華師大版

八年級上冊數學教案全冊

第12章數的開方

12.1平方根與立方根(1)

教學目的

1.知識與能力：從實際問題的需要出發，引進平方根概念，體現從實際到理論、具體到抽象這樣一

個一般的認識過程，培養學生辯證唯物主義觀點；從求二次塞的平方運算引出求平方根的運算，突出平

方運算和開平方運算的互逆性；

2.過程與方法：扣住定義去思考問題，重視解題技巧；

3.情感態度與價值觀：以舊引新，以新帶舊。

重點、難點

1.重點：通過實際問題的研究，認識平方根：會用計算器求任意正數的算術平方根。

2.難點：正確區分平方杈與算術平方根的關系。

教學過程

一、創設情境

問題1要剪出一塊面積為25cm?的正方形紙片，紙片的邊長應是多少？

問題2已知圓的面積是16兀cm2,求圓的半徑長.

(學生探索，回答問題)

二、探究歸納

問題1解設正方形紙片的邊長為xcm,依題意有：x2=25,

求出滿足x2=25的x值，就可得正方形紙片的邊長.

因52=25,(-5)2=25,故滿足x2=25的x的值可以是5,也可以是一5,但正方形邊長只能取正

值.所以x=5.

答正方形紙片的邊長為5cm.

這個問題實質上就是要找一個數，這個數的平方等于25.

問題2解設圓的半徑為Rcm,依題意有：

nR2=16n,即R2=16,

求出滿足R2=16的R的值即可求出圓的半徑.

因42=16,(-4)2=16,故滿足R2=16的R的值為4或一4,但圓的半徑只能取正值.所以數R

=4.

答圓的半徑為4cm.

這個問題實質上就是要找一個數，這個數的平方等于16.

剛才具體的二個例子，從數學意義上都是要解決這樣一個共同的問題：已知某數的平方，要求這個

數.用式子來表示就是如果x2=a,求x的值.

概括如果一個數的平方等于a,那么這個數叫做a的平方根(squareroot)(也叫a的二次方根).

在上述例1問題中，因為5?=25,所以5是25的一個平方根.又因為(-51=52=25,所以一5也

是25的一個平方根.這就是說，25的平方根有兩個：5與一5.在上述例2問題中，因為4?=16,

所以4是16的一個平方根.又因為(-4)2=42=16,所以一4也是16的一個平方根.這就是說，16的

平方根有兩個：4與一4.所以，根據平方根的意義，我們可以利用平方來檢驗或尋找一個數的平

方根.

三、實踐應用

例1求100的平方根.

解因為1()2=100,(-10)2=100,除了10和一10以外，任何數的平方都不等于100,所以100的

平方根是10和10，也可以說，100的平方根是土10.

學生試一試：

4

(1)144的平方根是什么？(2)0的平方根是什么？(3125的平方根是什么？(4)—4有沒有平方

根？為什么？請學生也編三道求平方根的題目，并給出解答.與同學交流，你發現了什么？

1.平方根的性質：

問(1)正數的平方根是什么？.

問(2)0的平方根是什么？

問(3)負數有平力根嗎？為什么？

請同學概括數的平方根的性質.

答一個正數有兩個平方杈，它們互為相反數；0有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根.

2.一個非負數a的平方根的表示法.

3.開平方.

求一個數a(a20)的平方根的運算，叫做開平方.

例2將下列各數開平方：(1)49,(2)1.69.

分析開方運算就是求平方根，我們可以通過平方運算來解決.

例3下列各數有平方根嗎？如果有，求出它的平方根；如果沒有，請說明理由.

(1)-64；(2)0；(3)(-4)2.

分析因為只有正數和零才有平方根，所以首先應觀察所給出的數是否為正數或0.

四、作業

P41

五、反思

1.一般地，如果X=a,那么叫工做a的平方根.(也叫a的二次方根).當a=0時，a有一個平

方根，就是它本身：負數沒有平方根.

2.求一個數a的平方根的運算，叫做開平方，平方和開平方運算有區別又有聯系.區別在于，平方

運算中，已知的是底數和指數，求的是鼎；而在開平方運算中，已知的是指數和尋，求的是底數.在平

方運算中的底數可以是任意數，平方的結果是唯一的；在開平方運算中，被開方數必須是半負數，開平

方的結果不一定是唯一的.

3.平方和開平方運算乂有聯系，二者互為逆運算.

4.求一個數的平方根，可以通過平方運算來解決.

12.1平方根與立方根(2)

教學目的

1.知識與能力：引導學生建立清晰的概念系統，在學生正確理解平方根的概念的意義和平方根的表

示方法基礎上，專門討論算術平方根的概念及其表示方法；

2.過程與方法：對于右表示的算術平方根中的a的條件和右的本身的意義作合理性的說明，例

如：面積為a(a>0)的正方形的邊長為右，從而直觀形象地說明算術平方根約定的合理性。

3.情感態度與價值觀：針對性的、有梯度的、形式多樣的課堂練習題，讓學生在練習中鞏固和加深

知識的理解和掌握，促使學生盡快地把新知識納入到自己原有的認知結構中.

