一、選擇題

02

1.（2019?天津?理?第6題）已知4=log$2,/7=log050.2,c=O.5,則。,〃,c的大小關系為

（）

A.a<c<bB.a<b<cC,b<c<aD.c<a<b

【答案】A

-1

解析：a=log52<log5>/5e0,-1,Z?=log050.2=log,.,5=log,5>log、4=2,即Z?>2

2k2；-'~

2.（2019?全國I?理?第3題）己知a=log2（）.2,/?=202,c=0.2°\則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】答案：B

2O3o

解析：?=log20.2<log2l=0,/?=2°->2°=l,c=0.2<0,2=l,.-.ce（0J）,故avcv/九

3.（2014高考數學四川理科?第4題）若。>/?>0,c<dv0,則一定有（）

【答案】D

解析：由2>0,又〃〉/?>（）,由不等式性質知：一@>一2>0,所以巴<2

dcdede

4.（2018年高考數學課標HI卷（理）?第12題）設a=logo2（）.3,/?=log20.3,則

（）

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<（）<abD.ab<0<a+b

【答案】B

解析：一方面4=logo2（）.3￡（0,l）,/?=log20.3e（-2,-1）,所以而<（）

，=1叫3（）.2,1=Iog0.32,所以上：=1叫3（0.2'2）=1叫30.4￡（0,1）

abab

所以0<工+,<1即0<空2<i,而。〃<0,所以。+〃<0,所以"+

ababab

綜上可知。〃va+〃<0,故選B.

5.（2014高考數學湖南理科?第8題）某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為p,第二年的

增長率為17,則該市這兩年生產總值的年平均增長率為（）

A.皇B.Rt歸C.而D.衍標）7

【答案】D

解析：設兩年的平均增長率為K則.有（1+刈2=（1+〃）（1+4）=>/=。1+〃）（1+.-1,故選。.

6.（2017年高考數學山東理科?第7題）若。＞。＞0,且必=1,則卜列小等式成立的是

()

1b./,、b.z,x1

A."+z<^<log2("+")印—<>og2(?+^)<?+-

C.a+j-<\oo2(a+b)<^D.Iog2(?+/?)<t7+l<—

【答案】口

【解析】67>1,()<^<1..-.—<l,log2(n+Z?)>log22\[cib=1,

2“

I1

2h>a+—>a+b=>a+—>log2(a+b),所以選B.

bb

二、填空題

1.（2017年高考數學北京理科?第13題）能夠說明“設a,b,C是任意實數.若。＞〃＞口則〃+＞C”是

假命題的一組整數c的值依次為.

【答案】-1,-2,-3（答案不唯一1

【解析】—3,7+（—2）=—3＞-3出現矛盾,所以驗證是假命題.

三、多選題

1.（2020年新高考全國I卷（山東）?第11題）己知。＞0,b＞0,且o+b=l,則（）

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log,a+log,b>-2D.+yfb<5/2

【答案】ABD

解析：對于A,a2+/?2=+（1-6/）2-2a2-2a+\=2a——+—＞—,

'，{2）22

當且僅當。=6=!時，等號成立，故A正確：

2

對于B,a-b=2a-]＞-\,所以2"“＞2一|=L,故B正確；

2

ci+b\.1c

I=log-=-2.

（22

當且僅當。=人=4時.，等號成立，故C不正確：

2

對于D,因為（五+=1+2而＜1+〃+8=2,

所以，?+〃＜應，當且僅當〃=〃=；時，等號成立，故D正確；故選：ABD

2.(2020年新島考全國卷11數學(海南)?第12題)已知a>0,b>0,且a+b=l,則

)

2心2、1

A.cr+b->-B.T-b>-

22

C.log,a+log,b>-20.Jci+4b<41

【答案】ABD

22222

解析：對于A,a+b=a+(]-a)=2a-2a+\=2a——+4L

2J22

當且僅當叫〃《時,等號成立，故A正確;

對于B,a-b=2a-\>-I,所以2"">2'='，故B正確;

2

a+b1

對于C,log,a+logb=log,ab<log

22~2~4

當且僅當。一6一2時，等號成立，故C不正確;

2

對于D,因為+=1+2>/abW1+〃+〃=2,

所以無+加當且僅當〃=b=g時，等號成立，故D正確；故選：ABD

題型二：解不等式

一、選擇題

1.(2015高考數學北京理科?第7題)如圖，函數/(x)的圖象為折線ACB,則不等式/(x)2log2(x+l)

的解集是)

()

A.{x|-lvx〈0}B.{X|-1WXW1}

C.{x.lvxWl}D.{x|-l<xW2}

【答案】C

解析：如圖所示，把函數），=log2X的圖象向左平移一個單位得到y=log2*+l）的圖象工=1時兩圖象相

二、填空題

1.（2015高考數學江蘇文理?第7題）不等式2'2r<4的解集為_______.

