第18章《平行四邊形》章節測試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．近年來，隨著我國經濟發展以及對外開放水平的不斷提升，人民幣的國際地位也有較大提高．下列有關世界貨幣符號的圖案中，是中心對稱圖形的是(

)A．

B．

C．

D．

2．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，使點A的對應點D恰好落在邊AB上，點B的對應點為E，連接BE．下列結論一定正確的是（

）A．AC=AD B．AB⊥EB C．BA∥EC 3．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AD，點E、點G分別是OC、AB的中點，連接BE、GE，若∠ABE=42°，則∠AEG的度數為（

）A．42° B．45° C．46° D．48°4．如圖，在?ABCD中，E和F分別是邊CD和AB上的點，AE∥CF，連接BE和DF，已知，AF=2BF，四邊形BFDE的面積是3，則四邊形AFCE的面積是（

A．4.5 B．5 C．6 D．6.55．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A、C的坐標分別為0,3、3,0，∠ACB=90°,AC=2BC，過B作x軸垂線交x軸于點M，作y軸垂線交y軸于點N，則矩形

A．274 B．9 C．278 6．如圖，在平面直角坐標系中，O是菱形ABCD的對角線BD的中點，AD∥x軸且AD=8，∠A=60°，點C的坐標是(

)A．43,4 B．43,?4 C．7．如圖，正方形ABCD的邊長為1，E為AD邊上一點（與點A、D不重合），連接CE，交BD于點F．當△DEF是等腰三角形時，則AEA．12B．23C．2?18．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，BE平分∠ABC，交AD于E，CF⊥BE交BE于點N，交AD于點F，作MN∥CD交AD于點M，則MN=（

）

A．12 B．23 C．1 9．在正方形ABCD中，點E、F在對角線AC上，AC=18，若點E、F是AC的三等分點，點P在正方形ABCD的邊上從點A開始按逆時針方向運動一周，直至返回點A，則此過程中滿足PE+PF為整數的點P個數為（

）

A．38 B．36 C．20 D．2210．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD=2AD，E，F，G是OC，OD，AB的中點．下列結論：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四邊形A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．在?ABCD中，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F．若點F為DC的中點，DG⊥AE于G，且DG=1，AB=4，則AE的長為．12．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=6，點P是邊BC上的動點，現將紙片折疊，使點A與點P重合，折痕與矩形邊的交點分別為E，F，要使折痕始終與邊AB,AD有交點，則BP的取值范圍是．13．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于12BF長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF．AE，BF相交于點O，若四邊形ABEF的周長為40，BF=10，∠ABC=14．如圖，在Rt△ABC中，，∠ACB=90°，AC=8，BC=15，將△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F，則△ACF與△BDF的周長之和為

15．如圖，在?ABCD中，E、F在AD,BC邊上，DE=2BF，連接BE交AC于G．∠AGB=2∠CAF，若BE=5，AF=4，則線段AC的長為

16．如圖，正方形ABCD面積為1，延長DA至點G，使得AG=AD，以DG為邊在正方形另一側作菱形DGFE，其中∠EFG=45°，依次延長AB,BC,CD類似以上操作再作三個形狀大小都相同的菱形，形成風車狀圖形，依次連結點F,H,M,N,則四邊形FHMN的面積為三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，網格中每一個小正方形的邊長為1個單位長度；已知△ABC．(1)作出△ABC以O為旋轉中心，順時針旋轉90°的△A(2)作出△ABC關于原點O成中對心稱的△A(3)請在y軸上找一點P，使PB1+P18．（6分）如圖，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．(1)求證：BO=DO；(2)若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AD的長．19．（8分）如圖所示，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點E，F，連接CE，AF

(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若AB=4，CF=5，求AC的長．20．（8分）如圖，把矩形ABCD繞點C旋轉，得到矩形FECG，且點E落在AD邊上，連接BE，BG，BG交CE于點H．