重點、難點

1.重點：1.理解算術平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；用計算器求一個非負數的算術平

方根.

2.難點：體會到平方根和算術平方根這兩個概念的聯系和區別，進一步熟練地進行平方根與算術

平方根的運算；

教學過程

一、創設情境

1.在(-5)2、-52、52中，哪個有平方根？平方根是多少？哪個沒有平方根？為什么？

2.0.49的平方根記作=:

1U的正的平方根記作

3.36=：

4.說出平方根的概念和性質.

二、探究歸納

1.算術平方根：

9的平方根是，9的正的平方根是，、何=3表示的意義是什么？

土舟&?

Tiooo；-7144；-A/O.OOOO1；±7625;

4.用計算器計算：

（DV676.⑵J27.8784；⑶J4.225（精確到o.oi）.

四、作業

P43P74

五.反思

1.平方根和算術平方根的區別：

2.平方根和算術平方根的聯系：.

12.1平方根與立方根(3)

教學目的

1.知識與能力：在學習了平方根的概念的基礎上學習立方根的概念，重點放在討論立方的概念，立

方根的個數的唯一性及立方根的求法；

2.過程與方法：在學生對數的立方根的概念及個數的唯?性有了?定的理解的基礎上，提出數的立

方根與數平方根的區別；

3.情感態度與價值觀：滲透特殊--般——特殊的思想方法.通過特例研究等式

-加(。〉0),運用歸納的思想方法，讓學生理解“一個負數的立方根是它的絕定值的立方根

的相反數”，運用這一關系式求一個負數的立方根.

重點、難點

1.重點：掌握立方根的概念，掌握由立方運算，求一個數的立方根的方法；會用計算相求數的立

力根。

2.難點：明確立方根個數的性質，分清一個數的立方根與平方根的區別。

教學過程

一、創設情境

計算下列各題：

23,(-2)3,03,0.43,(-0.4)3.

強調指出上述各題都是已知一個數，求這個數的立方，即a3=x.其中，已知數a叫底數，它可

為正數，也可為負數，也可是零；x叫做a的三次累，同樣可為正數，可為負數，也可是零.這種運算

是乘方運算，是己知底數、指數，求哥的運算.

問題現有一只體積為216cnf的正方體紙盒，它的每一條棱長是多少？

分析上面所提出的問題，實質上就是要找一個數，這個數的立方等于216.

解設正方體紙盒的棱長為xcm,則

=216

因為+=216,所以x=6.

答正方體的棱長應為6cm.

二、探究歸納

問這個實際問題，在數學上提出怎樣的一個計算問題？從這里可以抽象出一個什么數學概念？

答已知乘方指數和3次塞，求底數，也就是“已知某數的立方，求某數”.即x3=a,a是已知數,

求X.

1.立方根的概念：

如果?個數的立方等于a,那么這個數就叫做a的立方根(cuberoot)(也叫做三次方根).

試一試(1)27的立方根是什么？(2)—27的立方根是什么？

(3)0的立方根是什么？請學生也編三道求立方根的題目，并給出解答.

2.立方根的表示方法：

3.開立方：

求一個數的立方根的運算，叫做開立方.開立方與立方也是互為逆運算，因此求一個數的立方根可

以通過立方運算來求.

三、實踐應用

例1求下列各數的立方根：

8

627；(2)-125；(3)-0.008；(4)0.

根據上述練習提問：

(1)一個正數有幾個立方權？是否任何負數都有立方根？如都有，一個負數有幾個立方根？0的立

方根是什么？

啟發學生得出立方根的性質，并通過下表與平方根的有關性質進行比較.

方才黑、正數零負數

有兩個互為相反數

平方根零的平方根是零沒有平方根

的平方根

立方根有一個正的立方根零的立方根零有一個負的立方根

(2)一個數的平方根和一個數的立方根，有什么相同點和不同點？

例2用計算器求下列各數的立方根：

(1)1331；(2)-343：(3)9.263.

分析用計算器求一個有理數的立方根，只需要直接按書寫順序按鍵.若被開方數為負數，“一”號

的輸入可以按叵1,也可以按E]

四、作業

P71.2.5

五、反思

請思考下面的問題：

1.什么叫一個數的立方根？怎樣用符號表示數a的立方根？a的取值范圍是什么？

2.數a的立方根與數a的平方根有什么區別？

3.求一個數的立方根，可以通過立方運算來求.

12.2實數與數軸（1）

教學目的

1.知識與能力：了解實數的意義，能對實數進行分類；

2.過程與方法：了解數軸上的點與實數一一對應，能用數軸上的點來表示無理數；

3.情感態度與價值觀：會比較兩個實數的大小.

重點、難點

1.重點：通過探索，使學生從數和形兩方面體會到無理數可以在數軸上找到一個對應點，從而認識

到實數和數軸上的點??對應；

2.難點：通過計算器輔助，能比較兩個無理數的大小.

教學過程

一、創設情境

1.做一做：（1）用計算器求收；（2）利用平方關系驗算所得結果.

