全國(guó)高中數(shù)學(xué)歷屆（2009?2019）聯(lián)賽與各省市預(yù)賽試題匯編

專題18集合真題匯編與預(yù)賽典型例題

全國(guó)聯(lián)賽真題：

1.【2019年全國(guó)聯(lián)賽】若實(shí)數(shù)集合的最大元素與最小元素之差等于該集合的所有元素之和,

則x的值為

2.【2018年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)集合A={1,2,3…，99},B={2x|x￡A},C={x|2x￡A},則BCC的元

素個(gè)數(shù)為

3.【2013年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)集合.則集合中所有元素的和為.

4.【2011年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)集合.若中所有三元子集的三人元素之和組成的集合為，則集合_

5.[2019年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)V是空間中2019個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)小共面.某些點(diǎn)

之間連有線段，記E為這些線段構(gòu)成的集合.試求最小的正整數(shù)n,滿足條件：若E至少有n

個(gè)元素，則E一定含有908個(gè)二元子集.其中每個(gè)二元子集中的兩條線段有公共端點(diǎn)，且任意

兩個(gè)二元子集的交為空集.

6.【2015年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)為四個(gè)有理數(shù)，使得.求的值.

7.【2015年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)，其中，個(gè)互不相同的有限集合，滿足對(duì)任意，均有.若表示有限集

合的元素個(gè)數(shù)），證明：存在，使得屬于中的至少個(gè)集合.

8.[2014年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè).求最大的整數(shù)，使得集合S有k個(gè)互不相同的非空子集，具有性

質(zhì)：對(duì)這k個(gè)子集中任意兩個(gè)不同子集，若它們的交非空，則它們交集中的最小元素與這兩

個(gè)子集中的最大元素均不相同.

9.【2013年全國(guó)聯(lián)賽】一次考試共有道試題，名學(xué)生參加，其中為給定的整數(shù).每道題的得分

規(guī)則是：若該題恰有名學(xué)生沒(méi)有答對(duì)，則每名答對(duì)該題的學(xué)生得分，未答對(duì)的學(xué)生得零分.每

名學(xué)生的總分為其道題的得分總和.將所有學(xué)生總分從高到低排列為.求的最大可能值.

10.【2012年全國(guó)聯(lián)賽】試證明：集合滿足

（1）對(duì)每個(gè)，若，則一定不是的倍數(shù)；

（2）對(duì)每個(gè)表示中的補(bǔ)集），且，必存在，使的倍數(shù).

各省預(yù)賽典型題

1.[2018年江蘇】在1,2,3,4,…,1000中，能寫(xiě)成的形式,且不能被3整除的數(shù)有—

一個(gè)。

2.【2018年重慶】設(shè)集合恰有一個(gè)公共元素為a,則實(shí)數(shù)a=.

3.【2018年廣西】某含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可以表示為，也可以表示為，則的值為

4.【2018年湖南】己知，當(dāng)時(shí)，視為不同的對(duì)，則這樣的對(duì)的個(gè)數(shù)有個(gè).

5.【2018年廣東】設(shè)集合，其中，表示不大于x的最大整數(shù)，則.

6.【2018年貴州】牛得亨先生、他的妹妹、他的兒子，還有他的女兒都是網(wǎng)球選手，這四人

中有以下情況：①最佳選手的攣生同胞與最差選手性別不同：②最佳選手與最差選手年齡相

同.則這四人中最佳選手是.

7.【2018年山東】集合滿足，若中的元素個(gè)數(shù)不是中的元素，中的元素個(gè)數(shù)不是中的元素，

則滿足條件的所有不同的集合的個(gè)數(shù)為.

8.【2018年河北】已知集合且A=B,那么.

9.【2018年四川】設(shè)集合，若的非空子集滿足，就稱有序集合對(duì)的“隔離集合對(duì)”，則集合

的“隔離集合對(duì)”的個(gè)數(shù)為.(用具體數(shù)字作答)

10.【2018年福建】設(shè)集合M8mlm￡Z,且|m|W2018},M的子集S滿足:對(duì)S中任意3個(gè)

元素a,b,c(不必不同)，都有a+b+cWO.求集合S的元素個(gè)數(shù)的最大值.