(1)求證：①BE平分∠AEC；②H是BG的中點；(2)連接FH，若FH平分∠EFG，CH=2，求AE的長．21．（8分）如圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，四邊形ABCD為平行四邊形，點A、B均為格點.只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作圖：(1)在圖①中，點C、D、M為格點，在邊CD上找一點N，連結MN，使得MN∥(2)在圖②中，點C、D為格點，點M為邊AB上任意一點，連結MD，在MD上找一點N，使得MN=DN.（保留作圖痕跡）(3)在圖③中，點C、D為為網格線上的點，點M為邊AB上任意一點連結MD，在邊CD上找一點N，連結MN，使得MN∥22．（8分）綜合與實踐：操作發現：如圖1，在△ABC紙片中，∠BAC=45°，AD⊥BC于點第一步：將一張與其全等的紙片，沿AD剪開；第二步：在同一平面內，將所得的兩個三角形，和△ABC拼在一起．如圖2所示，這兩個三角形分別記為△ABE和△ACF；第三步：分別延長EB和FC相交于點G．

（1）求證：四邊形AEGF是正方形；拓廣探索：（2）如圖3，連接EF分別交AB，AC于點M,N，在四邊形AEGF外作△AFH，使得AH=AM，FH=EM，判斷線段MN，NF，FH之間的數量關系，并說明理由．

23．（8分）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．根據以上定義，解決下列問題：(1)如圖1，以菱形ABCD的一邊CD為邊向外作正方形CDEF，M、N分別是菱形和正方形的對角線交點，連接MN．

求證：四邊形DMCN是“直等補”四邊形．②若MN=2，求四邊形DMCN(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，其中AB=BC=5，CD>AB，過點B作BE⊥CD于點E且BE=4，連接BD，若點P是線段BD上的動點，請你直接寫出△PEC

