黑龍江省大慶市讓胡路區鐵人中學2025年數學高二第二學期期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，已知電路中4個開關閉合的概率都是，且是互相獨立的，燈亮的概率為（）A． B． C． D．2．設復數z滿足，則z的共軛復數（）A． B． C． D．3．若的展開式中第3項的二項式系數是15，則展開式中所有項系數之和為A． B． C． D．4．已知實數成等比數列，則橢圓的離心率為A． B．2 C．或2 D．或5．劉徽是我國魏晉時期杰出的數學家，他采用了以直代曲、無限趨近、內夾外逼的思想，創立了割圓術，即從半徑為1尺的圓內接正六邊形開始計算面積，如圖是一個圓內接正六邊形，若向圓內隨機投擲一點，則該點落在正六邊形內的概率為（）A． B． C． D．6．以為焦點的拋物線的標準方程是（）A． B． C． D．7．已知定義在上的函數的導函數為，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．8．小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A為“4個人去的景點不相同”，事件B為“小趙獨自去一個景點”，則P(A|B)＝（）A． B．C． D．9．a，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉軸選擇，有下列結論：①當直線與a成60°角時，與b成30°角；②當直線與a成60°角時，與b成60°角；③直線與a所成角的最小值為45°；④直線與a所成角的最大值為60°；其中正確的是_______.（填寫所以正確結論的編號）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．已知是定義在上的奇函數，對任意，，都有，且對于任意的，都有恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．11．如果直線與直線平行，則的值為（）A． B． C． D．12．生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數學模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在全運會期間，4名志愿者被安排參加三個不同比賽項目的接待服務工作，則每個項目至少有一人參加的安排方法有____________．14．已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為__________.15．已知雙曲線E:x2a2-16．計算的結果為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，是的中點.（1）求異面直線與所成角的大小；（2）若直三棱柱的體積為，求四棱錐的體積.18．（12分）對某班50名學生的數學成績和對數學的興趣進行了調查，統計數據如下表所示：對數學感興趣對數學不感興趣合計數學成績好17825數學成績一般52025合計222850（1）試運用獨立性檢驗的思想方法分析：學生學習數學的興趣與數學成績是否有關系，并說明理由．（2）從數學成績好的同學中抽取4人繼續調查，設對數學感興趣的人數為，求的分布列和數學期望．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828．19．（12分）某大學綜合評價面試測試中，共設置兩類考題：類題有4個不同的小題，類題有3個不同的小題.某考生從中任抽取3個不同的小題解答.（1）求該考生至少抽取到2個類題的概率；（2）設所抽取的3個小題中類題的個數為，求隨機變量的分布列與均值.20．（12分）完成下列證明：（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求證：.21．（12分）在四棱錐中，底面為菱形，，側面為等腰直角三角形，，點為棱的中點．（1）求證：面面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）十九大提出，加快水污染防治，建設美麗中國．根據環保部門對某河流的每年污水排放量X(單位：噸)的歷史統計數據，得到如下頻率分布表：將污水排放量落入各組的頻率作為概率，并假設每年該河流的污水排放量相互獨立(1)求在未來3年里，至多1年污水排放量的概率；(2)該河流的污水排放對沿河的經濟影響如下：當時，沒有影響；當時，經濟損失為10萬元；當X∈[310，350)時，經濟損失為60萬元．為減少損失，現有三種應對方案：方案一：防治350噸的污水排放，每年需要防治費3.8萬元；方案二：防治310噸的污水排放，每年需要防治費2萬元；方案三：不采取措施．試比較上述三種方案，哪種方案好，并請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

燈泡不亮包括四個開關都開，或下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨立的，根據概率公式得到結果．【詳解】由題意知，本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，燈泡不亮包括四個開關都開，或下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨立的，燈泡不亮的概率是，燈亮和燈不亮是兩個對立事件，燈亮的概率是，故選：．本題結合物理的電路考查了有關概率的知識，考查對立事件的概率和項和對立事件的概率，本題解題的關鍵是看出事件之間的關系，燈亮的情況比較多，需要從反面來考慮，屬于中檔題．2、B【解析】

算出，即可得.【詳解】由得，，所以.故選：B本題主要考查了復數的除法運算，共軛復數的概念，考查了學生基本運算能力和對基本概念的理解.3、B【解析】由題意知：，所以，故，令得所有項系數之和為.4、A【解析】

由1，m，9構成一個等比數列，得到m=±1．當m=1時，圓錐曲線是橢圓；當m=﹣1時，圓錐曲線是雙曲線，(舍）由此即可求出離心率．【詳解】∵1，m，9構成一個等比數列，∴m2=1×9，則m=±1．當m=1時，圓錐曲線+y2=1是橢圓，它的離心率是=；當m=﹣1時，圓錐曲線+y2=1是雙曲線，故舍去，則離心率為．故選A．本題考查圓錐曲線的離心率的求法，解題時要注意等比數列的性質的合理運用，注意分類討論思想的靈活運用．5、D【解析】

由面積公式分別計算出正六邊形與圓的面積，由幾何概型的概率計算公式即可得到答案【詳解】由圖可知：，故選D.本題考查幾何概型，屬于基礎題。6、A【解析】

由題意和拋物線的性質判斷出拋物線的開口方向，并求出的值，即可寫出拋物線的標準方程．【詳解】因為拋物線的焦點坐標是，

所以拋物線開口向右，且=2，

則拋物線的標準方程.

