熱點(diǎn)一新定義問(wèn)題——中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)考點(diǎn)訓(xùn)練熱點(diǎn)趨勢(shì)解讀新定義問(wèn)題是已學(xué)過(guò)的知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)類比、引申、拓展等方式引入新的數(shù)學(xué)概念或新的數(shù)學(xué)運(yùn)算，這類問(wèn)題旨在讓學(xué)生將這些“新知識(shí)”與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，正確理解其內(nèi)容、思想和方法，把握其本質(zhì)，通過(guò)類比、猜想、遷移來(lái)應(yīng)用“新知識(shí)”解決問(wèn)題.新定義問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，旨在培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力與主動(dòng)探究能力.此類問(wèn)題要求學(xué)生能夠現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用、理解新知，不僅考查學(xué)生的閱讀理解能力，而且多角度地考查學(xué)生的應(yīng)變能力.1.定義關(guān)于任意正整數(shù)m,n的一種新運(yùn)算：.例如,規(guī)定,則,.若規(guī)定,則()A. B. C. D.2.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b,定義一種新運(yùn)算“”為：,這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算.例如：.則方程的解是()A. B. C. D.3.如果一個(gè)數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含1，不含它本身）的和，那么這個(gè)數(shù)稱為完美數(shù).例如：6的真因數(shù)是1，2，3，且，則稱6為完美數(shù).下列數(shù)中為完美數(shù)的是()A.8 B.18 C.28 D.324.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)和圖形W在第一象限內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作x軸和y軸的垂線、垂足分別為M,N,若圖形W中的任意一點(diǎn)滿足且.則稱四邊形是圖形W的一個(gè)覆蓋,P為這個(gè)覆蓋的特征點(diǎn).如：如圖,,,,,四邊形是線段的一個(gè)覆蓋,P為這個(gè)覆蓋的特征點(diǎn).若在直線上存在圖中的覆蓋的特征點(diǎn),則m的值可以是()A. B. C. D.5.定義：在平面直角坐標(biāo)系中,將一個(gè)圖形先向上平移個(gè)單位,再繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的變換.如：點(diǎn)按照變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)按照變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.6.在平面直角坐標(biāo)系中,給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn),如果點(diǎn)P到直線的距離等于圖形M上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí),那么點(diǎn)P稱為直線的“伴隨點(diǎn)”.例如：如圖1,已知點(diǎn),,在線段上,則點(diǎn)P是直線軸的“伴隨點(diǎn)”.如圖,x軸上方有一等邊三角形,軸,頂點(diǎn)A在y軸上且在上方,,點(diǎn)P是上一點(diǎn),且點(diǎn)P是直線軸的“伴隨點(diǎn)”,當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最小時(shí),則等邊三角形的邊長(zhǎng)為()A.3 B.2 C.4 D.7.在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù),則稱點(diǎn)P為“美麗點(diǎn)”.例如點(diǎn),,,,都是“美麗點(diǎn)”.已知二次函數(shù)的圖象上只有三個(gè)“美麗點(diǎn)”,其中一個(gè)“美麗點(diǎn)”是,當(dāng)時(shí),函數(shù),的最小值為,最大值為2,求m的取值范圍為()A. B. C. D.8.定義：若點(diǎn)C把線段分成兩部分,且滿足較長(zhǎng)線段是較短線段的倍,則稱點(diǎn)C為線段的青銅分割點(diǎn).已知點(diǎn)C是線段的青銅分割點(diǎn),且,則______.9.萊洛三角形廣泛應(yīng)用于建筑,工業(yè),包裝等方面,某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了萊洛三角形的知識(shí)后獲得靈感,設(shè)計(jì)了如圖2的美麗圖形,愛(ài)思考的小聰提出以下問(wèn)題：如圖3,正五邊形的邊長(zhǎng)為5,分別以A和E為圓心,5為半徑作和交于點(diǎn)P,此時(shí)陰影部分的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.10.對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)M,若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6,百位數(shù)字比十位數(shù)字多2,則稱M為“天真數(shù)”.如：四位數(shù)7311,∵,,∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421,∵,∴8421不是“天真數(shù)”,則最小的“天真數(shù)”為_(kāi)_____；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a,百位數(shù)字為b,十位數(shù)字為c,個(gè)位數(shù)字為d,記,,若能被10整除,則滿足條件的M的最大值為_(kāi)_____.11.如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍,那么稱這樣的方程為“三倍根方程”.例如,方程的兩個(gè)根是1和3,則這個(gè)方程就是“三倍根方程”.(1)下列方程是三倍根方程的是___________；①②③(2)若關(guān)于x的方程是“三倍根方程”,則c=___________；(3)若是關(guān)于x的“三倍根方程”,求代數(shù)式的值.12.對(duì)于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)p,當(dāng)其自變量的值為p時(shí),其函數(shù)值等于p,則稱p為這個(gè)函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時(shí),該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個(gè)函數(shù)的不變長(zhǎng)度.特別地,當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)不變值時(shí),其不變長(zhǎng)度q為零.例如,如圖中的函數(shù)有0,1兩個(gè)不變值,其不變長(zhǎng)度q等于1.(1)分別判斷函數(shù),,有沒(méi)有不變值？如果有,直接寫出其不變長(zhǎng)度；(2)函數(shù).①若其不變長(zhǎng)度為零,求b的值；②若,求其不變長(zhǎng)度q的取值范圍.13.新定義：在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任意兩點(diǎn),,若點(diǎn),滿足,,那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)A,B的“合作點(diǎn)”,例如：,,當(dāng)點(diǎn)滿足,時(shí),則點(diǎn)是點(diǎn)A,B的“合作點(diǎn)”.(1)已知點(diǎn),,點(diǎn)T是點(diǎn)A,B的“合作點(diǎn)”,求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)是點(diǎn)A,B的“合作點(diǎn)”,試求出T中y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(3)把(2)中y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式向上平移3個(gè)單位得到新函數(shù),設(shè)新函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系中的y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是新函數(shù)圖像上一動(dòng)點(diǎn),它的橫坐標(biāo)為m.過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M都不與點(diǎn)C重合時(shí),以,為邊作矩形,設(shè)矩形的周長(zhǎng)為l.①求l與m的函數(shù)解析式；②若對(duì)于l的每一個(gè)取值,都有兩個(gè)m的值與它對(duì)應(yīng),直接寫出l的取值范圍.

