河南省通許縣麗星高級中學2025年高二數學第二學期期末經典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．2．已知直線與圓交于兩點，且（其中為坐標原點），則實數的值為A． B． C．或 D．或3．若△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，△ABC的面，則a=（）A．1 B． C． D．4．若函數為偶函數，則（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．05．已知函數在定義域上有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．在二項式的展開式中，各項系數之和為，二項式系數之和為，若，則（）A． B． C． D．7．已知二次函數在區間內有兩個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．（2017新課標全國I理科）記為等差數列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．89．橢圓的點到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．010．設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則11．已知是虛數單位，，則計算的結果是（）A． B． C． D．12．已知，，則()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在其極值點處的切線方程為____________.14．在北緯圈上有甲、乙兩地，若它們在緯度圈上的弧長等于（為地球半徑），則這兩地間的球面距離為_______.15．已知向量，其中，若與共線，則的最小值為__________．16．已知隨機變量服從正態分布，且，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，若直線的極坐標方程為，曲線的參數方程是（為參數）.（1）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；（2）設點的直角坐標為，過的直線與直線平行，且與曲線交于、兩點，若，求的值.18．（12分）已知正項數列滿足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）設為數列的前項和，證明：.19．（12分）已知函數（Ⅰ）若，求實數的取值范圍；（Ⅱ）若，判斷與的大小關系并證明.20．（12分）已知曲線C的參數方程為（a參數），以直角坐標系的原點為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系.（Ⅰ）求曲線C的極坐標方程；（Ⅱ）若直線l極坐標方程為，求曲線C上的點到直線l最大距離.21．（12分）在的展開式中，求：(1)第3項的二項式系數及系數；(2)含的項．22．（10分）為了研究家用轎車在高速公路上的速情況，交通部門對名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在名男性駕駛員中，平均車速超過的有人，不超過的有人．在名女性駕駛員中，平均車速超過的有人，不超過的有人.（1）完成下面的列聯表，并判斷是否有的把握認為平均車速超過與性別有關，（結果保留小數點后三位）平均車速超過人數平均車速不超過人數合計男性駕駛員人數女性駕駛員人數合計（2）以上述數據樣本來估計總體，現從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取輛，若每次抽取的結果是相互獨立的，問這輛車中平均有多少輛車中駕駛員為男性且車速超過？附：（其中為樣本容量）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．2、C【解析】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，由圓的標準方程得到圓心坐標與半徑R，可得出AB，求出AB的長，圓心到直線y=﹣x+a的距離為AB的一半，利用點到直線的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解即可得到實數a的值．詳解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，又圓心坐標為（0，0），半徑R=1，∴AB=.∴圓心到直線y=﹣x+a的距離d=AB==，∴|a|=1，∴a=±1．故答案為C．點睛：這個題目考查的是直線和圓的位置關系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數形結合來解決的，聯立的時候較少；在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時，經常用到垂徑定理和垂徑定理.3、A【解析】

根據三角形面積公式可得,利用正余弦平方關系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【詳解】因為，，面積，所以.所以.所以，.所以.故選A.本題考查正余弦定理,面積公式,基礎題.4、C【解析】

由f（x）為偶函數，得，化簡成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0對恒成立，從而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【詳解】若函數f（x）為偶函數，∴f（﹣x）＝f（x），即；得對恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故選C．本題考查偶函數的定義，以及對數的運算性質，平方差公式，屬于基礎題．5、D【解析】

根據等價轉化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數根，然后利用根的分布情況，進行計算，可得結果.【詳解】，令，方程有兩個不等正根，，則：故選：D本題考查根據函數極值點求參數，還考查二次函數根的分布問題，難點在于使用等價轉化的思想，化繁為簡，屬中檔題.6、A【解析】分析：先根據賦值法得各項系數之和，再根據二項式系數性質得，最后根據解出詳解：因為各項系數之和為，二項式系數之和為,因為，所以,選A.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數之和，只需令即可.7、A【解析】

先求出二次函數在區間內有兩個零點，所需要的條件，然后再平面直角坐標系內，畫出可行解域，然后分析得出的取值范圍.【詳解】因為二次函數在區間內有兩個零點，所以有：，對應的平面區域為下圖所示：則令，則的取值范圍為，故本題選A.本題考查了一元二次方程零點分布問題，正確畫出可行解域是解題的關鍵.8、C【解析】設公差為，，，聯立解得，故選C.點睛:求解等差數列基本量問題時，要多多使用等差數列的性質，如為等差數列，若，則.9、D【解析】

寫設橢圓1上的點為M（3cosθ，2sinθ），利用點到直線的距離公式，結合三角函數性質能求出橢圓1上的點到直線x+2y﹣4＝1的距離取最小值．【詳解】解：設橢圓1上的點為M（3cosθ，2sinθ），則點M到直線x+2y﹣4＝1的距離：d|5sin（θ+α）﹣4|，∴當sin（θ+α）時，橢圓1上的點到直線x+2y﹣4＝1的距離取最小值dmin＝1．故選D．本題考查直線與圓的位置關系、橢圓的參數方程以及點到直線的距離、三角函數求最值，屬于中檔題．10、C【解析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【詳解】設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，，則或，故B錯誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯誤．故選C．本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，是中檔題．11、A【解析】