這里，我們用計算器求得收=1.414213562,再用計算器計算1.414213562的平方，結果是

1.999999999,并不是2,只是接近2.這就是說，我們求得的血的值，只是一個近似值.

2.如果川計算機計算行，結果如何呢？

閱讀課本第15頁的計算結果，在數學上已經證明，沒有一個有理數的平方等于2,也就是說，五

不是有理數.那么，、歷是怎樣的數呢？

二、探究歸納

1.回顧有理數的概念.

（1）有理數包括整數和分數；

（2）任何一個分數寫成小數形式，必定是有限小數或者無限循環小數.

2.無理數的概念.

與有理數比較，、巧計算結果是無限不循環小數，所以血不是有理數.類似地，石、圓周率/

等也都不是有理數，它們都是無限不循環小數.

無限不循環小數叫做無理數

有理數和無理數統稱為實數

三、實踐應用

1.試一試：你能在數軸上找到表示衣的點嗎？

如圖，將兩個邊長為1的正方形分別沿它的對角線剪開，得到四個等腰直角三角形，即可拼成一個

大正方形.容易知道，這個大正方形的面積是2,所以大正方形的邊長為友.

這就是說，邊長為1的正方形的對角線長是血,利用這個事實，我們容易在數軸上面出表示J5

的點，如圖所示：

01短x

例1試估計百+亞與”的大小關系.

說明：正實數的大小比較和運算,通常可取它們的近似值來進行.

提問：若將本題改為“試估計一（、四+血）與一人的大小關系”，如何解答？

例2如果將所有的有理數都標到數軸上，那么數軸被填滿了嗎？如果再將所有的無理數都標到數軸

上，那么數軸被填滿了嗎？

答如果將所有的有理數都標到數軸上，數軸未被填滿；如果再將所有無理數都標到數軸上，那么

數軸被填滿.

四、作業

P111.2.3

五、反思

數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數.數學上可以說明，數軸上的任一點必定表示

一個實數；反過來，每一個實數也都可以用數軸上的點來表示.換句話說，實數與數軸上的點一一對應.

12.2實數與數軸⑵

教學目的

1.知識與能力：了解有理數的相反數和絕對值等概念、運算法則和運算律在實數范圍內仍然適用：

2.過程與方法：能利用運算法則進行簡單運算.

3.情感態度與價值觀：培養學生學會觀察并思考的能力。

重點、難點

有理數中的相反數、倒數和絕對值等概念與運算法則和運算律在實數范圍內仍成立，讓學生體會到

這是一種知識的遷移.

教學過程

一、創設情境

1.復習提問：

(1)用字母來表示有理數的乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律.

(2)用字母表示有理數的加法交換律和結合律.

(3)平方差公式？完全平方公式？

(4)有理數的相反數是什么？不為0的數的倒數是什么？有理數的絕對■值等于什么？

二、探究歸納

在實數范圍內，有關有理數的相反數、倒數和絕對值等概念、大小比較、運算法則及運算律仍然適

用.

三、實踐應用

例1計算:(結果精確到0.01).

分析對于實數的運算,通?？梢匀∷麄兊慕浦祦磉M行.

解用計算器求得2北一3虛心一0778539072,

|2V3-372|

于是I1^0.778539072,

71

所以2^1.570796327-0.778539072

=0.792257255

四、作業

習題：1.2.3.

五、反思

1.一個數的絕對值就是這個數在數軸上表示的點到原點的距離；

2.互為相反數的兩數在數軸上表示的點在原點兩側且到原點的距離相等(除0以外);

3.從有理數擴大到實數，有理數的運算法則和運算律適用于實數.

小結與復習

教學目的

1.知識與能力：理解并掌握平方根和算術平方根、立方根的意義；

2.過程與方法：理解并掌握二次根式的意義和基本性質；

3.情感態度與價值觀：掌握二次根式乘法和除法運算法則，并能熟練應用.

重點、難點

1.重點：體驗綜合應用學過的數學知識解決問題的方式和方法.

2.難點：經歷本章知識結構圖的認識過程，體會數學知識的前后連貫性。

教學過程

一、創設情境

本章知識結構如圖所示：

實數無理數實際問題平方立方平方根立方根算術平方根

：^：

:乂刀：

二、探窕歸納

1.平方根和算術平方根的意義：

(1)如果一個數的平方等于a,那么這個數叫做a的平方根；

(2)正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根；

(3)一個正數有兩個平方杈，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根.

(4)求一個非負數的平方根的運算，叫做開平方，它與平方運算互為逆運算.

2.立力根的意義：

(1)如果一個數的立方等于a,那么這個數就叫做a的立方根.

(2)求?個數的立方根的運算，叫做開立方，與立方運算互為逆運算.

(3)任何數都有立方根.

三、實踐應用

例1填空：

4

風的算術平方根是

(I)25的平方根是

99

(2)的平方等于16,16的算術平方根是

+2

解⑴5,3：

+33

⑵T々

例2己知Qi）?=16,丫是（一5『的正的平方根，求代數式x+y%一）'的值.

解由題意可得x=±2，）'=5

當x=2，y=5時,

-?-222_2__8_

x+y=2+52^5=7-3="2?

