第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《特殊四邊形的判定及性質相關計算》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖1，在邊長為5的正方形中，點，分別是，邊上的點，且，.(1)求的值；(2)延長交正方形的外角平分線于點（如圖2），試判斷與的大小關系，并說明理由；(3)在圖2的邊上是否存在一點，使得四邊形是平行四邊形?若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由.2．如圖1，正方形中，點是邊上一點，連接，取中點，連接并延長交延長線于點．(1)求證：．(2)將繞點逆時針旋轉至（如圖2），連結，，，①求的度數；②求證：．3．如圖1，四邊形形是一個邊長為6的正方形，點和分別是邊和上的動點（點與點A，B不重合，點與點A，D不重合），且，連接，相交于點．(1)求證；(2)如圖2，當點、運動到中點時，①求證：；②連接，請判斷是否為等腰三角形，并說明理由．4．已知點是矩形的邊上一點，連接，將矩形沿翻折，使點，分別落在，處．(1)如圖1，連接，為的中點，，求證：；(2)如圖2，點，，共線，，的延長線相交于點，連接，①若，求的值；②點，分別是，延長線上的點，，連接，，若，求證：平分．5．【知識技能】如圖1，在矩形中，將沿對角線翻折，點落在點處，交于點．求證：；【數學思考】如圖2，正方形中，點，分別為邊，上的動點，將正方形沿折疊，使點落在處，點落在點處，交于點，若點恰好在邊上，求證：；【拓展探究】如圖3，在中，，，，將沿邊翻折，點落在點處，求點到的距離．6．如圖．在中，，，為線段上一點，直線經過點，且，為直線上一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，過點作，垂足為．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，作的平分線，交直線于點，當點落在上時；猜想與的數是關系，并證明．(3)已知，作射線交直線于點．①如圖3，若，當為線段的中點時，求線段的長；②如圖4，點在直線的下方，且，以為邊在的右側作正方形，當點落在射線上時，求線段的長．7．在菱形中，，連接．(1)判斷的形狀并說明理由．(2)如圖，分別為邊上的動點，，交于點．如圖，連接，若，求證：，若，直接寫出動點到直線的最大距離．8．如圖，正方形中，點是線段的中點，點是線段上的動點，連接與交于點，連接并延長交于點．(1)①如圖1，當點與點重合時，求證：．②如圖2，當點是線段的中點時，的值：(2)如圖3，若，求證：．9．在矩形中，，．點是射線上的一點，以點為中心將顧時針旋轉90°得到，連結．(1)如圖①，當點在邊上時，求證：；(2)在圖②中只用無刻度的直尺和圓規，作出；（保留作圖痕跡．不用寫出作圖過程）(3)如圖③，設線段與射線交于點，①若，此時線段的長度為______；②若線段或與射線交于點，過點作交于點，若，直接寫出的長度．10．綜合與實踐問題情境：在正方形中，E是邊上的一個動點，連接將沿直線翻折，得到，點B的對應點落在正方形內．猜想證明：（1）如圖1，連接并延長，交邊于點F．求證：；（2）如圖2，當E是邊的中點時，連接并延長，交邊于點H，將沿直線翻折，點D恰好落在直線上的點處，交于點M，交于點N．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．問題解決：（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出四邊形的面積．11．在正方形中，E是邊上一點（不與點A，B重合），作點D關于的對稱點F，連接．