11.【2018年湖南】已知集合.

(D若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍：

(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

12.【2018年廣東】已知正整數(shù)n都可以唯一表示為①的形式，其中m為非負(fù)整數(shù)，)，

.試求①中的數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減的所有E整數(shù)n的和.

13.【2018年山東】證明對(duì)所有的正整數(shù)，存在一個(gè)集合，滿足如下條件：

(1)5由都小于2rlt的人正整數(shù)組成；

(2)對(duì)■的任意兩個(gè)不同的非空子集，集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和.

全國(guó)高中數(shù)學(xué)歷屆(2009I019)聯(lián)賽與各省市預(yù)賽試題匯編

專題18集合真題匯編與預(yù)賽典型例題答案

全國(guó)聯(lián)賽真題

1.【2019年全國(guó)聯(lián)賽】若實(shí)數(shù)集合

1,2,3,0

的最大元素與最小元素之差等于該集合的所有元素之和，則x的值為

【答案】q

【解析】由題意知，x為負(fù)值，???3■S=l+2+3+團(tuán)=團(tuán)=-

3

2

2.【2018年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)集合A={1,2,3…,99},B={2x|x€A},C={x|2xGA},則BCC的元

素個(gè)數(shù)為

【答案】24

［解析J由條件知,0G團(tuán)=24,6,二198}A

1

2

,1,

3

2

,2,,

99

2

={2,4,6,,48}.

故BGC的元素個(gè)數(shù)為24.

3.【2013年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)集合團(tuán)=

2,0,1,3

0

福￡(3,2-

0

2

es

.則集合田中所有元素的和為.

【答案】-5

【解析】

易知，Q

-2,0,T,-3

當(dāng)=2-3時(shí),2一

2

TT在；

當(dāng)二0,-1時(shí)，2-

2

=2,1￡.

因此，集合=

-2,-3

從而，集合中所有元素的和為T(mén).

4.[2011年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)集合二

1

2

3

4

.若中所有三元子集的三個(gè)元素之和組成的集合為=

-1,3,5,8

,則集合=______.

【答案】{-3,0,2,6}

【解析】

顯然，在集合的所有三元子集中每個(gè)元素均出現(xiàn)了3次.于是，

3(%+的++。4)=(-1)+3+5+8=15

=+。2+。3+=5.

從而，集合的四個(gè)元素分別為5-

T

=6,5^=2,5-5=0,5-8=-3.

因此，集合=

-3,0,2,6

故答案為：

T,0,2,6

5.[2019年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)V是空間中2019個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)不共面.某些點(diǎn)

之間連有線段，記E為這些線段構(gòu)成的集合.試求最小的正整數(shù)n,滿足條件：若E至少有n

個(gè)元素，則E一定含有908個(gè)二元子集.其中每個(gè)二元子集中的兩條線段有公共端點(diǎn)，且任

意兩個(gè)二元子集的交為空集.

【答案】

【解析】我們來(lái)證明一個(gè)更為?般的引埋：簡(jiǎn)單連通圖H有n個(gè)頂點(diǎn)，m條邊，則一定可以

將其邊集劃分為

0

2

個(gè)二元子集，二元子集之間不交且每個(gè)二元子集內(nèi)的邊有公共端點(diǎn)。

證明：歸納對(duì)m,m=l,2,3,顯然成立.

設(shè)結(jié)論對(duì)mWk成立，k23,

則m=k+l時(shí)，考慮所有葉子頂點(diǎn)

0

1

團(tuán)

2

???

//

團(tuán)

0

,若有兩片葉子

團(tuán)

0

0

0

連在同頂點(diǎn)B上，則將AiB與AjB分為二元了集，對(duì)其余ni-2條邊由歸納假設(shè)，可分為

(3N

2

0

2

-1個(gè)二元子集且兩兩不相交，結(jié)論成立,

否則設(shè)

團(tuán)

1

/

團(tuán)

2

???