當x=_2，），=5時，

-?--22_228

x+yx-y=-2+5-2-5=37=21

四、作業

根據表格中所給信息填空；

被開方數1

平方根0

立方根2

算術平方根3-4

2.將下列各數按從小到大的順序重新排成一歹U：

25/2,-----,0,—1.6

2

3.平力根等于本身的數是；

立方根等于本身的數是；

算術平方根等于本身的數是

第13章整式的乘除

13.1露的運算

1、同底數賽的乘法

教學目的

1.知識與能力：熟記同底數幕的乘法的運算性質，了解法則的推導過程，會逆用公式a"an=a

2.過程與方法：能熟練地進行同底數哥的乘法運算.

3.情感態度與價值觀：通過法則的習題教學，訓練學生的歸納能力，感悟從未知轉化成已知的思

想.

重點、難點

1.重點：掌握并能熟練地運用同底數暴的乘法法則進行乘法運算.

2.難點：對法則推導過程的理解及逆用法則.

教學過程

一、更習

1.填空.

(02X2X2X2X2=(),a?a.........a=()

m個'丫,

(2)指出各部分名稱.

)

二、探索，概括.

1.下述題目，要求學生說出每一步變形的根據之后，再提問讓學生直接說出2'X25=(),

36X37=(),由此可發現什么規律？

(1)2：，X22=()X()=2(),

(2)53X52=()X()=5(),

(3)a：，a'=()X()=a().

2.如果把dXa'中指數3和4分別換成字母m和n(m、n為正整數)，你能寫出的結果嗎?你寫

的是否正確？

(讓學生猜想，并驗證.)

a",a*=(絲:p),(附…0)(7的定義)

=(絲二a)(乘法的結合律)

(M?*)4*

=廠”(幕的定義)

即a"?an=a"n(m、n為正整數)

讓學生用文字語言表述法則：同底數鼎相乘，底數不變，指數相加.

三、舉例及應用.

例1計算：(1)105X10'(2)a?aJ(3)a?a3?a5(4)(a+b)'(a+b)1

解：(1)10^10'=103，,=107.(2)a?a^a'^a*.

(3)a?a3?a°=a'?a=a(4)(a+b)2(a+b)-(a^b)-(a+b)6

練習第19頁練習第1題.

提問：通過以上練習，你對同底數是如何理解的？在應用同底數轅的運算法則中，應注意什么？

四、拓展延伸.由aZn=ai，可得a"n=a%n(m、n為正整數.)

例2已知an=3,a"=8,則a""=()

五、鞏固練習.P191.2.

六、布置作業.課本第23頁習題13.1第1題的1、

七、反思.

1.在運用同底數幕的乘法法則解題時，必須知道運算依據.

2.“同底數”可以是單項式，也可以是多項式.

3.不是同底數時，首先要化成同底數.

2、轅的乘方

教學目的

1.知識與能力：熟記事的乘方的運算法則，知道幕的乘方性質是根據乘方的童義和同底數暴的乘

法性質推導出來的.

2.過程與方法：能熟練地進行轅的乘方的運算.

3.情感態度與價值觀：在雙向應用基的乘方運算公式中，培養學生思維的靈活性.

重點、難點

1.重點：理解案的乘方的意義，掌握靠的乘方法則.

2.難點：注意與同底數察的乘法的區別.

教學過程

一、復習

1.如果一個正方體的棱長為16厘米，即42厘米，那么它的體積是多少？

2.計算：(l)a1,a1?a1；(2)x?x3?x'?x.

3.你會計算(aT與(X15嗎？

一一、立二鋤

1.(表示什么意義？

2.如果把x換成I,那么(//表示什么意義？

3.怎樣把a2-a2?a2-a2=a?+2+2+2寫成比較簡單的形式？

4.由此你會計算(a,嗎？

5.根據乘方的意義及同底數幕的乘法填空.

(1)(23)2=23X23=2()；

(2)(32)3=()X()X()=3,)；

⑶匕3)5=，><()X()X()X()=a-

6.用同樣的方法計算：(a)'；(a11)9；(b>(n為正整數).

引導學生認真思考，得到：

lyJtxn3n

(2)=2"2=2"；(3>=3-=父；(a')=a"^=a-(b)"=b'=b

(觀察結果中幕的指數與原式中幕的指數及乘方的指數，猜想它們之間有什么關系?結果中的底數與

原式的底數之間有什么關系?)

(amy=Q"?Q"….乘方的意義)

二金乂同底數嘉的乘法)

(乘法定義)

BP(an)n=an-an(m.n是正整數).

這就是幕的乘方法則.你能用語言敘述這個法則嗎？幕的乘方，底數不變，指數相乘.

三、舉例及應用.

例1計算：

(1)(103)5；(2)(b3)1.

解：⑴(IO5)5=103Xi=1015.(2)(b3)4=b3X4=b12.

練習：課本第20頁練習第2題.

例2下列計算過程是否正確？

(l)x2?/?x3+x5?x，?x=x“+xi°=x，⑵(x/+(xAx'+x-23

(3)a2?a?a34-a1?a2-a3=a84-a8=2as.(4)(a2)3+a3?a3=a64-a6=2a6.