參考答案選擇題1．C【分析】在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，據此對各選項的圖形加以判斷即可．【詳解】解：A、該圖形不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、該圖形不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、該圖形是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、該圖形不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：C．2．D【分析】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，由旋轉的性質可得CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，∠A=∠EDC，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得分別表示出∠A和∠BEC，即可作出判斷．靈活運用旋轉的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，∴CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，∠A=∠EDC，∴∠EDC=∠A=∠ADC，∠EBC=∠BEC，∴∠EDC=∠A=180°?∠ACD2，∴∠EDC=∠BEC，故選：D．3．D【分析】本題主要考查了平行四邊形性質、等腰三角形的三線合一、直角三角形斜邊上的中線等知識點，熟悉這些知識點是解題的關鍵，由平行四邊形的性質和已知條件可以得到△BCO是等腰三角形，再根據三線合一得到BE⊥OC，最后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AG=EG，進而得到∠AEG=∠EAG=90°?∠ABE=48°．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形；∴BC=AD，BD=2BO；∵BD=2AD；∴BD=2BC=2BO；∴BC=BO；∴△BCO是等腰三角形；∵點E是OC的中點；∴BE⊥OC；∴△BEA是直角三角形；∵點G是AB的中點；∴EG=12AB∴AG=EG；∴∠AEG=∠EAG；∵∠ABE=42°；∴∠AEG=∠EAG=90°?∠ABE=90°?42°=48°；故選：D．4．C【分析】先證明四邊形AFCE是平行四邊形，得AF=CE，即可推導出BF=DE，則四邊形BFDE是平行四邊形，設AB與CD之間的距離為h，BF·?=3，由AF=2BF，得S四邊形【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵AE∥∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AF=CE，∴AB?AF=CD?CE，∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四邊形BFDE是平行四邊形，設AB與CD之間的距離為h，∵四邊形BFDE的面積是3，∴BF·?=3，∵AF=2BF，∴S四邊形故選：C．5．A【分析】設Bm,n，根據∠ACB=90°【詳解】設Bm,n∵A、C的坐標分別為0,3、3,0，∴OA=OC=3，BM=ON=n，CM=m?3，BN=m，AN=OA?ON=3?n，∴AC2=AAB∵∠ACB=90∴AB2∴m2整理m2+3?n把m=n+3代入18=4n2+∵n>0，∴n=3∴m=n+3=9∴矩形OMBN的面積為mn=9故選：A．6．D【分析】根據題意得出△ABD是等邊三角形，則BD=AD=8，根據含30度角的直角三角形的性質，勾股定理求得DE,OE，進而得出A點的坐標，根據中心對稱的性質即可求解．【詳解】解：如圖所示，設AD與y軸交于點E，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵AD=8，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，則BD=AD=8，∵O是菱形ABCD的對角線BD的中點，∴OD=∵AD∥x軸，則∠DEO=90°，∴∠EOD=30°∴DE=12OD=2∴A∵A,C關于O對稱，∴C6,?2故選：D．7．D【分析】當△DEF是等腰三角形時，存在兩種情況：①如圖1，當DE=FD時，先計算BD的長，證明BF=BC=1，可利DF的長，由線段的差可得AE的長；②當EF=DF時，E與A重合，此種情況不符合題意．【詳解】解：①如圖1，當DE=FD時，∴∠∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=1，∠BCD=90°，∴∠∵∠∴∠∴BF=BC=1，由勾股定理得：BD=1∴DF=2∴AE=AD?DE=AD?DF=1?（2②當EF=DF時，E與A重合，此種情況不符合題意．綜上，AE的長是2?2故選：D．8．D【分析】由平行四邊形的性質以及三角形內角和的性質可得AE=AB，DF=DC，求得EF=3，再根據MN∥CD，得到【詳解】解：平行四邊形ABCD中，AD∥BC∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE∵AD∴∠CBE=∠AEB，∠DFC=∠BCN∴∠AEB=∠ABE∴AE=AB=6∵CF⊥BE∴∠BNC=90°∴∠NBC+∠NCB=90°∵AB∴∠ABC+∠DCB=180°，即∠ABE+∠NBC+∠NCB+∠DCN=180°∴∠ABN+∠DCF=90°，即∠NBC+∠DCN=90°∴∠DCN=∠BCN，∴∠DCN=∠DFC∴DF=DC=6∵AE=6∴AF=DE∴EF=AE+DF?AD=3，∵MN∥CD∴MN∴∠MNE=∠ABE∴∠MNE=∠MEN∴MN=ME∵∠ENF=90°∴∠MEN+∠EFN=∠MNE+∠MNF=90°∴MN=MF=ME=故選：D9．A【分析】先求出點P在邊AB上的個數，再根據正方形的對稱性，即可得解．【詳解】解：∵正方形ABCD中，AC=18，點E、F是AC的三等分點，∴AE=EF=CF=6，∠BAC=45°，當點P與點A重合時，PE+PF=6+12=18，滿足題意；當P在AB上時，作點E關于AB的對稱點E′