//

回

團(tuán)

分別接在頂點(diǎn)

0

1

/

0

2

9>

0

0

上，若存在1W團(tuán)《回，

0

0

度為2,設(shè)Bi與Ai,C相連,將

0

0

[21

0

與BiC取下，同理由歸納假設(shè)結(jié)論成立，

否則對(duì)任意1W團(tuán)或自用

回

團(tuán)

>2,將

團(tuán)

1

/

團(tuán)

2

/???/

0

團(tuán)

去掉，得圖凱則在坪中沒(méi)有葉子結(jié)點(diǎn)，部連通,則四為一個(gè)環(huán),此時(shí)設(shè)B1在環(huán)上與C,D相連,

在H中把

團(tuán)

1

0

1

與B1C去掉，圖依然連通，由歸納假設(shè)同理可證，引理證畢.故原命題成立.

6.【2015年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)

團(tuán)

1

、

團(tuán)

2

0

3

、

回

4

為四個(gè)有理數(shù)，使得{

0

團(tuán)

0

回

|1^0<0<4}={-24,-2,-

3

2

/

1

8

,1,3}.求

團(tuán)

1

+

0

2

+

團(tuán)

3

+

團(tuán)

4

的值.

(答案】Q]+。2+。3+。4=±：

【解析】

由條件知

(1W<W4)為六個(gè)互不相同的數(shù)，且其中沒(méi)有兩個(gè)為相反數(shù).

于是

1

、

2

、

3

、

4

的絕對(duì)值互不相等.不妨設(shè)

1

KI

2

KI

3

KI

4

則<i<j<4）中最小的、次小的兩個(gè)數(shù)分別為依||021與I。211aJ

卜。2=得，［%=-公

故|。通3=1,=|a3=―,

Ia2a4=3,301

（a3a4=-24口=￡=-24al

={a2a3>ala4）={-2（—

結(jié)合

1

e,只可能

1

=±

1

4

由此易知

（由，。2，。3，。4）=G，-：,4L6）或（一；,：,_4,6）.

經(jīng)檢驗(yàn)，兩組解均滿足條件.

從而，

+

2

3

+

4

=±

9

4

7.【2015年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)={

1

2

}(22),其中,

1

2

為個(gè)互不相同的相限集合，滿足對(duì)任怠

￡,均有

u

￡.若=

min

1WW

I>2（||表示有限集合X的元素個(gè)數(shù)），證明：存在￡

=1

，使得屬于

1

2

中的至少

個(gè)集合.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

不妨設(shè)141=k.

設(shè)在

中與

不相交的集合有個(gè)，重新記為

2

設(shè)包含

1

的集合有個(gè)，重新記為

1

2

由已知條件，得

U

1

e,即

u

1

￡{

1

2

}.

于是，得到一個(gè)映射：{

1

2

，，

}T

1

2

，，

},(

)=

u

1

顯然，為單射.從而，W

設(shè)&=…,縱）.

在

1

2

中除去

1

2

1

2

后，在剩下的--個(gè)集合中，設(shè)包含

(1WW)的集合有

個(gè)，由于剩下的--個(gè)集合中，設(shè)包含

(1WW)的集合有

個(gè)，由于剩下的--個(gè)集合中每個(gè)集合與

1

的交非空，即包含某個(gè)

，從而,

1

2

2--................①

不妨設(shè)與=

maxxf.

則由式①知

1

2

,即在剩下的--個(gè)集合中，包含

1

的集合至少有

個(gè).

又由于

1

C

(=1,2,???,)，故

1

2

均包含

1

因此，包含

1

的集合個(gè)數(shù)至少為

n-s-tn-s+(/c-l)t

一k-十(k

2

團(tuán)

N

0

0

8.【2014年全國(guó)聯(lián)賽】設(shè)喬

1,2,…,100

.求最大的整數(shù)國(guó)使得集合S有k個(gè)互不相同的非空子集，具有性質(zhì)：對(duì)這k個(gè)子集中任意

兩個(gè)不同子集，若它們的交非空，則它們交集中的最小元素與這兩個(gè)子集中的最大元素均不

相同.