練習：課本第20頁練習的第1題.

5.例3填空.

(1)al2=(a3)<5=(a2)(^a3-a(J=(a(J)2；

(2)靖=3()；(3)32X9n=32X3()=3<\

(此題要求學生會逆用幕的乘方和同底數幕的乘法公式，靈活、簡捷地解題.)

四、鞏固練習.補充習題.

五、布置作業.課本第23頁習題第2題.

六、反思.

1.(an)n=a"-"(nKn是正整數)，這里的底數a,可以是數、足字母、也可以是代數式；這里的指

數是指幕指數及乘方的指數.

2.對于同底數基的乘法、暴的乘方、合并同類項這三個法則，要理解它們的聯系與區別.在利用

法則解題時，要正確選用法則，防止相互之間發生混淆(如：不?1=2砧(1尸=3+)并逐步培養自己“以

理馭算”的良好運算習慣.

3、積的乘方

教學目的

1.知識與能力：能說出積的乘方性質并會用式子表示.

2.過程與方法：使學生理解并掌握積的乘方的法則.

3.情感態度與價值觀：使學生能靈活地運用積的乘方的法則進行計算.

重點、難點

重點：探索積的乘方法則的形成過程.

難點：積的乘方公式的推導及公式的逆用.

教學準備

學生：4張正方形硬紙片、若干張邊長為a的小正方形紙片.

教學過程

一、提問.

l.a2-a3=a5,也就是說：().即a"?3=21血、n為正整數).

(讓學生明白所用到的運算法則及運算律.)

2.(a3)7=a(),也就是說：().即(a')n=am-n(m、n為正整數.)

(讓學生明白同底數暴的乘法與塞的乘方法則的區別.)

二、引導觀察.

1.計算.

22X32=4X9=36.(2X3)2=(2X3)(2X3)=6X6=36.

從而得到：(2X3)2=22X32=36.進而猜想：(ab/與a?匕?是否相等？

2.探索，概括.

(1)(a/>)2=(ab)?(ab)=(a?a)(6?6)=a2b2；

Vt

(2)(a6)3=(a)?(ab)?同)=(a?a?a)(6?6?6)=a喑；

(3)(ab)4=(.)?(a6)：(曲)?(Q)=(a?a?a?a)(b?b?b?b)

=a46*；

(4)(a/>)*=(?)?(必)...(0)=(a?a?????a)(b?b?…p)

,_~

4a紗。

于是我們得到了積的乘方法則：(aby'MaEXn是正整數).

即：積的乘方，等于各因數乘方的積.

教師應一步一步地引導學生，得出結論(因為指數是用字母表示的，就學生的思維狀況來說是個難

點).然后讓學生自己對照公式總結，自己敘述出法則.

3.引導學生剖析積的乘方法則.

問題:三個或三個以上因式的積的乘方，是不是也具有這一性質？

(1)(abc)n=(ab)ncn=anbncn.

(2)(a6c)*=(g加)?(血)....(颯)-(a?a?????a)(b?b.....6)

(c?c....c)=a*6*c*o

即(abc)f,=a"b"c"(n為正整數).

三、舉例及應用.

例1計算:

(D(2b)3；(2)(2Xa3)2：⑶(一??；(4)(-3x)

解：(1)(2b)3=2:，b3=8b3.(2)(2Xa3)2=22X(a3)2=4Xa6.

(3)(—a)3=(—1)3?a3=—a3.(4)(—3x)'=(—3)1,x，=81x'

(第(I)題由學生回答，教師板演，并要求學生說出每一步的根據是什么；第(2)、(3)、(4)題由學

生完成，根據學生完成的情況，提醒學生注意：①系數的乘力；②因數中若有幕的形式，要注意運算步

驟，先進行積的乘方，后作因數幕的乘方.)

練習.課本第21頁練習的第1題.

四、拓展延伸.

因為(ab)n=a"b"，所以因bn=(ab)n.

逆用性質進行計算：

⑴2嘆4,X0.125，=(2X4X0.125廣(2)(-4)2002X(0.25)2002=?

練習：

1.(-5ab>=()2.(xyT=()

3.(―2xy$)'=()；

4.(-2X10：l)=()；5.(一3a)3=().

五、布置作業.課本第23頁習題13.I第4題

六、反思.

這節課你有什么收獲?學到了什么？還有哪些需要老師幫你解決的問題？

請注意：積的乘方要將每一因式(特別是系數)都要乘方.

13.2同底數幕的除法

教學目的：

1.知識與能力：能說出同底數鼎相除的法則，并正確地進行同底數耗的除法運算；

2.過程與方法：理解任何不等于零的數的零次幕都等于1.

3.情感態度與價值觀：能正確進行有關同底數事的乘除混合運算。

重點、難點

1.重點：掌握同底數幕的除法的運算性質，會用之熟練計算；

2.難點：理解同底數轅的除法運算性質及其應用。

教學過程：

一、新知探究

1、復習同底數基的乘法法則。

2、用你熟悉的方法計算：

(1)254-22=；

(2)1074-103=；

(3)a74-aJ=(aWO).