故選：A．本題考查拋物線的標準方程以及性質，屬于基礎題．7、A【解析】分析：先構造函數，再根據函數單調性解不等式.詳解：令，因為，所以因此解集為，選A.點睛：利用導數解抽象函數不等式，實質是利用導數研究對應函數單調性，而對應函數需要構造.構造輔助函數常根據導數法則進行：如構造，構造，構造，構造等8、A【解析】

這是求小趙獨自去一個景點的前提下，4

個人去的景點不相同的概率，求出相應基本事件的個數，按照公式計算，即可得出結論．【詳解】小趙獨自去一個景點共有4×3×3×3＝108種情況，即n(B)＝108,4個人去的景點不同的情況有種，即n(AB)＝24，.故選：A本題考查條件概率，考查學生的計算能力，確定基本事件的個數是關鍵．9、C【解析】

由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構建如圖所示的邊長為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉軸，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．【詳解】解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉軸，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設點在運動過程中的坐標中的坐標，，，其中為與的夾角，，，在運動過程中的向量，，，，，設與所成夾角為，，則，，，，③正確，④錯誤．設與所成夾角為，，，當與夾角為時，即，，，，，，，此時與的夾角為，②正確，①錯誤．故選：．本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．10、B【解析】

由可判斷函數為減函數，將變形為，再將函數轉化成恒成立問題即可【詳解】，又是定義在上的奇函數，為R上減函數，故可變形為，即，根據函數在R上為減函數可得，整理后得，在為減函數，為增函數，所以在為增函數，為減函數在恒成立，即，當時，有最小值所以答案選B奇偶性與增減性結合考查函數性質的題型重在根據性質轉化函數，學會去“”；本題還涉及恒成立問題，一般通過分離參數，處理函數在某一區間恒成立問題11、B【解析】試題分析：因為直線與直線平行，所以，故選B．考點：直線的一般式方程與直線的平行關系．12、B【解析】

由題意可得糖水甜可用濃度體現，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，對照選項，即可得到結論．【詳解】由題意，若，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，選項A，C不能說明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現，而，能體現糖水變甜；選項D等價于，不成立，故選：B．本題主要考查了不等式在實際生活中的運用，考查不等式的等價變形，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、36【解析】

由題意結合排列組合公式整理計算即可求得最終結果.【詳解】每個項目至少有一人參加，則需要有一個項目2人參加，其余的兩個項目每個項目一人參加，結合排列組合公式可知，滿足題意的安排方法共有：種.(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．14、【解析】

由題意首先求解底面積，然后結合四棱錐的高即可求得四棱錐的體積.【詳解】由題意可得，底面四邊形為邊長為的正方形，其面積，頂點到底面四邊形的距離為，由四棱錐的體積公式可得：.本題主要考查四棱錐的體積計算，空間想象能力等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.15、2【解析】

可令x=c，代入雙曲線的方程，求得y=±b2a，再根據題意，設出A,B,C,D的坐標，由2AB=3【詳解】令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b由題意可設A(-c,b由2AB=3BC，由b2=c2-a2故答案是2.該題考查的是有關雙曲線的離心率的求解問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有雙曲線上的點的坐標的求法，根據雙曲線對稱性，得到四個點A,B,C,D四個點的坐標，應用雙曲線中系數的關系，以及雙曲線的離心率的公式求得結果.16、【解析】

利用指數運算、對數運算的性質即可得出．【詳解】原式

．

故答案為：．本題考查了指數運算性質，對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；【解析】

（1）以為坐標原點，以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標系，分別求出異面直線與的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線與所成角的大小；（2）連接．由，由已知中，是的中點，面，我們根據等腰三角形“三線合一”的性質及線面垂直的性質，即可得到，，進而根據線面垂直的判定定理，得到面，故即為四棱錐的高，求出棱錐的底面面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．【詳解】（1）以為坐標原點，以，，為軸正方向建立空間直角坐標系．不妨設．依題意，可得點的坐標，于是，由，則異面直線與所成角的大小為．（2）連接．由，是的中點，得；由面，面，得．又，因此面，由直三棱柱的體積為．可得．所以，四棱錐的體積為．本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，棱錐的體積，其中（1）的關鍵是建立空間坐標系，將異面直線夾角問題轉化為向量夾角問題，而（2）的關鍵是根據線面垂直的判定定理，得到為棱錐的高．18、（1）有99.9%的把握認為有關系，理由詳見解析；（2）分布列詳見解析，數學期望為2.72【解析】

根據表中數據計算觀測值，對照臨界值得出結論；

由題意知隨機變量X的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列和數學期望值．【詳解】（1）．因為，所以有99.9%的把握認為有關系．（2）由題意知，的取值為0，1，2，3，1．因為，．所以，分布列為01231所以，．本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列應用問題，是中檔題．19、（1）；（2）分布列見解析，【解析】

（1）利用古典概率與互斥事件概率計算公式即可得出．（2）設所抽取的1個小題中類題的個數為，則的取值為0，1，2，1．利用超幾何分布列計算公式即可得出．【詳解】（1）該考生至少抽取到2個類題的概率．（2）設所抽取的1個小題中類題的個數為，則的取值為0，1，2，1．，，，，隨機變量的分布列為：0121均值．本題考查古典概率與互斥事件概率計算公式、超幾何分布列計算公式及其數學期望計算公式，考查推理能力與計算能力．20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【解析】

（Ⅰ）運用分析法，兩邊平方，化簡配方即可得證；（Ⅱ）運用變形和基本不等式，即可得證。【詳解】（I）要證：≥只需證：≥，即證：，即證：,即證：，即證：，這顯然成立，故.（II）依題意，因為，故，故當且僅當，即，即時等號成立.本題主要考查不等式的證明的方法——分析法和綜合法，意在考查學生運用分析法和使用基本不等式時涉及到的變形能力，化簡能力以及推理能力。21、（1）