(1)如圖1，連接，若，求證：E是的中點；(2)如圖2，連接，，作于點G，M，N分別為，的中點，連接，．①求的大小；②猜想線段與的關系，并證明．12．如圖，矩形中，在邊上，連接平分．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，在線段上分別取點，連接，，若，求證：四邊形為菱形；(3)如圖3，在（2）的條件下，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，若，求的值．13．在四邊形中，于E，，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，于F交于G，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點H在上，，，求的面積．14．如圖，四邊形是正方形，點在上，點在上，且，和交于點．(1)求證：；(2)如圖，與交于點，與交于點，與交于點，求證：；(3)如圖，在（）的條件下，連接，過點作交于點，交于點，若，，求的長．15．正方形的邊長為，是邊上一點，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段．(1)如圖1，當點為中點時，連接，求的長；(2)如圖2，當點為線段上任意一點時，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，分別連接，依題意補全圖形，猜想與的數量關系，并證明你的結論．(3)在（2）的條件下，當點在線段上運動，線段的最小值為__________．參考答案1．(1)(2)，理由見解析(3)存在，證明見解析【分析】（1）結合正方形的性質，證明，即可得到；（2）在上取一點M，使，連接，證明即可；（3）在上截取，與交于N，先證,再證，再由，得，結合一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可作答．【詳解】（1）解：如圖，∵，∴，∵四邊形為正方形，，，，，；（2）解：，理由如下：在上取一點M，使，連接，，，∵是正方形外角平分線，，，，，，；（3）解：存在，理由如下，證明：在上截取與交于N，∵四邊形為正方形，∴，，在和中，∴∴，，∵，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，且，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題綜合考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的性質與判定，平行四邊形的判定，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．2．(1)見解析(2)①；②見解析【分析】（1）由正方形的性質可得，由平行線的性質可得，再證明，即可得證；（2）①連接，則，由旋轉的性質可得，，由等腰直角三角形的性質可得，，推出，由正方形的性質可得，，證明，得出，求出，即可得解；②證明，得出，即可得證．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵為的中點，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖，連接，，∵，∴，由旋轉的性質可得，，∴，，∴，在正方形中，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②證明：∵，且相似比為，由（1）可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、旋轉的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．3．(1)見解析(2)①見解析；②是，理由見解析【分析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線的性質，等腰三角形的定義，三角形內角和定理等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．（1）先根據正方形的性質得到，，再利用證明即可證明結論；（2）①由全等三角形的性質得到，證明，得到，即可證明；②如圖，延長，交于點，證明，得到，則，則由直角三角形斜邊上的中線的性質得到，即是等腰三角形．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴；（2）解：①由（1）得，∴，∵，∴，∴，∴；

