第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《二次函數與幾何變換的綜合》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．已知拋物線與軸交于點兩點，與軸交于點為第四象限內拋物線上一點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，連接，交拋物線的對稱軸于點，連接，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標；(3)在（2）的情況下，將拋物線向右平移個單位長度，得到拋物線為拋物線對稱軸上一點，為拋物線上一點，若以為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點的坐標．2．如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點．(1)求拋物線的函數解析式．(2)點在線段上運動，過點作軸的垂線，與交于點，與拋物線交于點，連接、，求四邊形的面積的最大值，并寫出此時點P的坐標．(3)在（2）的條件下，點N是x軸上一動點，求當N點坐標為時，的值最小，最小值為．(4)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得以點A、C、M為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，為拋物線上一點，點到直線的距離與到直線的距離相等，求點的坐標；(3)如圖2，過作直線和直線，分別交拋物線于兩點，且與拋物線均只有唯一一個公共點，求的值．4．拋物線與軸交于點，，與軸交于點．已知，拋物線的頂點坐標為，點是拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點在線段上方的拋物線上運動（不與，重合），過點作，垂足為，交于點．作，垂足為，求的面積的最大值；(3)如圖2，點是拋物線的對稱軸l上的一個動點，在拋物線上，是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，說明理由．5．拋物線與x軸交于點A，B（點A在B的左邊），與y軸交于點C．(1)直接寫出點A，B，C坐標；(2)如圖（1），連接，過拋物線第四象限上一點D作交延長線于E，若直線平分線段，求點D坐標；(3)如圖（2），將拋物線向左平移使其頂點在y軸上，得到新拋物線L；過原點的直線交新拋物線L于點M，N，點P是y軸上一點，連接，當時，，求P點坐標．6．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點(1)求拋物線解析式；(2)若點為拋物線部分上一動點（可與，兩點重合），過點作軸交直線于點，交軸于點．連接，當為等腰三角形時，直接寫出的值．7．如圖，已知拋物線經過點，，頂點為，與軸交于點，且與直線交于點．(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；(2)求的面積；(3)若點為拋物線上的一個動點，是否存在以為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．8．在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，B兩點，與y軸交于點，點P是x軸上方拋物線上一動點，軸于點M，設點P的橫坐標為m．(1)求拋物線的函數解析式；(2)如圖1，當點P在第二象限時，連接交y軸于點D，若，求m的值；(3)當點P不與拋物線的頂點重合時，過點P作x軸的平行線交拋物線于另一點Q，作軸于點N，四邊形的周長記為l．①求l關于m的函數解析式；②當l隨m的增大而增大時，請寫出m的取值范圍．9．如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數與x軸交于A，B兩點，對稱軸為直線，與y軸交點為點，點D為拋物線上任意一點．(1)求二次函數的表達式；(2)如圖2，當點D為拋物線的頂點時，求的面積；(3)如圖3，當點D在直線下方的拋物線上時，連接交于點E，求最大值．10．拋物線經過點和，與y軸交于點C．(1)如圖①，當時．①求拋物線的解析式；②P是拋物線在第一象限上一點，若，求點P的坐標．(2)如圖②，設拋物線與x軸交于點，此時拋物線也可以表示為交點式．若為x軸上方拋物線上一點，軸，G為垂足，直線交x軸于點，當點三點中有兩點關于另一點對稱時，求c的值．11．如圖1，拋物線過A，B，C三點，．(1)求拋物線的解析式：(2)連接，點為線段上一點，過點作直線，交拋物線右側于點，設的長度為，求的最大值；(3)如圖2，將（1）中拋物線平移后，使其頂點與原點重合，點坐標為，點為拋物線對稱軸左側的動點（不與原點重合），過M、N兩點作直線，交于點，過點作軸平行線交拋物線于點，若直線，與拋物線都只有唯一交點，且，求點坐標．