【答案】（-L2）.

解析：由題意得：X2-X<2=>-1<%<2,解集為（一1,2）.

2.（2017年高考數學上海（文理科）?第7題）不等式工」>1的解集為一

x

【答案】（-oo,0）

【解析】1一！>1=>■!■<o=>x<o,解集為（7>,o）.

xx

題型三：基本不等式

一、填空題

L（2。2］高考天津,第13題）若"。">。，叫+我+）的最小值為

【答案】2拒

1a,、J1a、%=2五,

解析：a>0,b>0+b=-+b>2

tb\b

當且僅當'==且］=/"即。=力=亞時等號成立，所以1+9+〃的最小值為2忘.

ab-bab-

故答案：2丘.

|IQ

2.（2020天津高考?第14題）己知a>0,b>0,且出,=1,則—+—+——的最小值為—

加2ba+b-

【答案】4

,11I8abab8

【解析】a>O.b>0,.\a+b>0.ab=\,+--=—+—+----

2a2ba+b2a2ba+b

六總之2腎券=4,當且僅當"小時取等號,

結合面=1,解得a=2-百*=2+6，或a=2+G力=2-6時，等號成立?

故答案為：4

3.(2020江蘇高考?第12題)已知5Vy2+曠=](x,ywR),則/+『的最小值是

【答案】]4

【解析】,.,5x2y2+)?=],「."0且產=察

97當且僅當白=爺，即:時取等號.

x'+y

J)JIVJ乙

.?..*)+),)2的最小值為14.故答案為：24.

(x+l)(2y+l)

4.(2019?天津?理?第13題)設x>0,y>0,x+2y=5,則的最小值

而

為_________________

【答案】4G

解析：5=x+2y22d2xy,JxyW—~^==——?

'2V24

殳用里2=山半忙1=*=_^+2而22配=46，當且僅當而=/即

Q盯J。gg

x=2

"=3或.3時等號成立，因為3<竺，所以J5<—故-+，津'+)的最小值為46.

)'=1y=-8272歷

5.(2019?上海?第7題)若X、ye/?\且■!■+2y=3,則上的最大值為.

XX

【答案】|9

【解析】法一：3=^-+2y>2^2y,.?.]?(扇)=1：

法二：由4=3-2y,—=(3-2v)-y=-2y2+3y(0<y<—),求二次最值—|=-

xx2UJmax8

A

6.（2019?江蘇?第10題）在平面直向坐標系xQy中，P是曲線y=x+?（x>0）上一動點，則點P到直線

x+）,=0的距離最小值是.

【答案】4

Lv+x+-|2x+-2J2.V-

【解析】法1：由己知，可設P?x+3）,x>0,所以,/=1用「x=4?

XV2V2V2

當且僅當2x=±,即x=0時取等號，故點P到直線的距離的最小值為4.

X

法2：距離最小時，y'=l-4=-H則戶近,所以P（虛,3立）,所以最小值為4.

x~

7.（2018年高考數學江蘇卷?第13題）在△/$（?中，角A及。所對的邊分別為aac,NA3C=120。，ZABC

的平分線交AC于點D,且班）=1,則4</+c的最小值為.

【答案】9

解析：由題意可知，S^BC=S^BI）+S^BC[）,由角平分線性質和三角形面積公式得，

—acsin^O=-67xlxsin60+—cxlxsin60,化簡得ac=a+c,—+-=1?因此

222ac

4a+c—（4a+c）（—+-）-5+—十”）5+2、歸工^■=9,當且僅當c=2a=3時取等號，所以4a+c的最小值

acac\ac

為9.

8.[2018年高考數學天津（理）?第13題）已知a,〃eR,且。一%+6=0,則2"十1的最小值

8

為.

【答案】-

4

解析：由a-勸+6=0,得〃=勸—6,所以2“+[=23k6+2.22亞]尹=2乂2-3=1,

8，4

當且僅當3。-6二—3。，即8=-1,。=一3時等號成立，故2“+5的最小值為：.

9.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，

要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則X二一噸.