根據虛數單位的運算性質，直接利用復數代數形式的除法運算化簡求值．【詳解】解：，，故選A．本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題．12、C【解析】

將兩邊同時平方，利用商數關系將正弦和余弦化為正切，通過解方程求出，再利用二倍角的正切公式即可求出.【詳解】再同時除以，整理得故或，代入，得.故選C.本題主要考查了三角函數的化簡和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方關系，商數關系，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，令，此時函數在其極值點處的切線方程為考點：：導數的幾何意義.14、【解析】

設甲、乙兩地分別為，地球的中心為，先求出北緯60°圈所在圓的半徑，再求A、B兩地在北緯60°圈上對應的圓心角，得到線段AB的長，解三角形求出的大小，利用弧長公式求這兩地的球面距離.【詳解】設甲、乙兩地分別為，北緯圈所在圓的半徑為，它們在緯度圈上所對應的劣弧長等于（為地球半徑），（是兩地在北緯60圈上對應的圓心角），故.所以線段設地球的中心為，則是等邊三角形，所以，故這兩地的球面距離是.本題考查球面距離及相關計算，扇形弧長和面積是常用公式，結合圖形是關鍵.15、【解析】

根據兩個向量平行的充要條件，寫出向量的坐標之間的關系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到結果.【詳解】∵，，其中，且與共線∴，即∴，當且僅當即時取等號∴的最小值為.該題考查的是有關向量共線的條件，涉及到的知識點有向量共線坐標所滿足的條件，利用基本不等式求最值，屬于簡單題目.16、0.1【解析】分析：隨機變量服從正態分布，且，利用正態分布的性質，答案易得．詳解：隨機變量ξ服從正態分布，且，，

故答案為：0.1．點睛：本題考查正態分布曲線的重點及曲線所表示的意義，解題的關鍵是正確正態分布曲線的重點及曲線所表示的意義，由曲線的對稱性求出概率，本題是一個數形結合的題，識圖很重要．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線的直角坐標方程為，曲線的普通方程為；（2）.【解析】

（1）利用兩角和的余弦公式以及可將的極坐標方程轉化為普通方程，在曲線的參數方程中消去參數可得出曲線的普通方程；（2）求出直線的傾斜角為，可得出直線的參數方程為（為參數），并設點、的參數分別為、，將直線的參數方程與曲線普通方程聯立，列出韋達定理，由，代入韋達定理可求出的值.【詳解】（1）因為，所以，由，，得，即直線的直角坐標方程為；因為消去，得，所以曲線的普通方程為；（2）因為點的直角坐標為，過的直線斜率為，可設直線的參數方程為（為參數），設、兩點對應的參數分別為、，將參數方程代入，得，則，.所以，解得.本題考查參數方程、極坐標與普通方程的互化，同時也考查了直線參數方程的幾何意義的應用，求解時可將直線的參數方程與曲線的普通方程聯立，結合韋達定理進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由題意，得，可求出；（Ⅱ）由，得與同號，可得，再由可得，問題得證；（Ⅲ）令，得，當時，由可得，再由可使問題得證.【詳解】（Ⅰ）解：由題意，，解得或（舍去）.（Ⅱ）證明：因為，且，所以與同號，…，與也同號.而，因此.又，所以.綜上，有成立.（Ⅲ）證明：令，則，且.由，得到.于是當時，，又，因此，即.考慮，故，即.當時，也成立.綜上所述，.本題考查了數列遞推式，數列求和，考查了放縮法證明不等式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析.【解析】

（Ⅰ）通過討論a的范圍，去掉絕對值，解不等式，確定的范圍即可；

（Ⅱ）根據絕對值不等式的性質判斷即可．【詳解】（I）因為，所以.①當時，得，解得，所以;②當時，得，解得，所以;③當時，得，解得，所以;綜上所述，實數的取值范圍是（II），因為,所以本題考查了解絕對值不等式問題，考查不等式的證明，是一道中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）利用平方和為1消去參數得到曲線C的直角坐標方程，再利用，整理即可得到答案；（2）將直線的極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，加上半徑即可得到最大距離.【詳解】（1）由，得，兩式兩邊平方并相加，得，所以曲線表示以為圓心，2為半徑的圓.將代入得，化簡得所以曲線的極坐標方程為（2）由，得，即，得所以直線的直角坐標方程為因為圓心到直線的距離，所以曲線上的點到直線的最大距離為.本題考查直角坐標方程，參數方程及極坐標方程之間的互化，考查直線與圓的位置關系的應用，屬于基礎題.21、（1）第3項的系數為24＝240.（2）含x2的項為第2項，且T2＝－192x2.【解析】試題分析：(1)根據二項展開式的通項，即可求解第項的二項式系數及系數；（2）由二項展開式的痛項，可得當時，即可得到含的系數.試題解析：(1)第3項的二項式系數為C＝15，