12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過三點，，的面積為．(1)求此拋物線的函數表達式；(2)點是拋物線對稱軸上的一點，在線段上有一動點，以每秒個單位長度的速度從向運動，（不與點重合），過點作，交軸于點，設點的運動時間為秒，試把的面積表示成的函數，當為何值時，有最大值，并求出最大值；(3)設點是拋物線上異于點的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，以為直徑畫，則在點的運動過程中，是否存在與軸相切的？若存在；若不存在，請說明理由．13．如圖1，拋物線與軸交于點，，頂點為，連接，是線段上一動點（不與點，重合），過點作軸的垂線交于點，交拋物線于點．(1)求拋物線的表達式；(2)當時，求點的坐標；(3)如圖2，是線段上一動點（不與點，重合）且始終保持，連接，，求的最小值．14．如圖，已知拋物線與軸相交于兩點，與軸相交于點，拋物線的頂點為．(1)求拋物線的解析式；(2)若是直線下方拋物線上任意一點，過點作軸于點，與交于點，求線段長度的最大值．(3)若點在軸上，且，直接寫出點的坐標．15．如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．(1)求拋物線對應的函數表達式；(2)若點為線段上任意一點（不與端點重合），過點作軸的平行線交拋物線于點，過點作軸的垂線交拋物線與點，以為鄰邊構造矩形．設點的橫坐標為，矩形的周長為，求關于的函數表達式；當直線與中函數的圖象交點有個時（從左到右依次為），直線與中函數的圖象交點有個時（從左到右依次為），且滿足，直接寫出的值．參考答案1．(1)(2)，(3)或或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）求出B、C坐標，進而求出直線的表達式為，再求出對稱軸，進而求出點D的坐標，則根據求出，設點的坐標為，則點的坐標為，再由，，列出關于m的二次函數關系式，利用二次函數的性質求解即可；（3）先求出平移后的拋物線解析式，進而得到平移后的對稱軸，再分①當為的對角線時，②當為的邊，且為對角線時，③當為的邊，且為對角線時，三種情況分別平行四邊形對角線中點坐標相同建立方程求解即可．【詳解】（1）解：將代入中，得，解得，拋物線的表達式為；（2）解：在中標，當時，，解得，點的坐標為，當時，，點的坐標為．設直線的表達式為，將代入，得，解得，直線的表達式為，拋物線表達式為，拋物線的對稱軸為直線，在中，當時，，點的坐標為，如圖，過點作軸交于點．設點的坐標為，則點的坐標為，，，，，當時，取最大值，當時，，四邊形面積的最大值為，此時點的坐標為；（3）解：拋物線的表達式為，拋物線的表達式為，拋物線的對稱軸為直線，點的橫坐標為3，設，由（2）得，，分以下三種情況討論：①當為的對角線時，∵平行四邊形對角線中點坐標相同，，解得，，；②當為的邊，且為對角線時，∵平行四邊形對角線中點坐標相同，，解得，，；③當為的邊，且為對角線時，∵平行四邊形對角線中點坐標相同，，解得，．綜上所述，點的坐標為或或．【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，平行四邊形的性質等等，熟知二次函數的相關知識是解題的關鍵．2．(1)(2)四邊形的面積最大為16；點P的坐標為(3)，(4)點的坐標為或或或【分析】本題主要考查了二次函數綜合，熟練掌握用待定系數法求解函數解析式的方法和步驟，以及二次函數的圖象和性質，是解題的關鍵．（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函數解析式；（2）易得，設，則，求出，則，根據四邊形的面積，結合二次函數的增減性，即可解答；（3）作C點關于x軸的對稱點，連接與x軸相交于點N，此時的值最小，根據兩點間距離公式即可求出的最小值，再求出直線的解析式為，即可得到點N的坐標；（4）設，根據兩點之間距離公式得出，，，然后分情況根據勾股定理列出方程求解即可．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴該二次函數的解析式；（2）解：∵，，∴，∴，設直線的解析式為，代入得，，解得，∴直線的解析式為，設，則，∴，∴，∴四邊形的面積，∵，∴當時，四邊形的面積最大為16，此時點P的坐標為；（3）解：作C點關于x軸的對稱點，連接與x軸相交于點N，此時的值最小，，設直線的解析式為，則，解得：，則直線的解析式為，令，解得：，此時點；（4）解：設，∵，，∴，，，當斜邊為時，，即，整理得：，解得：；當斜邊為時，，即，解得：；∴當斜邊為時，，即，解得：；∴綜上：點的坐標為或或或．3．