PAGEPAGE1導(dǎo)數(shù)的概念及計算【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時改變率eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).(2)幾何意義：函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率.相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).二.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)假如函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，函3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)三.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0).四.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′.數(shù)f′(x)＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一導(dǎo)數(shù)的概念【例1】設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則。【答案】-1【解析】由題意=3，所以．【舉一反三】設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，則lim△x→0f(1+3△x)-f(1)【答案】1【解析】∵函數(shù)y=f（x）可導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義f'(1)=lim△x→0f(x+△x)-f(x)△x可知12．若limΔx→0fx0【答案】1【解析】由題得limΔx→0fx0+3Δx-fx0Δx考向二利用公式及運算法則求導(dǎo)【例2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）（3）【答案】見解析【解析】（1）,（2）先化簡,，（3）先運用三角公式進行化簡.；.【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】導(dǎo)數(shù)計算的原則和方法1.原則：先化簡解析式，使之變成能用八個求導(dǎo)公式求導(dǎo)的函數(shù)的和、差、積、商，再求導(dǎo)。2.方法：①連乘積形式：先綻開化為多項式的形式，再求導(dǎo)；②分式形式：視察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡潔的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；③對數(shù)形式：先化為和、差和的形式，再求導(dǎo)；④根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；⑤三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)。【舉一反三】1．下列求導(dǎo)運算正確的是（）A．(3x)C．(x2【答案】B【解析】分析：運算導(dǎo)數(shù)的加減乘除的運算法則進行計算．詳解：(3x)'=3xln32．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=x5+x7+x【答案】見解析【解析】（1）因為y=x5+（2）y'(3)y′＝nxn－1lgx＋xn·＝xn－1(nlgx＋)．(4)y′＝′＋′＋′＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4＝－－－.考向三復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)【例3】求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)（1）y＝sin(2x＋1)（3）【答案】（1）2cos(2x＋1)（2）【解析】（1）y＝sin(2x＋1)是由函數(shù)y＝sinμ和μ＝2x＋1復(fù)合而成的，所以y′x＝y(tǒng)′μ·μ′x＝cosμ·(2x＋1)′＝2cosμ＝2cos(2x＋1)．（2）（3）【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和方法步驟①中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)；②正確分析出復(fù)合過程；③一般是從最外層起先，由外及里，一層層地求導(dǎo)；④擅長把一部分表達式作為一個整體；⑤最終結(jié)果要把中間變量換成自變量的函數(shù).【舉一反三】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）設(shè)，，則.（2）設(shè)，，，則.（3）設(shè)，，，則.（4）設(shè)，，則.考向四利用導(dǎo)數(shù)求值【例4】（1）f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，則x0＝.（2）下面四個圖象中，有一個是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)·x＋1(a∈R)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則f(－1)＝。【答案】（1）1（2）－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)【解析】（1）f′(x)＝2019＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝2020＋lnx，由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，∴x0＝1.（2）∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的圖象開口向上，則②④解除．若f′(x)的圖象為①，此時a＝0，f(－1)＝eq\f(5,3)；若f′(x)的圖象為③，此時a2－1＝0，又對稱軸為x＝－a，－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－eq\f(1,3).【舉一反三】1.已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)．如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝。【答案】0【解析】∵y＝f(x)在x＝3處的切線的斜率為－eq\f(1,3)，∴f′(3)＝－eq\f(1,3).∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由題圖知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.2．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，則f′(0)＝.【答案】－4【解析】∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則。【答案】【解析】依據(jù)題意，f（x）=2xf'（e）+lnx，其導(dǎo)數(shù)，令x=e，可得，變形可得【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1.若函數(shù)，則。【答案】2.已知f(x)＝x2＋2xf′(2014)＋2014lnx，則f′(2014)＝。【答案】－2015【解析】f′(x)＝x＋2f′(2014)＋，所以f′(2014)＝2014＋2f′(2014)＋，即f′(2014)＝－(2014＋1)＝－2015.3．已知函數(shù)f(x)＝lnx－f′(12)x2＋3x－4，則f【答案】-1【解析】依據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝lnx－f′(12)x2＋3x－4，

其導(dǎo)數(shù)f'（x）=1x-2xf'（令x=1，則f'（x）=14.已知函數(shù)，且，則=。【答案】2【解析】因為，又由題意，得5．設(shè)f(x)存在導(dǎo)函數(shù)且滿意limΔx→0f【答案】-1【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的推導(dǎo)過程得到：y=f(x)已知函數(shù)f(x)=(x3-2x)e【答案】0【解析】limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=f'(1),7．給出下列結(jié)論：①(cosx)′＝sinx；②sinπ3'=cosπ3；③若y＝其中正確的個數(shù)是。【答案】1【解析】對于①，（cosx）′=﹣sinx，故錯；對于②，（sinπ3對于③，若y=1x2，則y′=﹣21x3，故錯；對于④，（8．函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)。【答案】【解析】依據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式、指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可知，．9．若f'(x【答案】1【解析】依據(jù)函數(shù)f（x）在x0