第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《圓中相似三角形綜合》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，在中，，是的角平分線，以O為圓心，為半徑作圓O．(1)求證：是圓O的切線；(2)已知交圓O于點E，延長交于點D，，求的值．2．如圖，以為直徑作，弦，連接并延長交圓于點，連接．(1)求證：；(2)若，求的長．3．如圖，為的直徑，點C在圓外，，，點D在的延長線上，連接、，分別交于點E、F．若，．(1)求證：為的切線；(2)連接并延長，交于點M，求的長．4．如圖，在中，，點在上，以為圓心，長為半徑的圓與相切于點，與，分別相交于點，．(1)求證：平分；(2)若，，求的半徑及的長．5．如圖，點A，，是半徑為6的上三個點，的平分線交圓于點，過點作的垂線交的延長線于點．延長交的延長線于．(1)判斷直線與的位置關系，并證明；(2)若，求的值．6．如圖，以線段上一點為圓心，為半徑畫圓，交于點，點是異于點，的上一點，過點作，交延長線于點，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若，求的半徑；(3)若，如圖，以為圓心，為半徑畫弧交射線于點（與不重合），為的中點，判斷點是否在一個圓上？如果在，請求出這個圓的半徑；如果不在，請說明理由．7．如圖，在中，點O在上，以O為圓心，長為半徑作圓，恰好與相切于點D，且．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的半徑．8．如圖1，圓內接四邊形，為直徑，點E在弧上，且滿足，連結并延長交的延長線于點F，與交于點G．(1)若，請用含的代數式表示．(2)如圖2，連結，若．求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連結，，，求的面積．9．圖1，內接于圓O，是圓O的直徑，D為圓O上一點，連接、，E為上一點，且．(1)直接寫出與的位置關系為：_______；(2)如圖2，連接，在的延長線上取一點F，使，，求證：；(3)在（2）的條件下，如圖3，延長交于H，，，求的面積．10．如圖1，平行四邊形的對角線交于點P，E為的中點，過E點的圓O與相切于點P，圓O與直線分別交于點F，G．(1)求證：；(2)如果如圖2．求圓O的直徑．11．如圖，、是圓O的兩條直徑，且，點E是上一動點（不與點B，D重合），連接并延長交的延長線于點F，點P在上，且，連接，分別交，于點M，N，連接．(1)求證：是圓O的切線；(2)設圓O的半徑為4，在點E的移動過程中，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．12．如圖，已知為的直徑，點為圓上一點，垂直于過點的直線，交于點，垂足為點，平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．13．如圖，過圓外一點P作圓O的切線交圓與A，在圓上一點B（不與A重合），，點D在優弧上運動，連接與圓的另一個交點為C．(1)證明：是圓O的切線；(2)若點D是優弧的中點，且，求；(3)在（2）的基礎上，，，求y關于x的解析式．字14．如圖，在中，O為上一點，以O為圓心，長為半徑作圓，與相切于點C，過點A作交的延長線于點D，且．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．15．如圖，是圓內接三角形，點O是邊上一點，過點O作于點E，交過點C的切線于點D，．(1)求證：是此圓的直徑；(2)若點O是邊的中點，，，求此圓的半徑長．參考答案1．(1)見解析(2)【分析】（1）過點作于點，然后證明即可；（2）連接，先求證，然后可知，所以，進而得出的值．【詳解】（1）證明：過點作于，∵平分，∴，即點在圓上，∴是的切線；（2）解：連接，如圖，∵是的直徑，，，，，，，設，圓的半徑為r，則，在中，，解得：或（舍），則，，，，設，根據（1）可得，∴，則，在中，，解得（舍去）或，，，．【點睛】本題考查圓的綜合問題，解題的關鍵是證明．本題涉及勾股定理，全等三角形，圓周角定理，相似三角形，解方程，圓的切線判定知識，內容比較綜合，需要學生構造輔助線才能解決問題，對學生綜合能力要求較高．2．(1)見解析(2)【分析】（1）根據圓周角定理得出，根據平行線的性質得出，即可證明結論；（2）根據勾股定理求出，根據垂徑定理得出，證明，得出，求出，根據勾股定理求出即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖所示：∵為的直徑，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，三角形相似的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的判定和性質．3．(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理逆定理，圓周角，等腰三角形的判定和性質，掌握相關知識點是解題關鍵．