第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《垂徑定理的實際應用》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖1，平底燒瓶是實驗室中使用的一種燒瓶類玻璃器皿，主要用來盛液體物質，它的截面圖可以近似看作是由去掉兩個弓形后與矩形組合而成的圖形，其中，若的半徑為，，，，求該平底燒瓶的高度．2．如圖1，某公園有一個圓形音樂噴泉，為了保障游客安全，管理部門打算在噴泉周圍設置一圈防護欄現在對噴泉進行測量和規劃，其示意圖如圖2所示，相關信息如下：信息二：點O為噴泉中心，是噴泉邊緣的一條弦，米，D是弦的中點，連接并延長，交劣弧于點C，米．信息二：已知防護欄要距離噴泉邊緣1米，以O為圓心，R為半徑作防護欄所在圓．請根據以上信息解答下列問題(1)求噴泉的半徑；(2)要在防護欄上每隔1.5米安裝一盞景觀燈，大約需要安裝多少盞景觀燈？（取3.14，結果保留整數）3．某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖，是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)請找出截面的圓心O．（尺規作圖不寫畫法，保留作圖痕跡．）(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深的地方為，求這個圓形截面的半徑．4．“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應用，例如古典園林中的門洞．如圖1，其數學模型為如圖2所示．園林中的一個圓弧形門洞的地面跨徑米，為圓上一點，于點，且米，則門洞的半徑是多少？5．圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結構類型，它不僅力學性能好，而且構造簡單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為1.2m的圓，如圖所示，若水面寬．，求水的最大深度（精確到0.1，）．6．如圖，是一個半圓形橋洞的截面示意圖，圓心為O，直徑是河底截線，弦是水位線，于點．

(1)當測得水面寬時，求此時水位的高度；(2)當水位的高度比（1）上升1m時，有一艘寬為10m，船艙頂部高出水面2m的貨船要經過橋洞（船艙截面為矩形），請通過計算判斷該貨船能否順利通過橋洞？7．日晷是我國古代使用的一種計時儀器，某日晷底座的正面與晷面在同一平面上．如圖，表示日晷的晷面圓周，日晷底座的底邊在水平線l上，為等邊三角形，，與分別交于P，Q兩點．點C，D是上兩點，，過O作于點E，交于點F，交于點M．已知，，．(1)求的半徑；(2)求圖中陰影部分的面積．8．如圖，某公路上有一隧道，頂部是圓弧形拱頂，圓心為O，隧道的水平寬為，離地面的高度，拱頂最高處C離地面的高度為．若在拱頂的M，N處安裝照明燈，且M，N離地面的高度相等，都為．(1)求圓弧形拱頂的半徑的長度；(2)求的長度．9．某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離，稱跨度，橋面最高點到的距離稱拱高，當L和h確定時，有兩種設計方案可供選擇：①拋物線型；②圓弧型．已知這座橋的跨度米，拱高米．(1)如果設計成拋物線型，如圖1，以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸建立坐標系，求橋拱的函數解析式；(2)如果設計成圓弧型，如圖2，求該圓弧所在圓的半徑；(3)有一艘寬為12米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面米，在兩種方案下，此貨船能否順利通過該橋？并說明理由．10．如圖1，圓形拱門是中國古典園林建筑元素之一，圓形拱門有著圓滿、完美的美好寓意、(1)在圖2中作出拱門中圓弧的圓心（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)已知拱門高（優弧中點到的距離），，，求拱門的圓弧半徑．11．如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以為直徑的半圓，若，為水面截線，，為桌面截線，．(1)請在圖1中畫出線段，用其長度表示水面的最大高度（不要求尺規作圖，不說理由），并直接寫出的長；(2)將圖中的水倒出一部分得到圖2，發現水面高度下降了，求此時水面截線減少了多少．12．問題情境：如圖(1)，筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理：假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時．問題設置：把筒車抽象為一個半徑為r的．如圖(2)，筒車涉水寬度，筒車涉水深度(劣弧中點到水面的距離)是．