②是等腰三角形，理由如下：

如圖，延長，交于點，∵四邊形是正方形，∴，∴由題意可得點是的中點，，在和中，，∴，∴，∴，由①得，∴，∴是直角三角形∴．∴是等腰三角形．4．(1)見解析(2)①，②見解析【分析】（1）根據折疊證明為等邊三角形，則，那么，在矩形中，，得到，然后證明為等邊三角形即可；（2）①先證明，則，可得點，，在同一條直線上，然后由平行得到，則；②過點作于點，先證明，則，，．再證明，則，，最后證明即可．【詳解】（1）證明：∵矩形，∴，由翻折可知，，，，，為的中點，，，，∴為等邊三角形，，．在矩形中，，，，，為等邊三角形，．（2）①解：∵矩形，∴，，，由翻折可知，，，，，，，，，點，，在同一條直線上，，．，∴，；②證明：過點作于點，，，，，，，，．∵，，，，，，，，，，，，，，平分．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，全等三角形的綜合問題，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等知識點，難度較大，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．5．（1）見解析（2）見解析（3）【分析】（1）根據折疊的性質可得到，再由平行線的性質可得，繼而可得，繼而可得出結論；（2）過點A作，垂足為H，連接，先證，可得，，再證，可得，從而可得結論；（3）連接交于點，過點作于點，過點作于點，運用等積法求出的長，再運用相似三角形的性質可得結論．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊得，，∴，∴；（2）如圖，過點A作，垂足為H，連接，則，根據折疊得，，∴，∵∴，∴，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴（3）連接交于點，過點作于點，過點作于點，如圖，由折疊得，關于對稱，∴，在中，，∴，又,∴；∴同理得，，∵，，∴，∴，∴，∴6．(1)見解析(2)，證明見解析(3)①；②或【分析】（1）由旋轉的性質得到，，再利用全等三角形的判定得到，即可證明；（2）利用角平分線的定義得到，利用等角對等邊得到，由（1）中的結論，再利用線段的和差即可得出結論；（3）①過點作交于點，交于點，通過證明得到，利用矩形的判定得到四邊形是矩形，得到，同理得到，得到，利用題目的數據求出、的長，再利用勾股定理即可求解；②作交延長線于點，由（1）得，先證明四邊形是矩形，得到，，設，表示出、、，通過證明得到，解出的值即可解答．【詳解】（1）證明：線段繞點逆時針旋轉得到線段，，，，，，，，，，．（2）解：，證明如下：是的平分線，點落在上，，又，，，，由（1）得，，，，．（3）解：①如圖，過點作交于點，交于點，，，，，為線段的中點，，又，，，，四邊形是矩形，，同理可得：，，又，，，，，由（1）得，，，，線段的長為；②如圖，作交延長線于點，則，由（1）得，，，，，四邊形是矩形，，，設，則，，，正方形，，點落在射線上，，，，，，又，，，，，解得：，，線段的長為或．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的性質與判定、矩形的性質與判定、正方形的性質、相似三角形的性質與判定、一元二次方程的應用，熟練掌握相關知識點，學會結合圖形添加適當的輔助線構造全等三角形和相似三角形是解題的關鍵．本題屬于幾何綜合題，需要較強的幾何知識儲備和輔助線構造能力，適合有能力解決幾何難題的學生．7．(1)是等邊三角形，理由見解；(2)證明見解析；動點到直線的最大距離為．【分析】（）根據菱形的性質得出，，則，然后通過等邊三角形的判定方法即可求解；（）先證明，所以，，，然后證明，所以，，由，從可得到，證明，由性質得，最后代入即可求證；由得，，則，所以點是以為圓心，長度為半徑的弧上運動，然后用勾股定理和直角三角形性質即可求解．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；（2）證明：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；解：由得，，∴，∴點是以為圓心，長度為半徑的弧上運動，∴當時，點到直線有最大距離，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴動點到直線的最大距離為．【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等邊三角形的判定與性質，圓的有關性質，相似三角形的判定與性質等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵．8．(1)①見解析；②(2)見解析【分析】①證明，得出，再證出，即可得出；②如圖2，連接．交于點．證明四邊形是平行四邊形，得出，證明，得出，證明，得出，即可求解．（2）證明，得出，再證明，得出，證明，即可證明．【詳解】（1）解：①如圖1，四邊形是正方形，，，，，，，；②如圖2，連接．交于點．四邊形是正方形，，點、分別是、的中點，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，；（2）解：如圖3，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質和判定等知識，用到的知識點較多，難度較大，屬于中考壓軸題．9．(1)見解析(2)見解析(3)①；②或．【分析】（1）根據旋轉的性質可得，根據矩形的性質可得，進而得出，即可證明，可得，進而可得；（2）過點作，截取，連接，即可求解；（3）①證明，即可求解；②分類討論，當與射線交于點，過點作于點，根據得出，證明，，根據相似三角形的性質，即可求解；當線段與射線交于點，同理可得，，根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】（1）解：由旋轉可得∴，∵在矩形中，，∴∴∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，即為所求；（3）解：①如圖，由旋轉可得∴是等腰直角三角形，∵，∴∵∴，∴∴∴②如圖，當與射線交于點，過點作于點由（1）可得∴，∵，∴∴即∵∴∴∴，則∵∴∴∴∵∴∴；②如圖，當線段與射線交于點，同理可得，，，∴，∴，則，∵，∴，∴∴，解得：∴綜上所述，的長度為或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，矩形的性質，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，基本作圖，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．10．（1）見解析；（2）四邊形是矩形；理由見解析；（3）【分析】（1）設設和相交于點O，證明，即可得到；（2）證明，即可證明四邊形是矩形；（3）連接交于點G，求出，證明，得到，，由等積法求出，由，求出，，即可求出，得到四邊形的面積．【詳解】（1）證明：如圖，設和相交于點O，∵四邊形是正方形，∴，，∴，由折疊可知，CE垂直平分，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；