【答案】20

解：某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買X噸，則需要購買則次，運費為4萬元/次，?年

X

的總存儲費用為4x萬元，一年的總運費與總存儲費用之和為理?4+4工萬元，--4+4x^160,

XX

當照=4x即X=20噸時，?年的總運費與總存儲費用之和最小。

X

10.（2014高考數學上海理科?第5題;，若實數乂），滿足書，=1,則V+2丁的最小值為.

【答案】2&

解析：?+2/>2忘\xy\=2>/2

題型四：簡單的線性規劃問題

一、選擇題

x+l“

1.（2021年高考浙江卷?第5題）若實數x,y滿足約束條件，則z=的最小值是

2x+3,y-l<0

（）

A.-2B.--C.--D.—

2210

【答案】B

x+120

解析:畫出滿足約束條件的可行域，如下圖所示：

2x+3y-\<0

目標函數z.權化為-z,由。…°，解得;：設4T1）,當直線―

13

點時，2=%-耳），取得最小值為-5,故選B.

x-3y+\<0

2.（2020年浙江省高考數學試卷?第3題）若實數人y滿足約束條件4.八，則作2為，的取值

x+y-3>0

范圍是（）

A.（-<30,41B.[4,-KC）C.[5,-KC）【）.（一<x,+o>）

【答案】B

解析：繪制不等式組表示的平面區域如圖所示,

其中Z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，

z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，

據此結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點月處取得最小值，

x-3y+l=0/、

聯立直線方程：.c八，可得點力的坐標為：A（2』），

x+y-3=0

據此可知目標函數的最小值為：^mill=2+2X1=4

且目標函數沒有最大值.故目標函數的取值范圍是［4,T8）.故選：B

k-220,

3.（2022年浙江省高考數學試題?第3題）若實數x,y滿足約束條件2x+y-7W0,則z=3x+4y的最大

Ix-j-2<0,

值是（）

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

解析不等式組對應的可行域如圖所示：

當動直線3工+4P-2二。過人時2有最大值.

x=2\x=2

由cr八可得o'故A2,3,

[2x+y-7=0(y=3、7

故Zm”=3x2+4x3=18,故選,B?

x-3y+420,

4.(2019?浙江?第3題)若實數"，)'滿足約束條件,3.".”440,則z=3x+2y的最大值是

,r+y>0,

()

A.-1B.1C.10D.12

【答案】C

【解析】根據約束條件畫出可行域.如圖所示，其中A(2,2).由z=3x+2)，得)，=-3x+」z，當直線

22

y=-3工+12過人(2,2)時,在1y軸上的截距最大,所以z有最大值為|().故選C.

22

x+y-2W0,

(—y+20

5.(2019?大津?理?第2題)設變量乂)，滿足約束條件｛、'則目標困數z=-4x+)，的最大值

X》-1,

/T,

為)

A.2B.3C.5D.6

【答案】答案：C

解析：作可行域為如圖所示的四邊形A8CO,其中儀―1,—1),C(3,-l),D(0,2),

則4=5,%=3,%=-13,=2，所以zmax==5.

6.（2019?北京?理?第5題）若x,>，滿足|x區1一丁，且），之一1,則3工十丁的最大值為

()

A.-7B.1C.5【）.7

【答案】C

—14）'

【解析】由題意可得《/?，作出可行域如圖陰影部分所示.

-1<x<1-v

設z=3x+y,則y=z-3i,故當直線y=z-3x經過點（2,-1）時，z取得最大值5,故選C.

K+yW5

7.（2018年高考數學天津（理）?第2題）設變量滿足約束條件?則目標函數z=3x+5y

T+)W1

y20

的最大值為()

A.6B.19C.21D.45

【答案】C

解析：作可行域為如圖所示的四邊形ABCD,其中4一1,0）,8（2,0）,032）0（2,3）,由z=3x+5y,可

得）,=一二K+三，表示斜率為一士，縱截距為三的直線，作直線），=一21并平移，當直線經過點。（2,3）時,

^5^5

直線在y軸上的截距最大，此時z取得最大值，zmax=3x2+5x3=21.

WK

則目標函數z=2x+y的最小值為

)

A.2B.3C.4D.9

【答案】B

y<x

解:設變量4、y滿足約束條件<x+，在坐標系中畫出可行域AABC,A(2,0),B(l,1),C(3,3),

y>3x-6

則目標函數z=2x+)，的最小值為3,選B.

x+y-2>0,

9.(2014高考數學天津理科?第2題)設變量滿足約束條件卜-k240.則目標函數z=x+2y的最小值

為)

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

解析:畫出可行域,不難發現在點A(l,l)處目標函數z=x+2)，有最小值2加=3.故選B.

