山東省濟南三中2024-2025學年高二數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．2．利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生的寫作水平與離好閱讀是否有關(guān)，隨機詢問120名高中生是否喜好閱讀，利用2×2列聯(lián)表，由計算可得K2＝4.236P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參照附表，可得正確的結(jié)論是（）A．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”B．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”C．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”D．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”3．設(shè)地球的半徑為R，在緯度為的緯線圈上有A,B兩地，若這兩地的緯線圈上的弧長為，則A,B兩地之間的球面距離為（）A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若身高和體重的回歸模型為，則下列敘述正確的是（）A．身高與體重是負相關(guān) B．回歸直線必定經(jīng)過一個樣本點C．身高的人體重一定時 D．身高與體重是正相關(guān)6．設(shè)，則的值為()A．2 B．2046 C．2043 D．－27．已知,則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．B．．C．D．8．已知集合，，若，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．45° D．90°10．某市通過隨機詢問100名不同年級的學生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列聯(lián)表：做不到能做到高年級4510低年級3015則下列結(jié)論正確的是（）附參照表：0.100.0250.012.7065.0246.635參考公式：，其中A．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“學生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過的前提下，“學生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低無關(guān)”C．有以上的把握認為“學生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低有關(guān)”D．有以上的把握認為“學生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低無關(guān)”11．若，則（）A． B． C． D．12．設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（）A．i B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知下列命題：①若，則“”是“”成立的充分不必要條件；②若橢圓的兩個焦點為，且弦過點，則的周長為16；③若命題“”與命題“或”都是真命題，則命題一定是真命題；④若命題：，則：其中為真命題的是__________（填序號）．14．選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．15．已知某運動員每次投籃命中的概率都為.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出到之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了組隨機數(shù)：據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________.16．北緯圈上有A，B兩點，該緯度圈上劣弧長為（R為地球半徑），則A，B兩點的球面距離為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著共享單車的蓬勃發(fā)展，越來越多的人將共享單車作為短距離出行的交通工具.為了解不同年齡的人們騎乘單車的情況，某共享單車公司對某區(qū)域不同年齡的騎乘者進行了調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下：年齡152535455565騎乘人數(shù)958065403515（1）求關(guān)于的線性回歸方程，并估計年齡為40歲人群的騎乘人數(shù)；（2）為了回饋廣大騎乘者，該公司在五一當天通過向每位騎乘者的前兩次騎乘分別隨機派送一張面額為1元，或2元，或3元的騎行券.已知騎行一次獲得1元券，2元券，3元券的概率分別是，，，且每次獲得騎行券的面額相互獨立.若一名騎乘者五一當天使用了兩次該公司的共享單車，記該騎乘者當天獲得的騎行券面額之和為，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.18．（12分）如圖，在中，，點在線段上.過點作交于點，將沿折起到的位置（點與重合），使得.（Ⅰ）求證：.（Ⅱ）試問：當點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，說明理由.19．（12分）一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）設(shè)拋擲5次的得分為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）求恰好得到分的概率.20．（12分）2018年6月14日，第二十一屆世界杯足球賽將在俄羅斯拉開帷幕.為了了解喜愛足球運動是否與性別有關(guān)，某體育臺隨機抽取100名觀眾進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表.（1）將列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜愛足球運動與性別有關(guān)？（2）在不喜愛足球運動的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人參加一臺訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率.21．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）求曲線上的直線距離最大的點的直角坐標.22．（10分）已知拋物線：上一點到其準線的距離為1．（1）求拋物線的方程；（1）如圖，，為拋物線上三個點，，若四邊形為菱形，求四邊形的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤．2、A【解析】

根據(jù)題意知觀測值，對照臨界值得出結(jié)論.【詳解】利用獨立性檢驗的方法求得，對照臨界值得出：有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”．故選A項．本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3、D【解析】

