思維.數學形象思維是一種

憑借事物的詳細形象和表象的想象來進行的思維，它的主要特征是思維材料的形象性.數學

邏借思維是一種以概念、判斷、推理的形式來舉行的思維，有的地方單指形式邏輯,有的地

方則包括形式邏輯和辯證邏輯.數學直覺思維是與上述兩種思維既有聯系又有區別的思維方

式,本書所理解的數學直覺思維是:具存心識的人腦對數學對象、結構及其邏輯關系的敏銳

洞察、直接猜斷和總體控制.

本書在收集資料時，傾向于二分法;而在理論分析時,則傾向于三分法.

（1）直覺與靈感

靈感一詞源于古希臘，由希臘文中“神”和“氣息”兩個詞復合而成,原意是指神的靈氣.錢

學森教授在“全國思維科學研究會”上把思維分為抽象（邏輯）思維、形象（直感）思維、靈感

（頓悟）思維,并說:“倘若邏輯思維是線性的,形象思維是二維的,那么靈感思維好似是三維的.”

在川運教授主編的《思維辭典》中，靈感被解釋為“借助直覺和潛意識活動而實現的認知和

發明.……科學的靈感具有三個特點：靈感引發的隨機性;靈感展示的暫時性;靈感展示過程

中陪同著強烈的情感作用

直覺思維與靈感思維在“驟然浮上”和“疾馳理解”上是共通的,所以，中學數學界有一種

認識是對直覺與靈感不加區別：直覺通常又被人們理解為“靈感”,是人們思量某一問題時產

生的一種發明性設想.它既是一種思維過程又具備一種詳細結果；它與邏輯思維互相對立、

互相交織、互相補充.

另一種意見則認為,數學直覺思維與數學靈感思維既有聯系又有區別：

r田運教授主編的《思維辭典》認為：與靈感思維的不同在于，直覺思維主要是對面前的

事物或問題以直接洞察的方式給出一種帶有結論性的印象或判定,而靈感思維則表現為通過

直覺對某個疑難問題浮上頓然悟解,或驟然找到了解決問題的關鍵途徑,即所謂“持久思量，

偶爾得之

20鄭隆忻教授主編的《數學思維與數學主意論概論》認為:直覺思維與靈感思維既有聯

系又有區別.靈感思維必然達到直覺頓悟，但直覺不一定浮上在靈感之中.靈感的產生常常在

千里之行，始于足下

思量對象已經不在眼前的時候，而直覺則普通都是面向驟然浮上于眼前的事物所給出的疾馳

理解。

30任樟輝教授著《數學思維論》認為:靈感（或頓悟）是直覺思維的另一種形式,它表現

為人們對持久探索而未能解決的問題的一種驟然性領略,也就是對問題百思不得其解時的一

種“茅塞頓開”.靈感與直覺都有一眨眼疾馳解決問題的特點,但靈感解決的

*江遠忠著《直覺在數學解題中的合理應用》，《中學數學研究》（南昌）1998年第2期.

4

問題通常是以前未解決的問題,經過長時光孕育、思量之后,一部分“問題意識”,連同加

工過的主意已經轉人潛意識儲藏,而在某個適當的時候（例如主體的工作放松時期,精神境界

升華狀態等）或者受到某種事物原型的啟迪情況下,驟然閃現出一個念頭使問題得以解決.因

此靈感是顯意識與潛意識的“驟然接通”.因為靈感的思維加工過程有部分是在潛意識中舉

行的,所以人們往往意識不到解決問題的過程,這與“直覺固然偶爾表現為下意識水平，但主

要表現為綜合運用經驗知覺信息的意識活動”是有區別的.

本書傾向于把靈感思維看作是直覺思維的一種形式,而不是所有.比如,例6、例7中既

有直覺又有靈感,而例8、例9、例10則主要是直覺.

靈感是思量達到高潮時浮上的一種最寬裕發明性的心理狀態，發明是富于靈感的勞動.

（2）直覺與頓悟

頓悟的原義是佛教中“頓然破除妄念,覺悟真理”,在日常生活中泛指“驟然領略”、“驟然

明了”.

r在錢學森教授的思維分類中.靈感思維與頓悟思維是同義語，中學數學界對這兩個詞基

本上也是通用的,數學靈感也就被理解為“人腦對數學對象的結構關系的一種驟然性領略”*

4

第24頁/共170頁

2°曹才翰教授在《中學數學教學概論》中認為:“偶爾甚至久思不得其解,但可能借助于

某種機遇而得到啟迪(自激而生或者由別的因素所引起),突如其來地使問題得以澄清,因而

形成一種“內現或“頓悟”.這就是通常所說的靈感狀態,或稱靈感思維，偶爾也

5

稱靈感直覺思維.它是直覺思維的一種表現方式,非靈感的直覺思維有人稱之為普通直

覺思維

39張乃達先生在《數學思維教誨學》中也認為:“頓悟型直覺是典型的直覺思維方式，

所以偶爾又被容易地稱為直覺.而想象型直覺可以看成是帶有若干邏輯成分的直覺思維方式.

頓悟、靈感、直覺盡管名稱不一，但描述的都是這樣一種現象，即指人們在研究某個問題正

苦于百思不得其解的時候，因為受到某種因素的激發，突然產生出新的思想、新的念頭、新

的主意;驟然發現了問題的答案;驟然從紛繁蕪雜的現象中“悟”出了事物的本質.這種“驟然

閃現”、“驟然找到”、“驟然領略”，就是靈感.