JV—￥—1V0

10.（2014高考數學山東理科?第9題）已知乂），滿足約束條件《/'當目標函數

2x-y-3>0,

z=cix+by（a>^b>0）在該約束條件下取到最小值2萬時，a2+b2的最小值為

（）

A.5B.4C.V5I）.2

【答案】B

解析：畫出可行域如圖所示，由〃>0力>0可知當dx+Z?y=z經過2x-y-3=0與匯一y-1=0的交點

（2,DM,2,廝=2。十）=25，所以。‘十力’=〃'+（2>/5—2。）'=5優一86。十2024.

x+y-7<0

11.（2014高考數學課標2理科?第9題）設x,y滿足約束條件（x-3y+l<0,則z=2x-），的最

3x-y-520

大值為（）

A.10B.8C.3D.2

【答案】B

解析：畫出不等式表示的平面區域，可以平移直線），=2x-z,可得最大值為8.

X+y>1

12.（2014高考數學課標1理科?第9題）不等式組《的解集記為D.有下面四個命題:

x-2y<4

Pi:V（x,y）eD,x+2y>-2；p2D,x+2y>2

p3:V（x,y）eD,x+2y<3：p4:3\x,y）GD,x4-2y<-1.

其中真命題是（）

A.〃2，〃3B.C.prp2D.Pi，/%

【答案】C

解析:作出可行域如圖:設x+2y=z,即），=一；.若

Mx>=-0.5x

當直線過4（2,-1）時，Zmin=-2+2=0,...zNO,??.命題8、〃2真命題，選C.

[”X

13.（2014高考數學廣東理科?第3題）若變量X），滿足約束條件卜+yVl,且z=2.r+y的最大值和最小

值分別為m和n,則〃?-=（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C.

解析：求出三條直線的交點為（T,T）,（2,-故〃z=3,〃=-3,〃7-〃=6

x+y-2>0

14.（2014高考數學北京理科?第6題）若x,y滿足（依?一>，+220,且z=y-尤的最小值為-4,則4的

y>0

值為（）

11

A.2B.-2C.-D.--

22

【答案】0

解析：可行域如圖所示，當女〉0時，知z=y-x無最小值，當左<0時，目標函數線過可行域內A點時

y=02

Z有最小值.聯立《J解得A（一一,0）,

kx-y+2=0k

21

故zxo+L

x+y-2<0,

15.（2014高考數學安徽理科?第5題）乂），滿足約束條件（x-2），-240,若z=y-依取得最大值的最優解

2x-y+220.

不唯二，則實數a的值為（）

A.，或-1B.2或1C.2或1D.2或-1

22

【答案】D

解析：線性約束條件下，線性目標函數的最優解一般出現在可行域的邊界處，尤其在頂點處.

作出可行域，如圖所示，

由題知：目標函數的最優解不唯一，

所以動直線在平移過程中會與直線工+），-2=0或直線2%一），+2=0重合，

從而可求。=2或一1,故選D.

X+2N0

16.（2015高考數學天津理科?第2題）設變量滿足約束條件（x-y+3N0,則目標函數z=x+6y

2x+y-3<0

的最大值為（）

A.3B.4C.18D.40

【答案】C

x+2>0

解析：不等式｛x-y+320所表示的平而區域如下圖所示，當z=%+6y所表示直線經過點3（0,3）時,

2x+y-3<0

z有最大值18.

x-y>0

17.（2015高考數學山東理科?第6題）已知乂），滿足約束條件?X+y42,若2=融+》的最大值為4,則

y>0

a=（）

A.3B.2C.—2D.—3

【答案】B

x-y>0

解析：不等式組Jx+），W2在直角坐標系中所表示的平面區域如下圖中的陰即部分所示,

y>0

X

若z=or+），的最大值為4,則最優解可能為x=l,y=l或x=2,），=O,經檢驗，x=2,y=0是最

優解，此時。=2：工=1,），=1不是最優解.故選B.

x+y>-l

18.（2015高考數學湖南理科?第4題）若變量大，y滿足約束條件［2x—）Wl,則z=3x-y的最小值為

>><1

（）

A.-7B.-1C.1D.2

【答案】A.

分析：如下圖所示，畫出線性約束條件所表示的區域，即可行域，作直線：3x-y=0,平移，從

而可知當x=-2,y=l時，Zmir=3x（-2）-l=-7的最小值是-7,故選A.