答案以及解析1.答案：D解析：∵由新運(yùn)算,可知,則,∴.故選：D.2.答案：C解析：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：,去分母得：,去括號(hào)得：,移項(xiàng)得：,解得：,經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解,故選：C.3.答案：C解析：8的真因數(shù)是1，2，4，，故8不是完美數(shù)；18的真因數(shù)是1，2，3，6，9，，故18不是完美數(shù)；28的真因數(shù)是1，2，4，7，14，，故28是完美數(shù)；32的真因數(shù)是1，2，4，8，16，，故32不是完美數(shù).故選C.4.答案：A解析：設(shè),當(dāng)P為線段的覆蓋的特征點(diǎn)時(shí),則,解得；當(dāng)P為線段的覆蓋的特征點(diǎn)時(shí),則,解得,綜上所述,當(dāng)時(shí),P為的覆蓋的特征點(diǎn),∴選項(xiàng)A符合題意,故選：A.5.答案：A解析：依題意,點(diǎn)向上平移2個(gè)單位為,如圖所示：∵∴,∵點(diǎn)按照變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo),∴,過(guò)作軸,在中,,則∴的坐標(biāo)為,故選：A.6.答案：B解析：當(dāng)P到x軸的距離最小時(shí),∴點(diǎn)P在線段上,設(shè)的邊長(zhǎng)為a,以C為圓心a為半徑作圓,當(dāng)與x軸相切時(shí),如圖所示,切點(diǎn)為H,此時(shí)點(diǎn)P是直線：x軸的“伴隨點(diǎn)”.且點(diǎn)P到x軸的距離最小,則C的縱坐標(biāo)為a,即,∵是等邊三角形,且軸,設(shè)交于點(diǎn)D,則,∴,∴,∵,∴,解得：或(舍去),∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為2；故選：B.7.答案：C解析：一個(gè)“美麗點(diǎn)”是,,,的圖象上只有三個(gè)“美麗點(diǎn)”,對(duì)應(yīng)的一元二次方程必有一個(gè)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)時(shí),有,,化簡(jiǎn)得：,,此方程無(wú)解,當(dāng)時(shí),有,,化簡(jiǎn)得：,,,,原二次函數(shù)為,,,當(dāng)時(shí),二次函數(shù)有最大值為2,當(dāng)時(shí),,關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線的對(duì)稱點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),函數(shù),的最小值為,最大值為2,的取值范圍為：.故選：C.8.答案：或解析：分兩種情況考慮,①當(dāng)時(shí),>根據(jù)題意設(shè),則,∵∴解得即②當(dāng)時(shí),同理可得.9.答案：解析：連接,,由作圖可得,,∴,∴是等邊三角形,∴,∴,,∴陰影部分的周長(zhǎng)為.故答案為：.10.答案：6200；9313解析：求最小的"天真數(shù)",首先知道最小的自然數(shù)的0,先看它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6,個(gè)位數(shù)為最小的自然數(shù)0時(shí),千位數(shù)為6;百位數(shù)字比十位數(shù)字多2,十位數(shù)為最小的自然數(shù)0時(shí).百位數(shù)是2;則最小的"天真數(shù)"為6200.故答案為:6200.一個(gè)"天真數(shù)"M的千位數(shù)字為a,百位數(shù)字為b,十位數(shù)字為c,個(gè)位數(shù)字為d.由"天真數(shù)"的定義得,所以,,所以,又若能被10整除當(dāng)a取最大值9時(shí),即當(dāng)時(shí),滿足能被10整除,則,"天真數(shù)"M為9313.故答案為:9313.11.答案：(1)③(2)(3)解析：(1)由可得：,,不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：,,不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：,,滿足“三倍根方程”的定義；故答案為③；(2)設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根為,,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：,,令,則有,∴,,∴；(3)由可得：,∴,,令,則有：.12.答案：(1)函數(shù)沒(méi)有不變值；函數(shù)不變值為,；函數(shù)的不變值為1或0,(2)①；②解析：(1)函數(shù),令,則,無(wú)解；函數(shù)沒(méi)有不變值；函數(shù),令,則,解得：,函數(shù)的不變值為,,函數(shù),令,則,解得：,,函數(shù)的不變值為1或0,；(2)(2)①函數(shù),令,則,整理得：,,且,則,解得：；②由①知：,或,解得：,,,,,.13.答案：(1)(2)(3)①；②或解析：(1)設(shè),∵,,點(diǎn)T是點(diǎn)A,B的“合作點(diǎn)”,∴,,∴；(2)∵點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),∴,即,∵點(diǎn)是點(diǎn)A,