（1）證明，求得，利用勾股定理的逆定理，得到，即可證明結論；（2）利用三角形內角和定理，得到，利用直徑得出，進而推出，則M為的中點，即可求解．【詳解】（1）證明：在與中，∵，，∴．∴．∵，，∴．∴．∵在中，，，，∴，．∴，即為直角三角形，且．∴為的切線．（2）解：∵，，∴．又∵為的直徑，∴．∴，∵，∴，∴．∴．∴．∴M為的中點．∴．4．(1)證明見解析(2)；【分析】（1）連接，利用圓的切線的性質定理，平行線的判定與性質得到，利用同圓的半徑相等和等腰三角形的性質和角平分線的定義解答即可；（2）利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定與性質求得圓的半徑，連接，利用相似三角形的判定與性質求得，則結論可求．【詳解】（1）解：連接．是的切線，．，，．．，，，平分．（2）解：∵，∴，設的半徑為r，則，，∵，∴，∴，∴，∴．∴的半徑為．∴．連接，如圖，∵為的直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，圓的切線的性質定理，角平分線的定義，直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，連接經過切點的半徑和直徑所對的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線．5．(1)相切，見解析(2)【分析】（1）先利用等邊對等角和角平分線的定義進行角的轉化求出，進一步得到，即可求證．（2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的判定與性質求出和，最后利用正切的定義求解．【詳解】（1）解：直線與相切．證明：如圖，連接．，，平分，，，，，．∵是的半徑，是的切線．（2）解：∵在中，，∴，，∴，，，，，在中，．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系——切線的判定，相似三角形的判定與性質，勾股定理，求角的正切函數，角平分線的定義，平行線的判定與性質等知識，解題關鍵是能作出輔助線構造相似三角形．6．(1)證明見解析(2)(3)點在一個圓上，這個圓的半徑為【分析】（）連接，可得，即得，由得到，進而得到，即可求證；（）由，可得，進而得到，連接，可得，得到，再根據勾股定理得到，進而即可求解；（）連接，由垂徑定理的推論可得，即得，由得，進而可得，得到，進而得到，即可得到點在一個圓上；由，可得，，得到，再根據三角形面積可得，得到，由三線合一得到，即可得，，，，由得到，可得，得到，最后由勾股定理得到，由可知為點所在圓的直徑，據此即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴∴，∴的半徑為；（3）解：點在一個圓上，理由如下：連接，∵為的中點，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴點四點共圓，即點在一個圓上；∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵,∴為點所在圓的直徑，∴這個圓的半徑為．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，直接三角形的性質，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，四點共圓，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．7．(1)見解析(2)3【分析】本題考查了切線的性質和判定定理、解直角三角形、相似三角形的性質與判定，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．（1）連接，根據切線的性質定理得到，，由推出，進而得出，，再利用切線的判定定理即可證明；（2）在中利用余弦的定義求出的長，利用勾股定理求出的長，通過證明得到，設的半徑為r，代入數據解出r的值即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，與相切，，，，，，，，，，半徑于點C，為的切線．（2）解：由（1）知，在中，，，，，，，，設的半徑為r，則有，解得：，的半徑為3．8．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由圓周角定理可得，，再由三角形內角和定理計算即可得解；（2）連接，利用證明即可得證；（3）由圓周角定理可得，證明，得出，由（2）可得：，推出，再證明，求出，由勾股定理可得，求出，，從而得出，，再由三角形面積公式計算即可得解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵為直徑，∴，∴；（2）證明：如圖，連接，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，由（2）可得：,∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質、三角形內角和定理、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．