筒車開始工作時，上C處的某盛水筒到水面的距離是，經過后該盛水筒旋轉到點D處．問題解決：(1)求該筒車半徑r的大小；(2)當盛水筒旋轉至D處時，求它到水面的距離．13．如圖，一圓弧形橋拱的圓心為E，拱橋的水面跨度米，橋拱到水面的最大高度DF為20米．求：(1)橋拱的半徑；(2)現水面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度．14．如圖，在氣象站臺A的正西方向的B處有一臺風中心，該臺風中心以每小時的速度沿北偏東的方向移動，在距離臺風中心內的地方都要受到其影響．(1)臺風中心在移動過程中，與氣象臺A的最短距離是多少？(2)臺風中心在移動過程中，氣象臺將受臺風的影響，求臺風影響氣象臺多長時間？15．如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以為直徑的半圓O，，為水面截線，，為桌面截線，．(1)作于點C，求的長；(2)將圖1中的水倒出一部分得到圖2，發現水面高度下降了，求此時水面截線減少了多少？參考答案1．該燒瓶的高度為．【分析】本題考查的是垂徑定理的應用．連接，，過點作，交于點，交于點，由垂徑定理得出，的長，再根據勾股定理得出，的長，進而可得出結論．【詳解】解：如圖，連接，，過點作，交于點，交于點，，，平分，，，，，，的半徑為，，在和中，，由勾股定理得，，該燒瓶的高度為．2．(1)噴泉的半徑為5米(2)大約需要安裝25盞景觀燈【分析】本題考查垂徑定理，求圓的周長，熟練掌握垂徑定理，是解題的關鍵：（1）連接，設噴泉的半徑為，根據垂徑定理和勾股定理進行求解即可；（2）根據噴泉的半徑求出防護欄的半徑，進而求出防護欄的周長，進行求解即可．【詳解】（1）解：連接，設噴泉的半徑為，則：，∴，∵D是弦的中點，∴平分弦，，∴，∴，∴，∴米；答：噴泉的半徑為5米；（2）解：由題意，得：米，（盞）；答：大約需要安裝25盞景觀燈．3．(1)見解析；(2)這個圓形截面的半徑【分析】此題考查了作圖-應用與設計作圖，垂徑定理的應用和勾股定理．（1）任取一條弦，分別作，的垂直平分線交點即為圓心，根據尺規作圖的步驟和方法做出圖即可；（2）連接，交于點E，交弧于點D，利用垂徑定理求出，設半徑為，則，再根據勾股定理列方程計算即可．【詳解】（1）解：如圖，點O即為所求，（2）解：如圖，連接，交于點E，交弧于點D，∴，由題意得，，設半徑為，則，在中，，∴，解得，∴這個圓形截面的半徑．4．門洞的半徑長為米【分析】過作于，過作于，由垂徑定理得米，再證四邊形是矩形，則米，米，設該圓的半徑長為米，然后由題意列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：過作于，過作于，如圖所示：則米，，，，四邊形是矩形，米，米，設該圓的半徑長為米，根據題意得，，，，，，，，，解得，，解得，即門洞的半徑長為米．【點睛】本題考查了垂徑定理的應用、勾股定理的應用，矩形的判定和性質，方程組的應用，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關鍵．5．水的最大深度為【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵．過點作于點，連接，根據垂徑定理可得，在中，根據勾股定理解得的值，繼而獲得答案．【詳解】如圖，過點作于點，連接，，，，，直徑為，，在中，根據勾股定理，可得，，水的最大深度為．6．(1)此時水位的高度為(2)該貨船能順利通過橋洞，見解析【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，作出合適的輔助線，牢記特殊角三角函數值是解題的關鍵．（1）根據垂徑定理可得，求出橋洞的半徑，然后利用勾股定理計算即可；（2）由（1）中水位高度為可知此時，延長交于F，連接，則，可得，貨船居中行駛時，利用勾股定理求出，然后與橋洞的半徑比較后可得結論．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，∴此時水位的高度；（2）解：該貨船能順利通過橋洞；理由：由（1）中水位高度為可知此時，延長交于F，連接，則，

∵貨船寬為，船艙頂部高出水面，∴，貨船居中行駛時，∴，∴該貨船能順利通過橋洞．7．(1)(2)【分析】本題考查垂徑定理的實際應用，與圓有關的陰影部分面積；（1）連接，先證明，再由垂徑定理得到，然后設的半徑，在中，利用勾股定理得到，列方程計算即可；（2）由，求出等邊三角形的邊長，再分別求出，，最后根據計算即可．【詳解】（1）解∶∵，，∴，∴，，，如圖，連接，設的半徑，∵，∴，在中，，∴，解得，即的半徑為；（2）解∶∵為等邊三角形，∴，∵，∴，，∵，∴，在中，，∴，解得（負值舍去），，，．8．(1)13m(2)10m【分析】本題考查了垂徑定理的應用：（1）設與交于G，與交于H，根據題意和垂徑定理可得，，，利用勾股定理求半徑即可；（2）利用勾股定理求得，即可求解．【詳解】（1）解：設與交于G，與交于H．