概括

由上面的計算，我們發現：254-23=23=25-3；

10=1()3=10?=107-3；

a7—?a3_—a4_—a7-3?

同底數累的除法性質：同底數累相除，底數不變，指數相減。

用字母表示；""+〃"=0,，爪〃是正整數且m>n)

當m二n時優'+優=〃0=](〃W0)零指數的意義：a0=l(a^O)

二、典例剖析

例1、計算：

(1)x6-rx2；(2)(-a)°-ra3(3)anM-i-an1(4)(a+1)3-r(a+1)2

解：(1)原式=x6'2=x\(2)原式=-a54-a3=-a2

(3)原式=「7皿=a3(4)原式=(a+1)3-2=a+1

*當底數是多項式時，在同底數底相除時，指數相減時，底數必須加括號。注意變號

*指數為1時可以省略。

課堂練習：

(1)y'°"-r(y-ry"")；(2)x1-rx2+x,(-x)1

(3)(x-y)7-r(y-x)6+(-x-y)3-i-(x+y)2

解：(1)原式二y，On4-y2n=y8n

(2)原式=x3+x?x1=x5+x3=2xa；

(3)原式=(x-y)'4-(x-y)b-(x+y)=(x+y)2

=(x-y)-(x+y)=x-y-x-y=-2y

例2、解關于X的方程：(X-1)X7=1

|x|-l=O\x-\=-\

x-1^0[lxl-1為偶數

解：解得：x=T或解得：x=21或x二2

例3、已知：x"=5,x!1=3,求x""

解：.父3

練習P231.2.

三、作業。

P235.6.

四、反思：

同底數轅相除的法則：同底數轅相除，底數不變，指數相減。

用字母表示.〃"'+，=a""（aW0,IIK〃是正整數且團＞n）

零指數幕：4。=1（4工。）

13.2整式的乘法

1、單項式與單項式相乘

教學目的

1.知識與能力：通過學生自主探索，掌握單項式相乘的法則.

2.過程與方法：掌握單項式相乘的幾何意義.

3.情感態度與價值觀：會運用單項式相乘的法則進行計算，并解決一些實際生活和不

學計算中的問題.

重點、難點

1.重點：單項式與單項式相乘的法則.

2.難點：單項式與單項式相乘的法則的應用；單項式相乘的幾何意義.

教學過程

一、復習

我們已經學習了哥的運算性質，你能解答下面的問題嗎；

1.判斷下列計算是否正確，如有錯誤加以改正.

(l)a3,a^a10(2)a?a2?a5=a(；(3)(a3)2=a9；(4)(3ab2)2?a4=6a2b'.

2.計算：

(l)10Xl()2x"=()；

(2)(a+b)?(a+bF?(a+b)"=()；

(3)(-2x2y3)2=().

二、新知探究

我們剛才已經復習了哥的運算性質.從本節開始，我們學習整式的乘法.我們知道，整式包括什

么？(包括單項式和多項式.)因此整式的乘法可分為單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以

多項式.這節課我們就來學習最簡單的一種：單項式與單項式相乘.

一個長方體底面積是4xy.商是3x,那么這個長方體的體積是多少？學生探討4xy?3x如何計算?

3x=3-x,4xy=4-xy,

因此4xy?3x=4?xy?3?x=(4*3)?(x?y)?y=12x2y.

(要強調解題的步驟和格式.)

仿照剛才的做法，你能解出下面的題目嗎？

(1)3x2y,(―2xy3)=[3,(—2)]?(x?x2)?(y?y3)=-6x3y4.

(2)(—5aV),(—4b%)=[(—5)X(—4)]?a2,(b3?b2)?c=20a2b5c.

總結法則：單項式和單項式相乘，系數與系數相乘，相同字母的暴分別相乘；對于只在一個單項式

中出現的字母，則連同它的指數?起作為積的?個因式.

例1.計算：⑴(2)3/)，5.(-2M，2Z)

點評：可先提示，運算乘法交換律，結合律，把各因式的系數，相同的字母分別結合，然后相乘.2/

-223)2..2

和5廠可看成是2?尤和5?廣，同樣2尸)可看成是3?x?)和(-2)?x?>?z.

解：1.2/*5x5=(2X5)(丁?/)=10/

23/y'?(—2"2z)=3x(_2)(/?x)?(V.V)?z=—6/Vz

通過兩式計算，可以引導學生歸納出：

系數相乘作為積的系數.

相同字母的因式，應用同底數底的運算法則，底數不變，指數相乘.

只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數也作為積的一個因式.

單項式與單項式的積仍是單項式.

例2.計算：

(1)3x2y,(-2xy3)；(2)(—5aV),(—4bJc)

解：(1)3x2y?(-2xy3)=[3,(-2)]?(x'*x)*(y,y‘)=—6x'y1(2)(—SaV)*(—

4b2c)=[(-5)*(—4)],a2*(b3?b2)*c=20a2b5c

思路點撥：例2的兩個小題，可先利用乘法交換律，結合律變形成：數與數相乘，同底數凝與同底

數基相乘的形式，單獨一個字母照抄.