“頓悟和靈感之所以被看作是典型的、純粹的直覺思維形式,正是因為,它幾乎并不存在

思維的過程,而表現為瞬時的判斷.，

綜上所述,本書贊同對頓悟*思維與靈感思維不加區別，并且是直覺思維的一種表現形

式.

(3)直覺與想象

若將思維形式作二分法理解,因為想象不屬于邏輯思維，固然就是直覺思維的一種形式

了.而在三分法的理解里,想象是否為直覺思維的一種形式存在分歧.一種觀點認為“數學直覺

思維普通表現為直念、靈感和想象這三種詳細的形式”**”.另一種觀點認為“想象是形象思

維的一種詳細形式,是在大腦意識控制下,對感官感知

6

5*任樟輝著《數學思維論》.

千里之行，始于足下

并儲存的形象信息舉行分解并重新組合的運動”*.這樣,想象就不屬于直覺思維而屬于

形象思維了.小學生理解天然數有無窮多個靠的就是形象思維的想象.

我們認為,首先應該承認想象是形象思維的一種基本形式，同時又要看到數學直覺常常與

形象思維相聯系,將其作為直覺展開的憑借物.異常地，發明性的想象與直覺存在著交錯,稱

為“直覺想象”.德國大數學家希爾伯特曾對人這樣說起自己的一個蹩腳學生:“他已去當詩人

了.對于數學來說，他太缺乏想象力了.”我們理解,這里說的想象力是指發明性的隹象力，包

含著直覺想象的成分.在上面列舉的10個例子中，也大多有直覺想象的成分.

在這里,直覺想象就被理解為以發明性想象為憑借物的一種直覺思維形式.

同樣，形式邏輯中的類比推理、歸納推理均不屬于直覺思維，但在詳細舉行類比、歸納時,

也常有直覺的成分，因而,數學上的“直覺類比''、"直覺預測”都應從“憑借物''的角度來理解，

而不要與邏輯上的類比、歸納等同起來.

(4)直覺與直感

有的地方,把直感理解為頓悟或靈感.錢學森教授認為不對，他說:“我要強調的是直感是

顯意識，而靈感是潛意識

在思維科學界,直感思維是與形象思維并用的一個概念,被認為是處理感知形象信息的

思維.

數學家龐加萊明確指出數學直覺與感官直覺(直觀)包括想象的直觀的不同.他寫道:“直

覺不必建立在感覺明了之上;感覺不久

7

6*在心理學中有一種認知理論叫做頓悟說,是德國格式塔派心理學家柯勒等人所提出，

借以反駁桑代克的試誤說的一種學習理論.

**王申懷著《試論數學直覺思維的邏輯性及其培養》，《數學教誨學報》1992年第1卷

第1期.

7*田運養《思維辭典》

第26頁/共170頁

便會變得無能為力.例如,我們無法想象干邊形,可是我們能夠通過直覺普通地思量多邊

形,多邊形把干邊形作為一個特例包括進來.”按照龐加萊的觀點,數學直覺是對于抽象的數

學對象的一種“非同尋常的洞察力”.例如,就類比在數學中的應用而言，龐加萊指出，為了解

決所面臨的問題,數學家必須首先辨認這一問題與用某種主意已經解決的那些類似的問題，

然后則又必須考慮這一新問題在什么方面與其他問題不同，從而判斷對相應的主意作什么樣

的修正；然而,為了發現這些類似和差別，則又“往往需要非同尋常的洞察力從而,為了不讓

這些躲藏的類似逃脫,也即為了成為一個發現者，“解析家(數學家)必須在不借助于感覺和想

象的情況下,直覺到一項推理的一致性由什么構成

(5)直覺與急中生智

急中生智是指萬分緊張中猛然想出好主意，這是一種很普遍的生活現象.司馬光砸水缸

救友，諸葛亮空城計退敵，是急中生智的典型范例.

直覺與“急”本無關系，急中“生”出來的智也并非都沒有“邏輯分析”的過程,只是過程舉行

得很快而已.但在念頭涌現的“突發性”及應對決策的“疾馳性”上急智與直覺是相通的，因此,

研究急中生智的形成對直覺的誘發可能有?參考價值.

為什么急中會生智呢？

10人在受到外界強烈刺激時.，腦腎上腺素、甲狀腺素的代謝亢進,大腦活動比平時活躍，

神經趨于超常的激態，促使人釋放潛能.

2°危難之際，所面向的問題近在咫尺，迫在眉睫，時空距離大

8

為縮短.人們的注重力越發擴散,對問題就可能看得更全面、深透、真切，也更容易充足

利用現有的異常條件,因陋就簡，就地取材，獨辟蹊徑去解決問題，顯出平時隱沒的智慧.

國際上有人稱急中生智為“哈式急智”,它源于這樣一個故事:第二次世界大戰期間,德軍

有一名機智大膽、本領高強的女間諜瑪塔,哈麗.次,她奉命盜竊美國新式坦克的圖紙.圖紙

8*轉引自鄭毓信著《數學主意論》、廣西教誨出版社，1991年7月第1版.

千里之行，始于足下

保存在美軍統帥部高級將領、年逾花甲的莫爾根處.哈麗利用將軍喪偶的條件取得了非正式

主婦的地位.-天晚上,她用藥使莫爾根沉睡后潛人其辦公室，試圖開啟保險柜.她只知密碼是

一個六位數,而所有的六位數總計999999個.她高速度地嘗試，累得腰酸臂痛，臨近拂曉也無

濟于事.女傭人已在收拾隔壁辦公室了.失望之際,她驟然想到莫爾根曾經說過“年紀大了，記

性不可了”，迅即萌發了一