【答案】/cmax=2"-1

【解析】

對(duì)有限非空實(shí)數(shù)集A,用min與max分別表示集合A的最小元素與最大元素.

考慮集合S的所有包含1且至少有兩個(gè)元素的子集.

注意到,min

n

=l<max

故%ax>299-1.

于是，這樣的子集一共

2

99

T個(gè).

顯然滿足要求.

接下來(lái)證明：當(dāng)>

2

99

時(shí)，不存在滿足要求的k個(gè)子集.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)整數(shù)23,在集合

1,2,

的任意

2

2

個(gè)不同非空子集

1

中，存在兩個(gè)子集

,滿足

n

W。，且min

n

=max

……①

顯然，只需對(duì)二

2

T

的情形證明上述結(jié)論.

當(dāng)=3時(shí)，將

1,2,3

的全部七個(gè)非空子集分成三組，

第一組：{3},{1,3},{2,3}：

第二組：{21,{1,2）：

第三組：{1},{1,2,3）.

由抽屜原理，知任意四個(gè)非空子集必有兩個(gè)在同一組中，取同組中的兩個(gè)子集分別記為

,在排在前面的記為

,則滿足結(jié)論①.

假設(shè)結(jié)論在＞3）時(shí)成立.考慮〃十1時(shí)的情形.

若

1

2

2

中至少有

2

T

個(gè)子集不含+1,對(duì)其中的

2

T

個(gè)子集用歸納假設(shè)，知存在兩個(gè)子集滿足結(jié)論①.

若至多有

2

T

-1個(gè)子集不含+1,則至少有

2

T

+1個(gè)子集含+1,將其中

2

T

+1個(gè)子集均去掉+1,得到｛1,2,…，n）的

2

T

+1個(gè)子集.

由于｛1,2,…，n）的全體子集可分為

2

T

組，每組兩個(gè)于集互補(bǔ)，故由抽屜原埋，知在上述

2

T

+1個(gè)子集中一定有兩個(gè)屬于同一組，即互為補(bǔ)集.

因此，相應(yīng)地有兩個(gè)子集

滿足

n

+1

,這兩個(gè)集合顯然滿足結(jié)論①.

于是，+1時(shí)結(jié)論成立.

綜上，

max

2

99

-1.

9.【2013年全國(guó)聯(lián)賽】一次考試共有道試題，名學(xué)生參加，其中、22為給定的整

數(shù).每道題的得分規(guī)則是：若該題恰有名學(xué)生沒(méi)有答對(duì)，則每名答對(duì)該題的學(xué)生得分,

未答對(duì)的學(xué)生得零分.每名學(xué)生的總分為其道題的得分總和.將所有學(xué)生總分從而到低排

列為

1

2

2

.求

1

的最大可能值.

【答案】m(n-l)

【解析】

對(duì)=1,2,?-?,,設(shè)第題沒(méi)有答對(duì)者有

人.則第題答對(duì)者有一

人.由得分規(guī)則，知這一

個(gè)人在第題均得

分.

設(shè)n名學(xué)生的得分之和為S.則2Mpi=S=^=1xk(n-xk)=n^=1xk-2二理.

因?yàn)槊恳粋€(gè)人在第道題上至多得

分，所以,

1

由

2

2

3

2…2

,知

2

3

+???+

T

1

T

則Pl+Pn$Pi+念=合為+W

-三次=14+=(九1^=*一2；=*)=2決=i4-±

由柯西不等式得2A1城工*(笈J4產(chǎn)

故P1+Pn<2潞］%—―(X我1'kA

=-皿：_1)［狀=1丸-m("1溝+m(n-1)<m(n-1).

另一方面，若有一名學(xué)生全部答對(duì)，其他T名學(xué)生全部答錯(cuò)，則

Pl+Pn=Pl=2憶15-1)=-1).