則：PE+PF=PE∴當點E′,P,F三點共線時，∵點E關于AB的對稱點E′∴AE∴∠E∴∠E∴E′當點P與點B重合時，連接BD交AC于點O，

則：OB=OA=9,OE=OA?AE=3，∴PE=BE=9同理：PF=310∴PE+PF=610∴點P在AB上運動時，65∴當點P在AB上運動時，滿足題意的點有10個（包括A點），由對稱性可知，在正方形的四邊上符合題意的點有：4×9+2=38個．故選：A．10．C【分析】設GF和AC的交點為點P，根據三角形中位線定理可得EF∥CD，且EF=12CD，然后根據平行四邊形的性質可得EF∥AB，可證得△EFG≌△GBESAS，故②正確；再證明△AGP≌△EFP，可得PE垂直平分GF，從而得到EG=EF，故①正確；再根據等腰三角形的性質，可得【詳解】解：設GF和AC的交點為點P，如圖，∵E、F分別是OC，OD的中點，∴EF∥CD，且EF=1∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴EF∥AB，∴∠FEG=∠BGE，∵點G為AB的中點，∴BG=1在△EFG和△GBE中，BG=FE∠FEG=BGE∴△EFG≌∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE，∵BD=2AD，AD=BC，∴BD=2BC，點O為平行四邊形對角線交點，∴BO=1∵AG=BG，BG=EF，∴AG=EF，∵AB∥EF，∴∠PAG=∠PEF，∠AGP=∠EFP，∴△AGP≌∴AP=PE，PG=PF，∵E為OC中點，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴PE垂直平分GF，∴EG=EF，故①正確；∴AE平分∠GEF，故④正確；∵EF∥BG，GF∥BE，∴四邊形BGFE為平行四邊形，而無法得到四邊形BGFE為菱形，故③錯誤；故選：C．二．填空題11．4【分析】根據平行四邊形的性質和角平分線的定義，證明△ADF是等腰三角形，進而得到AD=2，根據等腰三角形三線合一的性質，利用勾股定理，求出AG=3，進而得到AF=23，再證明△ADF≌△ECFAAS，得到EF=2【詳解】解：∵?ABCD，AB=4∴AB=CD=4，AB∥CD，∵F為DC的中點，∴DF=CF=1∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∵AB∥∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴△ADF是等腰三角形，∴AD=DF=2，∵DG⊥AE，∴AG=FG=1∵DG=1，∴在Rt△ADG中，AG=∴AF=23∵AD∥∴∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，∠DAF=∠E∠AFD=∠EFC∴△ADF≌△ECFAAS∴EF=AF=23∴AE=AF++EF=43故答案為：4312．6?2【分析】此題主要考查了矩形的翻折變換，勾股定理，運用極端原理求解：①BP最小時，F、D重合，由折疊的性質知：AF=PF，在Rt△PFC中，利用勾股定理可求得PC的長，進而可求得BP的值，即BP的最小值；②BP最大時，E、B重合，根據折疊的性質即可得到AB=BP=4，即BP的最大值為4；根據上述兩種情況即可得到BP【詳解】解：如圖：

①當F、D重合時，BP的值最小；根據折疊的性質知：AF=PF=AD=6；在Rt△PFC中，PF=6,FC=AB=4，則PC=∴BP=x②當E、B重合時，BP的值最大；根據折疊的性質即可得到AB=BP=4，即BP的最大值為4；故答案為：6?2513．120°【分析】由角平分線的作法得AE平分∠FAB，據角平分線的定義、等腰三角形判定、平行四邊形的性質及判定證得四邊形ABEF為平行四邊形；再據AF=AB最終證得四邊形ABEF為菱形，結合其周長為40從而得到AB=AF=10；最后據BF=10得到△ABF是等邊三角形，從而得到∠ABF=60°，再據∠ABC=2∠ABF算得∠【詳解】解：由題意得，AB=AF，AE平分∠FAB，∴∠FAE=∠BAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC．∴∠FAE=∠BEA，∴∠BEA=∠BAE，∴AB=BE，∵AB=AF，∴BE=AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形．又∵AB=AF，∴四邊形ABEF為菱形，∵四邊形ABEF的周長為40，∴AB=AF=10．∵BF=10，∴AB=BF=AF∴△ABF是等邊三角形，∴∠ABF=60∴∠ABC=2∠ABF=120故答案為：120°．14．55【分析】根據將△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，可得△BDE≌△ABC，∠CBD=60°，BD=BC=15，從而得到△BCD為等邊三角形，得到CD=BC=CD=15，在Rt△ABC中，利用勾股定理得到AB=17，所以△ACF與△BDF的周長之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD【詳解】∵△ABC繞點B順時針旋轉60°，得到△BDE，∴△BDE≌△ABC，∠CBD=60°，∴BD=BC=15，∴△BCD為等邊三角形，∴CD=BC=CD=15，∵AB=A∴△ACF與△BDF的周長之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=8+15+15+17=55，故答案為：55．15．39【分析】取DE的中點P，連接PF、PC，過點C作CQ∥BE交AF的延長線于點Q，作QR⊥AC于點R，在AR上截取RH=CR，連接QH、FH，證明四邊形BEPF、APCF、FPCQ都是平行四邊形，得到AF=QF=4，HQ=CQ=5，利用面積法求得【詳解】解：取DE的中點P，連接PF、PC，過點C作CQ∥BE交AF的延長線于點