根據(jù)緯線圈上的弧長為求出A,B兩地間的徑度差，即可得出答案。【詳解】設(shè)球心為O，緯度為的緯線圈的圓心為O′，則∠O′AO=,∴O′A=OAcos∠O′AO=Rcos,設(shè)A,B兩地間的徑度差的弧度數(shù)為，則Rcos=,∴=,即A,B兩地是⊙O′的一條直徑的兩端點，∴∠AOB=,∴A,B兩地之間的球面距離為．答案：D．本題涉及到了地理相關(guān)的經(jīng)緯度概念。學生需理解其基本概念，將題干所述信息轉(zhuǎn)換為數(shù)學相關(guān)知識求解。4、C【解析】

把復(fù)數(shù)化為形式，然后確定實部與虛部的取值范圍．【詳解】，時，，對應(yīng)點在第二象限；時，，對應(yīng)點在第四象限；時，，對應(yīng)點在第一象限．或時，對應(yīng)點在坐標軸上；∴不可能在第三象限．故選：C．本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義．解題時把復(fù)數(shù)化為形式，就可以確定其對應(yīng)點的坐標．5、D【解析】

由線性回歸直線方程可得回歸系數(shù)大于0，所以正相關(guān)，且經(jīng)過樣本中心，且為估計值，即可得到結(jié)論．【詳解】可得，可得身高與體重是正相關(guān)，錯誤，正確；回歸直可以不經(jīng)過每一個樣本點，一定過樣本中心點，，故錯誤；若，可得，即體重可能是，故錯誤．故選．本題考查線性回歸中心方程和運用，考查方程思想和估計思想，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】分析：先令得，再令得，解得結(jié)果.詳解：令得令得=0因此，選D.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可.7、C【解析】試題分析：，當時，，單調(diào)遞減，同理當時，單調(diào)遞增，，顯然不等式有正數(shù)解（如，（當然可以證明時，）），即存在，使，因此C錯誤．考點：存在性量詞與全稱量詞，導數(shù)與函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性．8、D【解析】

由已知可得，則.【詳解】由，得或又由，得，則，即故選：D本題考查了集合的并集運算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】分析：由題意可得，，進而得到與，再由，可得結(jié)論.詳解：，，，并且，，與的夾角為，故選B.點睛：本題主要考查空間向量夾角余弦公式，屬于中檔題.解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間點的坐標寫出向量的坐標與向量求模.10、C【解析】分析：根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，利用公式求得，參照臨界值表即可得到正確結(jié)論.詳解：由公式可得，參照臨界值表，，以上的把握認為，“學生能否做到‘扶跌倒老人’與年級高低有關(guān)”，故選C.點睛：本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式計算的值；(3)查表比較與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷.11、A【解析】

根據(jù)誘導公式和余弦的倍角公式，化簡得，即可求解．【詳解】由題意，可得，故選A．本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，其中解答中合理配湊，以及準確利用誘導公式和余弦的倍角公式化簡、運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

先化簡，結(jié)合二項式定理化簡可求.【詳解】，，故選D.本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和二項式定理的應(yīng)用，逆用二項式定理要注意配湊出定理的結(jié)構(gòu)形式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③【解析】逐一分析所給的各個說法：①∵a，b，c∈R，∴“ac2>bc2”?“a>b”，反之，當時，由不成立。若，則“”是“”成立的充分不必要條件；故①正確；②若橢圓的兩個焦點為F1,F2,且弦AB過點F1，則△ABF2的周長為4a=20，故②不正確；③若命題“?p”與命題“p或q”都是真命題，則p是假命題，所以命題q一定是真命題，故③正確；④若命題p:?x∈R,x2+x+1<0，則?p:?x∈R,x2+x+1?0，故④錯誤。故答案為：①③。14、（1）；（2）.【解析】試題分析：（I）利用零點分段法去絕對值，將函數(shù)化為分段函數(shù)，由此求得不等式的解集為；（II）由（I）值，函數(shù)的最小值為，即，由此解得.試題解析：（I），當，，，當，，，當，，，綜上所述.（II）易得，若，恒成立，則只需，綜上所述.考點：不等式選講．15、0.25【解析】由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)，在20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有：191、271、932、812、393.共5組隨機數(shù)，∴所求概率為.答案為：0.25.16、【解析】