(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數法求解即可得；（2）過點作平分，交拋物線于點，交軸于點，根據角平分線的性質定理可得點即為所求，先求出點的坐標，證出，根據相似三角形的性質可得，再根據等腰三角形的判定可得，從而可得，然后利用待定系數法求出直線的解析式，與二次函數的解析式聯立，解方程組即可得；（3）先根據二次函數與直線只有唯一一個公共點可得，，再將點代入兩條直線的解析式可得，，從而可得是方程的兩個實數根，然后根據一元二次方程的根與系數的關系即可得．【詳解】（1）解：將代入得：，解得，則拋物線的解析式為．（2）解：如圖，過點作平分，交拋物線于點，交軸于點，∴點到直線的距離與到直線的距離相等，即為所求，由（1）已得：，當時，，解得或，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，設直線的解析式為，將點代入得：，解得，∴直線的解析式為，聯立，解得或（即為點），∴點的坐標為．（3）解：聯立得：，∵拋物線與直線只有唯一一個公共點，∴方程有兩個相等的實數根，∴方程根的判別式，即，同理可得：，∵點在直線和直線上，∴，，∴，，∴，，∴是方程，即的兩個實數根，∴．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、角平分線的性質定理、一元二次方程的根與系數的關系、相似三角形的判定與性質、一次函數的應用等知識，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．4．(1)(2)(3)存在，或或【分析】本題主要考查了二次函數的表達式，二次函數圖象的性質，一次函數的表達式，一次函數圖象的性質，三角形面積最值問題，判定平行四邊形求動點的坐標等知識點，解題的關鍵是熟練掌握以上性質并靈活應用．（1）根據頂點坐標假設拋物線頂點式表達式，將點坐標代入即可求出拋物線表達式；（2）求出二次函數圖象與坐標軸的交點坐標，求出一次函數圖象的表達式，根據一次函數圖象的性質判斷出等腰直角三角形，根據等腰直角三角形性質，斜邊最大時面積最大，假設出相關點的坐標，表示出斜邊長度，從而得出最長斜邊，即可求出最大面積；（3）根據平行四邊形的判定定理，分別以為平行四邊形的邊和對角線來進行分類討論，對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，假設出點的坐標，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為，∴假設拋物線的表達式為，將代入得，，解得，∴拋物線的表達式為；（2）解：令,則，令，則，解得，∴，，，假設直線的表達式為，將代入得，，解得，∴直線的表達式為，∵，是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，當斜邊最大時，的面積最大，假設，，求頂點橫坐標為，，頂點縱坐標為的最大值，，是等腰直角三角形，，∴的面積為；（3）解：分兩種情況討論，①當為平行四邊形的邊時，則有，且，如圖，過點作對稱軸的垂線，垂足為，設交對稱軸于點，則，在和中，，，，點到對稱軸的距離為3，又，拋物線對稱軸為直線，設點，則，解得：或，當時，代入，得：，當時，代入，，點坐標為或；②當為平行四邊形的對角線時，如圖，設的中點為，，，，點在對稱軸上，點的橫坐標為，設點的橫坐標為，根據中點公式得：，，此時，；綜上所述，點的坐標為或或．5．(1)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)(2)(3)P點坐標為．【分析】（1）令和，分別求得或，，即可求解；（2）過E作軸于F，證明，求得，再利用待定系數法求得直線解析式，聯立解方程組即可求解；（3）利用平移的性質求得平移后的解析式，設，，聯立，求得，，在中，由勾股定理得到，在和中，利用勾股定理列式得到，再結合已知求解即可．【詳解】（1）解：令，則，解得或，令，則，∴，，；（2）解：如圖（1），過E作軸于F，則，∴，∴，∵，，∴，，∵直線平分線段，∴，∴，∴，，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∴，設直線解析式為，將點代入得，解得，故直線解析式為；聯立得解得，（舍），故D；（3）解：∵，∴拋物線的頂點為，∴新拋物線L頂點為，其解析式為，如圖（2），設，，直線解析式為，聯立，消元得，∴，，分別過M，N分別作x軸，y軸的垂線交于點Q，軸于T，交y軸于K，設，則，，∵在中，，∴，∴，∵，，∴在中，，∵，，∴在中，，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，∴P點坐標為．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，一次函數的圖象與性質，待定系數法，相似三角形的判定與性質，勾股定理，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．6．