綜上，

1

十

的最大值是

T

10.【2012年全國(guó)聯(lián)賽】試證明：集合

2,

2

2

滿足

(1)對(duì)每個(gè)￡及￡

+

,若＜2-1,則

+1

一定不是2的倍數(shù)；

(2)對(duì)每個(gè)e

表示在

中的補(bǔ)集)，且W1,必存在e

,<2T,使

+1

是2的倍數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)對(duì)任意G，設(shè)=

2

e

.則2=

2

+1

若是任意一個(gè)小于2T的正整數(shù)，則.

由于與+1中，一個(gè)為奇數(shù)，它不含質(zhì)因子2,另一個(gè)為偶數(shù)，它含質(zhì)因子2的幕的次數(shù)

最多為，因此，

+1

一定不是2的倍數(shù).

(2)若e，且W1：設(shè)=

2

，其中，E,為大于1的奇數(shù).

k+1

則2Q=2m.

下面給出三種證明方法.

方法1令=，+1=

2

+1

消去b得2k+iy-mx=1.

由

2

+1

=1,知方程必有整數(shù)解

0

+

2

+1

0

+,

其中，e,

0

0

為方程的特解.

記最小的正整數(shù)解為（，,丁）.則￡<21+1.

故=

<2T,使得

+1

是2的倍數(shù).

方法2注意到，

2

+1

:1,由中國(guó)剩余定理，知同余方程組

=0

mod

2

+1

=-1

mod

在區(qū)間

0,

2

+1

上有解二，即存在<2T,使得

+1

是2的倍數(shù).

方法3由

2,

=1,總存在

+

,W—1

，使得

2

=1

mod

取￡

+

，使得>+1.則

2

三1

mod

存在=

2

-1

2

+1

>0

e

，使得0<<2T.

此時(shí)，

9

2

+1

+1

從而

+1

是2的倍數(shù).

各省預(yù)賽典型題：

1.【2018年江蘇】在1,2,3,4,…，1000中,能寫(xiě)成

0

2

0

2

+1（團(tuán)仁團(tuán)）的形式，且不能被3整除的數(shù)有個(gè)。

【答案】501.

【解析】

設(shè)設(shè)1,2,3,4,…,1000},若

2

2

+1,則#3(mod4).又4=

(2)

2

(2T)

2

+1,4+1=

(+1)

2

(-1)

2

+1,4+2=

(2+1)

2

(2)

2

+1,因此，=

2

2

+1當(dāng)且僅當(dāng)W3(mod44).令={￡|三3(mod44)},={e|=0(mod3)},則

A={￡|=3(modl2)),因?yàn)閨1=250,||=333,|n|=84,從而符合條件

的數(shù)的個(gè)數(shù)為1000^50-333+84=501.

故答案為:501

2.【2018年重慶】設(shè)集合=

-1,2

log

2

與二

+1,

log

2

(16-64)

恰有一個(gè)公共元素為a,則實(shí)數(shù)a=.

【答案】6

【解析】

因?yàn)閍T#a,a+IXa,所以公共元素為2

log

2

log

2

(16-64),解得b=8,=2

log

2

=6.

故答案為：6

3.【2018年「西】某含杓二個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可以表示為

,0

,也可以表示為

,+,1

,則

2018

+

2018

的值為_(kāi)_______.

【答案】2

【解析】

由題意可知工0.由集合相等可以得到+二0,從而得到

=-1.

因此=—1,且=1.所以

2018

+

2018

-1

2018

1

2018

=2.

4.【2018年湖南】已知AU

B={a

1

2

3

}，當(dāng)W時(shí)，(,)與(，)視為不同的對(duì)，則這樣的(，)對(duì)的個(gè)數(shù)有個(gè).

【答案】27

【解析】

由集合A.B都是U的子集，N且u=(

1

2

3

).

當(dāng)時(shí)，B有1種取法；

當(dāng)A為一元集時(shí)，B有2種取法;

當(dāng)A為二元集時(shí)，B有4種取法;

當(dāng)A為二元集時(shí)，B有8種取法.

故不同的(A,B)對(duì)有1+3X2+3X4+8=27(個(gè)).