我們已經掌握了兩個單項式相乘的情況，那么三個或三個以上的單項式相乘，你會不會計算呢？

計算：3a*b?2ab,?(—5a2b2).

例3.衛星繞地球運動的速度(即第一宇宙速度)約為7.9X10：'米/秒，則衛星運行3X02秒所走的

路程約是多少？

解：7.9X103X3X102=23.7X105=2.37X106

答：衛星運行3X1()2秒所走的路程約是2.37XIO"米.

思路點撥：對于單項式與單項式相乘的應用問題，首先要依據題意，列出算式，含10的塞相乘同

樣用單項式乘法法則進行計算，還應將所得的結果用科學記數法表示.

練習課本第25頁練習第I.2.3.題.

1.—4mn3,3mn；2.—3a2c,(—2ab2)2；3.3x,(—4x2y),2y；

三、作業：第28頁練習的第1.2.題.

四.反思

本節內容是單項式乘以單項式，重點是放在對運算法則的理解和應用上.

2、單項式與多項式相乘

教學目的

1.知識與能力：能說出單項式與多項式相乘的法則，并且知道單項式乘以多項式的結果仍然是多

項式.

2.過程與方法：會進行單項式乘以多項式的計算以及含有單項式乘以多項式的混合運算.

3.情感態度與價值觀：培養學生細心審題，細心做題的習慣。

重點、難點

重點：本節課的教學重點是掌握單項式乘以多項式的法則.

難點：熟練地運用法則，準確地進行計算.

教學過程

一、復習

1.單項式與單項式相乘的法則？

2.完成下列各題.

(l)2x'?(―4xy)=()；(2)(―2x2)?(―3xy)=()；

(3)|ab)?(|ab2)=()；(4)12?！?)

ZoJ4

二、引導觀察，圖形演示.

9QR9

1.在12X(--[+")中，你是怎樣計算的?用什么樣的方法較簡單？(乘法分配律.)即12X(--

J4b0

3,5、23,5

-+,)=12X__12X_+12X,.

2.我們知道代數式中的字母都表示數，如果把上題中的數都換成字母，你會計算m(a+b+c)嗎?

(引導學生用乘法的分配律解決.)

3.你算出的結果能否用長方形的面積加以驗證？(出示圖.)

大長方形的面積有兩種表示方法，一是長為a+b+c,寬為m,面積是

m(a+b+c)；二是三個小長方形的面積和，即am+bm+cm.它們都是大長方形

的面積,所以它們是相等的,即m(a+b+c)=am+bm+cm.

4.在m(a+b+c)=ma+mb+mc中，"m”是單項式，“a+b+c”是多項式,這兩者相乘,從中你能

看出什么規律?

在教師的引導下，學生總結出法則：

法則：單項式與多項式相乘，只要將單項式分別乘以多項式的各項，再將所得的積相和.

用式子表示為：m(a4-b+c)=ma+mb+mc

三、舉例及應用.

例1計算：(-2a"),(3ab2—5ab3).

解：(-2a2)?(3ab2—5ab3)=(-2a2)?3ab2+(—2a2)?(-5ab3)=-6ab+10a%[(為強調格式，教

師示范解題格式.)

例2計算：(3a2-5b)-2a2.

此題是否是單項式乘以多項式?應怎樣計算？

(引導學生歸納出當單項式在石邊時，法則仍然成立.)

練習：課本第26頁練習第1題.

例3計算：一ab+b?)—5a(a'b—at/).

(該題是含有兩個單項式與多項式相乘的混合運算，對于后一個括號中的“一”的處理，要看成是

單項式的符號.)

練習.課本第26頁練習第2題.

四、作業：課本第28頁習題第3.4.

五、反思：

1、注意不要漏乘任何一項.注意“一”的問題.

2、在幾個單項式乘以多項的混合運算中，要注意運算順序，完成乘法后，要合并同類項，得出最

簡結果.

3、多項式與多項式相乘

教學目的

1.知識與能力：能說出多項式與多項式相乘的法則，并且知道多項式乘以多項式的結果仍然是多

項式.

2.過程與方法：會進行多項式乘以多項式的計算及混合運算.

3.情感態度與價值觀：培養學生靈活運用所學知識分析問題、解決問題的能力.

重點、難點

重點：掌握多項式乘以多項式的法則.

難點：運用法則進行混合運算時，不要漏項.

教學過程

一、復習:

請學生說出單項式與多項式相乘的法則.

二、引導觀察，圖形演示.

1、某地區在退耕還林期間，有一塊原長in米、寬a米的長方形林區增長了n米，加寬了b米.請你

表示這塊林區現在的面積.

問題：(1)如何表示擴大后的林區的面積？

(2)用不同的方法表示出來后的等式為什么是相等的呢？

學生得到了兩種不同的表示方法,一個是(m+n)(a+n)米)另一個是(ma+mb

+na+nb)米：以上的兩個結果都是正確的.

3.觀察兩個多項式各項之間的關系，能不能由原來的多項式各項之間相乘直接得到?如果能得到,

乂是怎樣相乘得到的？(教師示范.)