(1)(2)或或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）先求出直線的解析式為，，由兩點之間距離公式求得、、，然后分情況討論等腰三角形的腰相等并分別計算即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，∴將點代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：設直線的解析式為，將點代入，得，解得，∴直線的解析式為．∵點M在直線上，且點，∴點M的坐標為．將代入，則，∴，∴，∴，．當為等腰三角形時，（ⅰ）若，則，即，解得．（ⅱ）若，則，即，解得或（舍去）．（ⅲ）若，則，即，解得或（舍去）．綜上所述，或或．【點睛】本題考查了二次函數的性質、待定系數法求函數解析式、兩點之間距離公式、等腰三角形的性質、解一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用相關知識綜合解決問題．7．(1)，頂點的坐標為；(2)；(3)存在滿足條件的點，其坐標為或．【分析】本題考查了兩點間的距離，待定系數法求解析式，二次函數與一次函數的性質，二次函數與幾何圖形的應用，掌握知識點的應用是解題的關鍵．（）利用待定系數法求解析式即可；（）聯立求出，則，過頂點作軸的平行線與直線交于點，求出，所以，然后由即可求解；（）設，則，，，然后分當和當兩種情況，再解方程即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，，∴設拋物線的解析式為，把點代入，得，解得，∴拋物線的解析式為，即，∵，∴頂點的坐標為；（2）解：聯立，解得：或，∴，∵，∴，如圖，過頂點作軸的平行線與直線交于點，∴，∴，∴；（3）解：存在，理由如下，∵，，點為拋物線上的一個動點，∴設，∴，，，由于以為直角邊的直角三角形，當，∴，整理得：，即，解得：或（舍去），∴，∴點；當，∴，整理得：，即，解得：或（舍去），∴，∴點，綜上可知：點的坐標為或．8．(1)(2)(3)①；②或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）由題意可得，得到，設，則，根據，建立方程求出n的值，再根據，由題意可知，，求出，利用建立方程求解即可；（3）①求出拋物線的對稱軸為，分當時，當時兩種情況，求出，即可解答；②根據二次函數的性質解答即可．【詳解】（1）解：根據題意，得

解得，；拋物線的函數解析式為．（2）解：當時，解得．

，．軸，軸，．．．，．．

設，則．，．解得．

．由題意可知，，．．解得，，（不合題意，舍去）．（3）解：①拋物線的對稱軸為，如圖2，當時，，．如圖3，當時，，．②如圖4所示，由圖象可知或．【點睛】本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、解直角三角形，二次函數的性質和矩形的性質；會利用待定系數法求二次函數的解析式；理解坐標與圖形的性質；會運用分類討論的思想解決數學問題．9．(1)(2)15(3)【分析】本題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．（1）由題意得：，即可求解；（2）由的面積，即可求解；（3）證明，即，即可求解．【詳解】（1）解：根據題意，得，將代入得，二次函數的表達式為．（2）解：令得，，解得，．當時，．設直線交對稱軸于點的解析式為，把代入解析式得：解得：直線的解析式為．當時，，．．（3）解：如圖，過點作軸的垂線交于點，則軸，．，設，則，．，當時，有最大值，此時的最大值為．10．(1)；點P的坐標為(2)或【分析】（1）①把點和代入，再建立方程組解題即可；②如圖，過點B作交的延長線于點E，過點E作軸于點F．證明，可得，證明為等腰直角三角形．，設直線的解析式為，再進一步求解即可；（2）由題意可知，該拋物線關于直線對稱．求解，可得拋物線的解析式為，如圖，設點F的坐標為，則點，可得．，求解點．，點，分情況討論即可．【詳解】（1）解：①由題意得，解得：，拋物線的解析式為．②如圖，過點B作交的延長線于點E，過點E作軸于點F．當，，∴．，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴，又，∴，又軸，為等腰直角三角形．，∴，設直線的解析式為，由題意得解得，∴直線的解析式為，聯立得，解得（不符合題意）點P的坐標為．（2）解：由題意可知，該拋物線關于直線對稱．，∴，∴拋物線的解析式為，如圖，設點F的坐標為，則點，．，∴，∴點關于直線對稱．，∴點．當時，，∴，∴同理可得：直線的解析式為，點，分情況討論：①如圖a，當點，關于點對稱，則時，，解得；②如圖b，當點，關于點對稱，則時，，解得．綜上或；．【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解函數解析式，等腰直角三角形的判定與性質，二次函數的對稱性的應用，銳角三角函數的應用，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵．11．(1)(2)(3)【分析】（1）先根據，求出，，代入拋物線解析式，求出b、c的值即可得出拋物線的解析式；（2）根據圖形得出點D越靠上，的長度越長，得出當點D與點C重合時，最大，過點E作軸于點F，證明，得出，設點E的坐標為，得出，，，即，求出結果即可；（3）將（1）中拋物線平移后，使其頂點與原點重合，根據平移后拋物線的解析式為：，根據直線經過，直線與拋物線只有一個交點，求出直線的解析式為：，設點G的坐標為，則，得出，設直線的解析式為：，把，根據直線與拋物線只有一個交點，得出直線的解析式為：，求出，根據，得出，求出或或，根據，得出，最后得出點N的坐標即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，，把，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵拋物線的開口向上，∴根據圖形可知：點D越靠上，的長度越長，∴當點D與點C重合時，最大，如圖，過點E作軸于點F，則，∴，∴，∴，∴，設點E的坐標為，則，，，∴，解得：，（舍去），∴，解得：，即的最大值為．（3）解：∵將（1）中拋物線平移后，使其頂點與原點重合，∴平移后拋物線的解析式為：，設直線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，令，整理得：，∵直線與拋物線只有一個交點，∴，解得：，∴，∴直線的解析式為：，設點G的坐標為，則，，∴，設直線的解析式為：，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，令，整理得：，∵直線與拋物線只有一個交點，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，∴∴直線的解析式為：，令，整理得：，∴，解得：，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，整理得：，解得：或或，∵，∴，∴點N的坐標為，即．【點睛】本題主要考查二次函數和一次函數的綜合應用，求二次函數解析式，兩點間距離公式，求一次函數解析式，相似三角形的綜合應用，一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．12．(1)拋物線的解析式為：；(2)，當時，有最大值，最大值為；(3)存在，點的坐標為或或或，理由見詳解【分析】（1）設，則，，由幾何圖形面積計算即可得到，運用待定系數法即可求解；（2）根據題意得到是等腰直角三角形，，如圖所示，過點作軸于點，作軸于點，則，，，，由代入計算，再結合二次函數求最值的方法計算即可求解；（3）根據圖得到點到對稱軸的距離為，，由此分類討論即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴設，則，∴，∵的面積為，∴，解得，（不符合題意，舍去），，∴，∴，∴，解得，，∴拋物線的解析式為：；（2）解：拋物線的對稱軸直線為，，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，如圖所示，過點作軸于點，作軸于點，∴，，∴，，，∴，∵點在線段上以每秒個單位長度的速度從向運動，（不與點重合），∴，∴，∵，∴當時，有最大值，最大值為；（3）解：拋物線的解析式為：，∴設，且對稱軸直線為，∴點到對稱軸的距離為，如圖所示，∴，①當時，即，∴，整理得，，解得，（舍去，不符合題意），∴；②當時，即，∴，整理得，，解得，（舍去，不符合題意）；∴；③當時，即，∴，整理得，，解得，（舍去，不符合題意）；∴；④當時，即，∴，整理得，，解得，（舍去，不符合題意）；∴；綜上所述，存在，點的坐標為或或或．【點睛】本題主要考查二次函數圖象與幾何圖形的綜合，二次函數的最值問題，三角形的面積，以及二次函數的對稱性，點到直線的距離的表示，絕對值方程的討論求解，掌握待定系數法求解析式，二次函數圖形面積的計算，二次函數與圓的綜合，圓與直線相切的理解等知識，數形結合，分類討論思想是解題的關鍵．13．(1)(2)或(3)【分析】（1）利用待定系數法求二次函數的解析式即可；（2）先求直線的解析式，設，則，，然后得到，，再根據列方程求出，即可求解；（3）利用勾股定理的逆定理判斷是等腰直角三角形，，再過點作，使，連接，，則有，得到，則可得到要使的值最小，則的值最小，當、、三點共時，取得最小值，即可求解．【詳解】（1）解：將點，代入拋物線得：，解得：，拋物線的表達式為；（2）拋物線，頂點，設直線的解析式為，將、代入得：，解得：，直線的解析式為，設，則，，，，，，解得：（不合題意，舍去）或或，或；（3）如圖，連接，，，，，，，，是等腰直角三角形，，過點作，使，連接，，，又，，，，，要使的值最小，則的值最小，當、、三點共時，取得最小值，又，，是等腰直角三角形，，的最小值為．【點睛