9．(1)(2)見詳解(3)【分析】（1）由是的直徑，得，由，推導出，而，則，所以；（2）由，，推導出，因為，所以，而，，可根據“”證明，得，因為，所以，則；（3）作于點，由，得，再證明，得，所以，因為，，所以，設，則，，由，得，則，所以，，由勾股定理得，求得符合題意的值為1，則，，，求得，由，求得，則．【詳解】（1）解：，理由：如圖1，是的直徑，，，，，，，；（2）證明：如圖2，，，，，，在和中，，，，，，，，；（3）解：如圖3，作于點，則，，，，，，，，，，，設，則，，，，，，，，，，，解得，（不合題意，舍去），，，，，，，，，，的面積是．【點睛】此題重點考查圓周角定理、直角三角形的兩個銳角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、解直角三角形等知識，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．10．(1)見解析(2)【分析】（1）作直徑，連接，由平行四邊形的性質和點E是的中點得，得到，再證明，，可證得．（2）證平行四邊形是菱形，則它的對角線互相垂直平分；根據勾股定理可求出菱形的邊長．由于E是中點，可得，根據，可得P、O、C三點共線，為的直徑，根據，，可得，得到，得到，即得⊙O的直徑為．【詳解】（1）證明：連接并延長交于點H，連接，則．∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．又∵E為的中點，∴．∴．∴．∵切于P，∴．∴．∵，∴．∴．（2）解：∵平行四邊形中，，∴平行四邊形為菱形．∴，．∴．∴．∵切于P，∴．∵，∴P、O、C三點共線．∴為的直徑．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴⊙O的直徑為．【點睛】本題主要考查了圓與四邊形綜合．熟練掌握圓切線性質，平行四邊形性質，菱形的判定和性質，三角形中位線判定和性質，圓內接四邊形性質，直角三角形你斜邊上中線的性質，相似三角形的判定和性質，是解決問題的關鍵．11．(1)證明見詳解；(2)是定值，理由見詳解【分析】(1)連接，由直徑所對圓周角是直角可得，則，由，可知，根據，可得，即可得到證明；(2)連接，根據題意可得，進而可知，，由圓周角定理可知，得，可證，得，則，結合勾股定理可得，即可求得為定值；【詳解】（1）證明：連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴是的切線；（2）解：是定值，理由見詳解，連接，∵，、是圓O的兩條直徑，∴，∴，，∵，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是定值．【點睛】本題主要考查圓周角定理，切線的判定定理，勾股定理，含的直角三角形以及相似三角形的性質等知識，證明是解答本題的關鍵．12．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由等邊對等角得出，由角平分線的定義得出，推出，從而得出，由平行線的性質得出，即可得證；（2）連接交于，證明四邊形為矩形，得出，，，證明，得出，從而得出，，求出的長，再由勾股定理計算即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，連接交于，，∵為的直徑，∴，∵，，∴四邊形為矩形，∴，，，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定定理、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、勾股定理、圓周角定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．13．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，由切線的定義可得．證明，推出，即可證明是圓O的切線；（2）先證垂直平分，經過圓心，通過證明得出，通過證明得出，設，，利用勾股定理解可得，進而解出，最后根據可得答案；（3）由得出，由得出，進而可得，即，推出，再證，推出，結合，可得．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵為圓O的切線，∴，∴．在和中，，∴，∴，∴，∵為圓O的半徑，∴是圓O的切線；（2）解：∵D是優弧的中點，∴，∵，∴是的垂直平分線，且經過圓心，∴，∴，∵，∴，∴，即，如圖，連接，∵是圓O的切線∴，∵經過圓心，即為直徑，∴，∴，∵，∴，即，∴，又∵，∴，∴，即，設，，∴，，∵，