你能用語言敘述這個式子嗎？

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積

相加.

即：(m+n)(a4-b)=ma+mb+na+nb.

三、舉例及應用.

例1計算：

(1)(x+2)(x—3)；(2)(3x—1)(2x+1).

解(1)(x+2)(x—3)=x2—3x4-2x—6=x2—x—6.

(2)(3x-l)(2x+l)=6X2+3X-2X-1=6X2+X-1.

練習.課木第28頁練習第1題的(1)、(2).

例2計算：

(1)(X—3y)(x+7y)；(2)(2x+5y)(3x—2y).

解(1)(x—3y)(x+7y)=x2+7xy-3yx—21y2=x2+4xy-21y2.

(2)(2x+5y)(3x—2y)=6x2—4xy+15yx—10y2=6x2+1Ixy—10yJ.

例3.先化簡，再求值

1

X=—y=|t

(3x-2y)(y-3x)—(2x-y)(3x+y),其中5

解：原式二3肛一9x2-2y2+6xy-(6x2+2xy-3xy-y2)

22222

=9xy-9x-2y-6x+盯+/=_]5X+10xy-}*

o,1o132

-15x2+10^-y2=-15x(-)2+10x(-)-1=--+2-1=-

5555

4.練習.課本第28頁練習第1題的(3)、(4).2

四、。置作業課本28頁習題6、7題

五、課堂小結

1、多項式乘法，將多項式與多項式相乘轉化為單項式與多項式相乘.

2、運用法則時，要有序地逐項相乘，做到不重不漏.

3、在含有多項式乘法的混合運算時，要注意運算順序，計算結果要化簡

13.3乘法公式

1、兩數和乘以它們的差

教學目的

1.知識與能力：能說出平方差公式的特點，并會用式子表示.

2.過程與方法：能使學生正確地利用平方差公式進行多項式的乘法.

3.情感態度與價值觀：通過平方差公式得出的過程，使學生明白數形結合的思想.

重點、難點

重點：掌握平方差公式的特點，牢記公式.

難點：具體問題要具體分析，會運用公式進行計算.

教學過程

一、新課引入.

王劍同學去商店買了單價是9.8元/千克的糖塊10.2千克，售貨員剛拿起計算器，王劍就說出應

付99.6元，結果與售貨員計算出的結果相吻合.售貨員驚訝地問：“這位同學，你怎么算得這么快？”王

劍同學說：“我利用了在數學二剛學過的一個公式."你知道王劍同學用的是一個什么樣的公式嗎?你現

在能算出來嗎?學了本節之后，你就能解決這個問題了.

從而引出課題：平方差公式.

二、知識回顧.

1.多項式乘以多項式的法則：.

2.利用多項式與多項式的乘法法則說出(x+a)(x+b)的結果.

3.計算：

(1)(x+3)(x—3)；(2)(a+2b)(a—2b)；

(3)(4m4-n)(4m—n)；⑷(5+4y)(5—4y).

三、引導觀察.

1.請你觀察一下這幾個多項式與多項式相乘的乘法式子，兩個因式有什么特點?積有葉么特點？

2.這四個題目與(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab有什么關系?你還能再舉出這樣的幾個例子來嗎？

(引導學生發現：當&=b時，(x+a)(x+b)=x2b2,從而得出平方差公式.)

3.觀察這個公式，你能說出它左邊的特征嗎?右邊呢？

4.你能用圖形來驗證它的正確性嗎？

(。硼。-磅=I-M

=―

5.你能用語言敘述這個公式嗎？

(a+b)(a—b)=a2—b".

這就是說，兩數和與這兩數差的枳，等于這兩數的平力差.

四、舉例及應用.

例1計算：

(1)(a+3)(a-3)；(2)(2a+3b)(2a-3b)；

(3)(l+2c)(l-2c).(4)(-2x-y)(2x-y).

解:(1)(a+3)(a-3)=a2-32=a2-9.

(2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2.

(3)(l+2c)(l-2c)=12-(2c)2=l-4c2.

(4)(—2x—y)(2x—y)=(—y—2x)(—y+2x)=(—y)2-(2x)2=y—4x.

例2.利用平方差公式計算：

(1)(5+6x)(5-6x)(2)(3m-2n)(3m+2n)

(-^-x-y)(-^x+y)

(3)(-4x+l)(-4x-l)(4)44

(5)(ab+8)(ab-8)(6)(m+n)(m-n)+3n:

解：⑴原式=5?-(6x)'=25-36x2(2)原式=(3m)(2n)2=9卡-4112

/(-1-x4Y-y-、=—1x2--y

(3)原式-(-4x)2-12_i6x2-l(4)原式-416

(5)原式=①?-82=3%'-64(6)原式=0)2-1?+3n2=m2+2n'

練習p301

例2計算：1998X2002.

分析：這是一個數字計算問題，讓學生分組討論如何利用平方差公式進行計算.

解1998X2002=(2000-2)X(2000+2)=2000--22=4000000-4=3999996.

在本例教學時不能僅僅著眼于應用公式的化簡與計算，要讓學生感受構造數學“模型”的樂趣.

練習.課本第30