故答案為：27

5.【2018年廣東】設(shè)集合=

2

=2

<2

,其中，

表示不大于x的最大整數(shù)：則n=,

【答案】ACyB=

【解析】

因?yàn)?/p>

<2,所以,

的值可取-2,-1,0,1.

當(dāng)

二T時(shí),

2

=0,無(wú)解；

當(dāng)

=T時(shí)，

2

=1=>=-1；

當(dāng)

=0時(shí)，

2

=2,無(wú)解;

當(dāng)

=1時(shí)，

2

=3==

3

因此，=T或

3

6.【2018年貴州】牛得亨先生、他的妹妹、他的兒子，還有他的女兒都是網(wǎng)球選手，這四

人中有以下情況：①最佳選手的攣生同胞與最差選手性別不同；②最佳選手與最差選手年齡

相同.則這四人中最佳選手是.

【答案】牛得亨先生的女兒

【解析】

由題意知，最佳選手和最佳選手的攣生同抱年齡相同；由②，最佳選手和最差選手的年齡相

同；由①，最佳選手的攣生同胞和最差選手不是間一個(gè)人.因此，四個(gè)人中有三個(gè)人的年齡

相同.由于牛得亨先生的年齡肯定大于他的兒子和女兒，從而年齡相同的三個(gè)人必定是牛

得亨先生的兒子、女兒和妹妹.由此，牛得亨先生的兒子和女兒必定是①中所指的攣生同

胞.

因此，牛得亨先生的兒子或女兒是最佳選手，而牛得亨先生的妹妹是最差選手.由①，最

佳選手的攣生同胞一定是牛得亨先生的兒子，而最佳選手無(wú)疑是牛得亨先生的女兒.

故答案為：牛得亨先生的女兒

7.【2018年山東】集合、滿足U=

1,2,3,-,10

,n=。，若中的元素個(gè)數(shù)不曷中的元素，中的元素個(gè)數(shù)不是中的亓素，則滿足

條件的所有不同的集合的個(gè)數(shù)為.

【答案】186

【解析】

設(shè)中元素個(gè)數(shù)為

=1,2,--,9

,則中元素個(gè)數(shù)為10-,

依題意?,

1

2

4

<<

1

2

4

io-,io-e,此時(shí)滿足題設(shè)要求的的個(gè)數(shù)為

10-2

T

其中，當(dāng)=5時(shí)，不滿足題意，故關(guān)5.

所以的個(gè)數(shù)為

8

0

8

1

+??-+

8

8

8

4

2

8

8

4

=186.

8.【2018年河北】已知集合=

,,+

0,

fl.A=B,那么

2018

+

2018

【答案】2

【解析】

由B中有三個(gè)元素知，W0且W0,故A中+=0,即有=",又

若

,則

=1

=-1

.此時(shí)

l,T,0

0,1,T

若

,則

:0

=0

,或

=-1

=-1

,或

=1

=1

,不滿足互異性，舍去.

故=1,=-1,所以

2018

+

2018

=2.

9.【2018年四川】設(shè)集合=

1,2,3,4,5,6,7,8

,若的非空子集、滿足n=0,就稱有序集合對(duì)

為的“隔離集合對(duì)”，則集合的“隔離集合對(duì)”的個(gè)數(shù)為.（用具體數(shù)字作答）

【答案】6050

【解析】

設(shè)為的

元了集，則為的補(bǔ)集的非空了集.所以，“隔離集合對(duì)”的個(gè)數(shù)為

或（28T_1）=21=1或28M_或=（1+2）8_（或28+或2。）_（28-a-

Cf）=38-29+1=6050.

故答案為:6050.

10.【2018年福建】設(shè)集合M=bn|m￡Z,且|m|W2018},M的子集S滿足:對(duì)S中任意3個(gè)

元素a,b,c（不必不同；，都有a+b+cWO.求集合S的元素個(gè)數(shù)的最大值.

【答案】20

【解析】

集合5的元素個(gè)數(shù)的最大值為2018.

☆S={s|lWs/2018,s￡Z},顯然集合S符合要求，且|S|二2018.