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴EP∥∵DE=2BF，∴EP=BF，∴四邊形BEPF是平行四邊形，∴PF=BE=5，PF∥∵DP=BF，∴AP=CF，∴四邊形APCF是平行四邊形，∴PC=AF=4，CP∥∵CQ∥BE，∴PF∥∴四邊形FPCQ是平行四邊形，∴PC=QF=4，PF=CQ=5，作QR⊥AC于點R，在AR上截取RH=CR，連接QH、FH，∴HQ=CQ=5，∴∠AGB=∠AOF=∠ACQ=∠QHC，∵∠AGB=2∠CAF，∴∠QHC=2∠CAF，∵∠QHC=∠CAF+∠HQA，∴∠HQA=∠CAF，∴AH=HQ=CQ=5，∵AF=QF=4，∴FH⊥AQ，∴FH=Q∵S△AHQ=1∴QR=24∴HR=CR=C∴AC=AH+2CR=39故答案為：39516．13+8【分析】如圖所示，延長CD交FN于點P，過N作NK⊥CD于點K，延長FE交CD于點Q，交NS于點R，首先利用正方形性質結合題意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后進一步根據菱形性質得出DE=EF=DG=2，再后通過證明四邊形NKQR是矩形得出QR=NK=2，進一步可得FN【詳解】如圖所示，延長CD交FN于點P，過N作NK⊥CD于點K，延長FE交CD于點Q，交NS于點R，∵ABCD為正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面積為1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四邊形DEFG為菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴DQ=EQ=TK=NK=2，FQ=FE+EQ=2+2∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四邊形NKQR是矩形，∴QR=NK=2，∴FR=FQ+QR=2+22，NR=KQ=DK?DQ=2∴FN再延長NS交ML于點Z，易證得：△NMZ?△FNR(SAS)，∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四邊形FHMN為正方形，∴正方形FHMN的面積=FN故答案為：13+82三．解答題17．（1）解：如圖，△A（2）如圖，△A（3）如圖，點P即為所求，點P的坐標0,3．18．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠OBE=∠ODF，在△OBE和△ODF中，∠OBE=∠ODF∠BOE=∠DOF∴△OBE≌△ODFAAS∴BO=DO．（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠DBA=∠A=45°，∴AD=DB，∴EF⊥AB，∵∠G=∠A=45°，∵EF⊥AB，DC∥AB，∴DF⊥OG，∴∠GDF=∠G=45°，∴△GDF為等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG=D∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠GDO=90°，∴∠GOD=∠G=45°，∴DO=DG=2由（1）△OBE≌△ODF，∴OB=OD=2∴DB=OD+OB=2∴AD=DB=2219．（1）證明：∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，∠EAO=∠FCOAO=CO∴△AEO≌△CFO(ASA∴OE=OF.又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；（2）∵四邊形AECF是菱形，∴AF=FC．∵AB=4，CF=5，在Rt△ABF中，BF=∴BC=BF+FC=3+5=8，在Rt△ABC中，AC=20．（1）①證明：如圖，

由旋轉性質得EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠AEB=∠CBE，∴∠AEB=∠CEB，∴BE平分∠AEC；②如圖，過點B作BP⊥CE于點P，

由①可知∠AEB=∠CEB，又∵∠A=∠BPE，且BE=BE，∴△AEB≌△PEBAAS∴BP=BA，∵BA=DC=GC，∴BP=GC，又∵∠BHP=∠GHC，∠BPH=∠GCH=90°，∴△BPH≌△GCHAAS∴BH=HG，∴點H為BG中點；（2）解：如圖，作BP⊥CE于點P，

由(1)可知△AEB≌△PEB，△BPH≌△GCH，∴AE=PE，PH=CH=2，∵∠EFG=∠FEH=90°，FH平分∠EFG，∴∠EFH=∴∠EHF=45°=∠EFH，∴EF=EH=BA=DC，設AE=PE=x，則EC=x+4，EH=x+2，∴BC=EC=AD=x+4，EF=EH=BA=DC＝∴ED=AD?AE=4，∵∠ED