先求出北緯圈所在圓的半徑，是、兩地在北緯圈上對應(yīng)的圓心角，得到線段的長，設(shè)地球的中心為，解三角形求出的大小，利用弧長公式求、這兩地的球面距離．【詳解】解：北緯圈所在圓的半徑為，它們在緯度圈上所對應(yīng)的劣弧長等于為地球半徑），是、兩地在北緯圈上對應(yīng)的圓心角），故，線段，，、這兩地的球面距離是，故答案為：．本題考查球的有關(guān)經(jīng)緯度知識，球面距離，弧長公式，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）大致為55人（2）分布列見解析，【解析】分析：（1）根據(jù)題意求得，代入公式求得回歸直線方程，令代入方程可估計年齡為40歲人群的騎乘人數(shù)；（2）由題意．的所有可能取值為．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學期望．詳解：（1）由題意可知，代入公式可得，，，所以線性回歸方程為，令可得，，故年齡為40歲人群的騎乘人數(shù)大致為55人.（2）由題意可知的所有可能取值為，其相應(yīng)概率為：，，，，，所以的分布列為：X23456P.點睛：本題考查回歸直線方程的求法及其應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法及應(yīng)用，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．18、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)答案見解析.【解析】分析：（1）由已知條件，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可得到.（2）過點作，則，，兩兩垂直，以B為坐標原點，以，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.設(shè)，應(yīng)用空間向量，分別求得兩平面的法向量，計算兩平面法向量夾角，證明點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.詳解：證明：（Ⅰ）在中，因為，所以，所以，，又因為，平面，所以平面.又因為平面，所以.（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點作于點，由（Ⅰ）知平面，所以，又因為，平面，所以平面.在平面內(nèi)過點作直線，則平面.如圖所示，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.設(shè)，又因為，所以，.在中，，所以，，所以，所以，，.從而，.設(shè)是平面的一個法向量，所以，即，所以，取，得是平面的一個法向量.又平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則.因此當點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.點睛：點睛：用空間向量求二面角問題的解題步驟：右手定則建立空間直角坐標系，寫出關(guān)鍵點坐標設(shè)兩平面的法向量，兩法向量夾角為，求法向量及兩向量夾角的余弦；當兩法向量的方向都向里或向外時，則二面角；當兩法向量的方向一個向里一個向外時，二面角為.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）拋擲5次的得分可能為，且正面向上和反面向上的概率相等，都為，所以得分的概率為，即可得分布列和數(shù)學期望；（2）令表示恰好得到分的概率，不出現(xiàn)分的唯一情況是得到分以后再擲出一次反面．，因為“不出現(xiàn)分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因為“擲一次出現(xiàn)反面”的概率是，所以有，即，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，即求得恰好得到分的概率．【詳解】（1）所拋5次得分的概率為，其分布列如下（2）令表示恰好得到分的概率，不出現(xiàn)分的唯一情況是得到分以后再擲出一次反面．因為“不出現(xiàn)分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因為“擲一次出現(xiàn)反面”的概率是，所以有，即．于是是以為首項，以為公比的等比數(shù)列．所以，即．恰好得到分的概率是．此題考查了獨立重復(fù)試驗，數(shù)列的遞推關(guān)系求解通項，重點考查了學生的題意理解能力及計算能力．20、(1)答案見解析；(2).【解析】分析：讀懂題意，補充列聯(lián)表，代入公式求出的值，對照表格，得出結(jié)論；（2）根據(jù)古典概型的特點，采用列舉法求出概率。詳解：（1）補充列聯(lián)表如下：由列聯(lián)表知故可以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜愛足球運動與性別有關(guān).（2）由分層抽樣知，從不喜愛足球運動的觀眾中抽取6人，其中男性有人，女性有人.記男性觀眾分別為，女性觀眾分別為，隨機抽取2人，