4x+5y>8

19.（2015高考數學廣東理科?第6題）若變量x,y滿足約束條件U<x<3貝”=3工+2y的最小值為

0<y<2

（）

23,31

A.4B.—C.6D.—

55

【答案】B

解析：不等式所表示的可行域如下圖所示，

由z=3x+2y得y=—』x+±,依題當目標函數直線/:），=一3八十三經過時，z取得最小值

'2222V5；

423

即ZnMn=3X1+2X-=」，故選B

x+2y>0,

20.（2015高考數學福建理科?第5題）若變量乂y滿足約束條件?x-yW0,則z=2x—y的最小值等

x-2y+2>0,

于（）

53

A.---B.-2C.---D.2

22

【答案】A

解析：畫出可行域，如圖所示，目標函數變形為y=2x-z,當z最小時，直線y=2x-z的縱截距最

大，故將直線)，=2x經過可行域，盡可能向上移到過點8(-1,g)時，z取到最小值，最小值為

z=2x(-l)——,故選A.

22

x-yWO,

21.(2015高考數學北京理科?第2題)若x,y滿足卜則z=x+2)，的最大值為

()

3

A.0B.1C.-D.2

2

【答案】D

解析：如圖，先畫出可行域，由于z=x+2y,則y=—」x+1z,令Z=0,作直線y=

222

在可行域中作平行線，得最優解(0,1)，此時直線的截距最大，Z取得最小值2,故選D.

x>0,

22.(2017年高考數學浙江文理科?第4題)若滿足約束條件(x+y-320,則z=x+2)，的取值范圍

x-2y<0,

是()

A.[0,6]B.[0,4]c.[6,+oo)D.[4,+x)

【答案】D

【解析】由圖可知，y=-j+|在點(2,1)取到z的最小值為z=2+2xl=4,z沒有最大值，故

zw[4,~Ko).故選D.

2x+y>0

x+2y-2>0

23.（2017年高考數學天津理科?第2題）設變量X,），滿足約束條件〈，則目標函數z=x+y的

x<0

y?3

最大值為)

23

A.B.1D.3

32

【答案】D

2x+y>0

x+2y-2>0

【解析】變量滿足約束條件x：的可行域如圖，目標函數z=x+y經過可行域的4點時,

y?3

X=Q

目標函數取得最大值，由《一可得A（0,3）,目標函數z=x+y的最大值為3,故選D.

），二3

x-y+3<0

24.（2017年高考數學山東理科.第4題）已知樂），滿足，3x+y+540,則z=X+2），的最大值是

x+3>0

)

A.0B.2C.5D.6

【答案】

C

.r-y+3<0

【解析】由3x+,，+5?0畫出可行域及直線x+2），=0如圖所示，平移x+2〉=0發現,

A*+3>0

當其經過直線3x+y+5=。與x=-3的交點（一3,4）時，z=x+2y最大為z=-3+2x4=5,選c.

2.r+3y-3<（）

25.（2017年高考數學課標H卷理科?第5題）設x,），滿足約束條件12x—3y+320,則z=2x+y的最

y+3>（）

小值是（）

A.-15B.-9C.ID.9

【答案】A

【解析】解法一：常規解法

2x+3y-3<Q

根據約束條件?2]-3），+320畫廿可行域（圖中陰影部分），作直線/:2x+y=0,平移直線

y+3>0

將直線平移到點A處Z最小，點A的坐標為（-6,-3）,將點A的坐標代到目標函數Z=2x+y,

對于封閉的可行域，我們可以直接求三條直線的交點，代入目標函數中，三個數種選其最小的

為最小值即可，點A的坐標為（-6,-3）,點8的坐標為（6,-3）,點。的坐標為（0,1）,所求值分

別為一15、9、1,故4.0=一15,Za=9.

解法三：隔板法

首先看約束條件方程的斜率

約束條件方程的斜率分別2為；2、0;

33

其次排序

按照坐標系位置排序-：、0.

再次看目標函數的斜率和），前的系數

看目標函數的斜率和），前的系數分別為-2、1；

最后畫初始位置，跳格，找到最小值點

目標函數的斜率在，*0）之間，即為初始位置，y前的系數為正，則按逆時針旋轉，第一格為

最大值點，即（-：5），第二個檔為最小值點，即（°，|），只需解斜率為o和1這兩條線的交點

即可，其實就是點A,點A的坐標為（-6,-3）,將點A的坐標代到目標函數Z=2x+y,

可得Z=—15,即4^=75.

x<3,

26.（2017年高考數學北京理科?第4題）若乂y滿足\x+y>2.則x+2y的最大值為