（2）解：四邊形是矩形；理由如下：

∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵E是邊的中點，∴，由折疊的性質可知：，，∴，∴，由折疊的性質可知：，，∴，∴，∴，∴，．∴，∴四邊形是矩形；

（3）四邊形的面積為．

解：連接交于點G，如圖2，∵四邊形是正方形，∴，∵E是AB邊的中點，∴，由（2）得，，，∴，，∵，∴，由折疊可知：，∴，∴，在和中，，∴，同理可證，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，由折疊可知：，，∴，，∴，，∴，，解得，，∴，，∴，∴四邊形的面積為．【點睛】此題考查了矩形的判定和性質、正方形的性質、等腰三角形的判定和性質、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性質、軸對稱的性質等知識，添加必要的輔助線構造全等是解題的關鍵．11．(1)見解析(2)①，②，，證明見解析【分析】（1）根據證明，得出，即可求證；（2）①根據題意易得，設，則，根據等腰三角形的性質得出，，最后根據即可求解；②延長，過點G作，交延長線于點T，連接，延長，交延長線于點H，令交于點P，先證明，得出，，再證明，得出，，推出，即可得出結論．【詳解】（1）證明：如圖1中，連接DE．∵點D和點F關于的對稱，∴，∵，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，即E是的中點；（2）解：①∵點D和點F關于的對稱，∴，∵，∴，設，則，在中，，在中，，∴；②結論：，，證明：延長，過點G作，交延長線于點T，連接，延長，交延長線于點H，令交于點P，∵，∴，∵點G為中點，∴，∵，，∴，∴，，∵，點M為中點，∴，∵，，∴，∵點M為中點，∴，則，∵，∴，在和中，，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形對應邊相等，對應角相等；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；以及正確添加輔助線，構造全等三角形．12．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據矩形的性質得到，，根據角平分線的定義得到，則，根據等角對等邊判定等腰三角形得到，等了待會即可求解；（2）根據題意得到四邊形是平行四邊形，設，則，根據直角三角形兩銳角互余得到，由角平分線的定義得到，根據平角，三角形外加和的性質得到，則，結合菱形的判定即可求解；（3）如圖所示，過點作于點，過點作于點，作，交延長線于點，四邊形，，是矩形，根據勾股定，全等三角形的判定和性質等知識得到，在中，，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，即，且，∴四邊形是平行四邊形，∴設，則，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；（3）解：∵四邊形是矩形，∴，如圖所示，過點作于點，過點作于點，作，交延長線于點，∴，，，∴四邊形，，是矩形，∴，，，由（1）可得，，∴在中，，∴，設，則，在中，，即，解得，，即，∴，∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，∴，∴，且，∴，∴，，∴，∴，在中，．【點睛】本題主要考查矩形的判定和性質，等腰三角形的判定，角平分線的定義，菱形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識的綜合運用，掌握矩形的性質，勾股定理的運用是關鍵．13．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明，結合，即可證；（2）根據題意得出，設，則，結合，得出，即可證明．（3）延長交延長線于點T，作于點W，則四邊形是矩形，則，根據（1）可得，，則四邊形是平行四邊形，得出，即可得，證明，得出，在上取點K，使，連接，則是等腰三角形，是等腰三角形，設，，則，在中，勾股定理得出，則，，，解：取中點S，連接，則，，在中，勾股定理求出，得出，，結合，勾股定理求出，等面積法求出，勾股定理求出，得出，即可求出，再根據即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，設，∴，∵，∴，∴．（3）解：延長交延長線于點T，作于點W，則四邊形是矩形，∴，根據（1）可得，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，結合（2）可得，∵，∴，∴，在上取點K，使，連接，則是等腰三角形，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，設，，∴，在中，，即，解得：或（舍去），∴，，，解：取中點S，連接，則，，在中，，解得：，∴，，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴．【點睛】該題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，勾股定理，直角三角形的性質，等腰三角形的性質和判定，三角形內角和定理等知識點，解題的關鍵是正確做出輔助線，掌握以上知識點．14．(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（）由四邊形是正方形，得，，證明，則，所以，從而求證