，，，，，，，設圓拱的半徑為r，在中，，，解得，圓弧形拱頂的半徑的長度為；（2）解：，，在中，，，解得，，．9．(1)(2)該圓弧所在圓的半徑10米(3)①在拋物線型上時，貨船不能順利通過該橋；②在圓弧型時，貨船能順利通過該橋；見解析【分析】本題主要考查二次函數的性質和垂徑定理的應用以及勾股定理，根據題意得，和，結合點A和點B設拋物線的解析式為，代入點C即可求得a；設圓心為O，連接交于E點，連接，可得圓心距和半徑之間關系，利用勾股定理即可求得半徑；當在拋物線型上時，當時，，由于，則判斷貨船不能順利通過該橋；當在圓弧型時，設米，過點G作交弧于點F，過點O作交于H點，連接，利用勾股定理求得，即可求得船頂距圓弧的距離，由于，則判斷貨船能順利通過該橋．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，設拋物線的解析式為，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）設圓心為O，連接交于E點，連接，如圖，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，解得，則該圓弧所在圓的半徑10米；（3）①在拋物線型上時，當時，，∵，∴貨船不能順利通過該橋；②在圓弧型時，設米，過點G作交弧于點F，過點O作交于H點，連接，如上圖，則，在中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴貨船能順利通過該橋．10．(1)見解析(2)【分析】本題考查了垂徑定理，矩形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質及勾股定理是解題的關鍵，（1）在拱門上找任意一點，分別與相連，并做垂直平分線，利用垂徑定理可確定圓心的位置；（2）先證四邊形是矩形，設，再根據勾股定理求得的值，即可得到拱門的圓弧半徑．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求，（2）解：連接，如圖所示：∵，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是矩形，過點作于，交優弧于點，交于，則，，，設，則，，在中，，∴，，解得，∴拱門的圓弧半徑為．11．(1)圖見解析，(2)【分析】本題考查了垂徑定理的應用，熟練掌握垂徑定理的內容和正確作出輔助線是解題的關鍵．（1）由題意作出圖形，由垂徑定理和勾股定理即可得出答案；（2）作出垂徑，由垂徑定理和勾股定理可得出弦長，根據題意即可得出答案．【詳解】（1）解：，如圖，連接，為圓心，，，，，，在中，，，的長為；（2）過作，連接，由題得，，在中，，，，水面截線減少了．12．(1)(2)【分析】本題主要考查圓的性質以及解直角三角形的應用，熟練掌握圓的性質是解題的關鍵．（1）連接，過點作，垂足為，與劣弧交于點，設半徑為，得到，根據垂徑定理可得，根據勾股定理得出答案．（2）過點作，過點作，根據題意得到，由勾股定理得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，過點作，垂足為，與劣弧交于點，設半徑為，即，由題意得，，由根據垂徑定理可得，在中，，即，解得．（2）解：過點作，過點作，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時，每秒旋轉，由于經過后該盛水筒旋轉到點D處，，上C處的某盛水筒到水面的距離是，，，，，，，，為等腰直角三角形，，在中，，，．13．(1)橋拱的半徑為50米；(2)水面上漲的高度為10米．【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的運用．（1）根據垂徑定理和勾股定理求解；（2）如圖2，由垂徑定理求出，由勾股定理求出，得出即可．【詳解】（1）解：如圖1，設圓的半徑是r，則由垂徑定理知，于F，點F是的中點，∴，，由勾股定理知，，則：，解得：；即橋拱的半徑為50米；（2）解：設水面上漲后水面跨度為60米，交于H，連接，如圖2所示，則米，∴（米），∵（米），∴（米）；答：水面上漲的高度為10米．14．(1)(2)5小時【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．（1）臺風中心在一條直線上運動，臺風中心在移動過程中，與氣家臺A的最短距離即點A到直線的最短距離，求解即可得到答案;（2）作以A為圓心，為半徑的圓與直線相交于C，D兩點，那么線段就是A受臺風的影響的路程，求出臺風中心所在直線上與圓A的相交弦長，弦長除以速度即可得到臺風影響氣象臺的時間．【詳解】（1）如圖，過A作于E，由題意知，，又∵，故，故臺風中心在移動過程中，與氣象臺A的最短距離是120km．（2）作以A為圓心，130km為半徑的圓與直線相交于C，D兩點，那么線段就是A受臺風的影響的路程，連接，則，由勾股定理得：，由垂經定理得：，故km，（小時）．答：臺風影響氣象臺的時間會持續5小時