另一方面，設(shè)S是滿足題設(shè)條件的集合，顯然04（否則0+0+0=0）.設(shè)S中的所有正整數(shù)

構(gòu)成集合A,S中的所有負(fù)整數(shù)構(gòu)成集合B.

若=。，則

<2018；若=0,則

<2018.

下面考慮A.B非空的情形.

對(duì)于集合X,Y,記+=

+Ie,w

-|G

由題設(shè)可知，（+）A（-）=0（否則，設(shè)xO￡（A+B）n（—S）,則存在a￡A,b《B,-c

￡—S,使得a+b=x0,—c=x0.于是，存在a￡S,b^S,使得a+b+c=0）.且A+B￡{x|x￡Z,

且|x|<2017}（事實(shí)上，A中元素W2018,B中元素W—l,丁是A+B中元素W2017；同理、A+B

中元素2—1027.）.

設(shè)集合A中元素為al,a2,…，ak,集合B中元素為M,b2,…，bl,且al<a2<-<ak,

bl<b2<-<bl.

;ai+bi<a2+bi<a3+bi<...<ak+bi<ak+b2<：.<Qk+bi.

AA+B中至少有k+1—1個(gè)元素，即|A+B|^k+1—1=|S|-1.

結(jié)合+G

W,且

W2017

G，-G，且(+)n(-)=0,可得(+)U(-)C,4037=|M|2|A+B|+|一

S|=|A+B|+|S|>|S|-1+|S|.

:.SIW2019..

若|S1=2019,則|A+B|+|-S|=4037=|M|.

又由T018陣+,20184+,知2018GS,-2018eS.

???對(duì)于k=l,2,3,…，1009,k與2018—k中至少有一個(gè)不屬干S,一k與一2018+k中也

至少有一個(gè)不屬于S.因此，|A|W1009,|B|<1009.

.\2019=|S|=|A|+|51<1009+1009=2018,矛盾二

因此

<2018.

綜上可得，

<2018.

綜上所述，集合S的元素個(gè)數(shù)的最大值為2018.

11.【2018年湖南】已知集合加

0

-2<0<

3

住

0

0<0<

0+9

(1)若U=,求實(shí)數(shù)m的取值范圍：

(2)若GX,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)[-6,-2]；(2)(-11,3)

【解析】

⑴工?集合0=

團(tuán)

-2<0<

3

，的

0

0<0<0

+9

,AUB=B,

/.ACB,

□<-2

□+9>3

,解得-64口0-2,

???實(shí)數(shù)m的取值范圍是卜6尸2].

(2):?集合團(tuán)=

閉

-2<0<

3

,0=

團(tuán)

0<0<0

+9

/

??.當(dāng)ADB=0時(shí)，3<或者01+9W-2,

解得*3或M-11,

「?AnBM0時(shí)，

工實(shí)數(shù)m的取值范圍是(T1,3).

12.【2018年廣東】已知正整數(shù)n都可以唯一表示為

0

+

1

-9+

2

9

2

+■?■+

9

①的形式，其中m為非負(fù)整數(shù),

0,1,-,8

(=0,1,-,-D,

e

1,…,8

.試求①中的數(shù)列

0

1

2

嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)格單調(diào)遞減的所有正整數(shù)n的和?

【答案】984374748

【解析】

設(shè)A和B分別表示①中數(shù)列嚴(yán)格單調(diào)遞增和遞減的所有工整數(shù)構(gòu)成的集合.符號(hào)S(M)表示

數(shù)集M中所有數(shù)的和，并將滿足①式的正整數(shù)記為=

T

1

0

把集合A分成如下兩個(gè)不交子集4={n￡*劭=0}和4={〃￡川的H0}.

我們有SQ4)=5(40)=SO

對(duì)任意￡

1

,令

=9e

0

,則是

1

到

0

的雙射.

由此得

0

=9

1

，從而

=10

1

又對(duì)任意

-1

0

￡,令

9-

9-

T

9-

0

e

1

則g是B到

1

的雙射，其中+二

9

+1

+