河北省滄州市鹽山中學2024-2025學年數學高二下期末教學質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復平面內，向量對應的復數是，向量對應的復數是，則向量對應的復數對應的復平面上的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．函數f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．3．某射手每次射擊擊中目標的概率為，這名射手進行了10次射擊，設為擊中目標的次數，，，則=A． B． C． D．4．已知，，，則a，b，c的大小關系為A． B． C． D．5．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則為“3局2勝”，即先贏2局者為勝根據以往二人的比賽數據分析，甲在每局比賽中獲勝的概率為，則本次比賽中甲獲勝的概率為（）A． B． C． D．6．現有五位同學分別報名參加航模、機器人、網頁制作三個興趣小組競賽，每人限報一組，那么不同的報名方法種數有()A．120種 B．5種 C．種 D．種7．設,且，則下列結論中正確的是（）A． B． C． D．8．由2，3，5，0組成的沒有重復數字的四位偶數的個數是（）A．12 B．10 C．8 D．149．把18個人平均分成兩組，每組任意指定正副組長各1人，則甲被指定為正組長的概率為（）A． B． C． D．10．設復數滿足，則的共軛復數的虛部為（）A．1 B．-1 C． D．11．若命題p：，，則是（）A．， B．，C．， D．，12．閱讀程序框圖，運行相應的程序，則輸出的的值為（）A．72 B．90 C．101 D．110二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為0.6，那么針尖向下的概率為0.1．若連續擲一枚圖釘3次，則至少出現2次針尖向上的概率為_____________．14．如圖，正方體中，E為線段的中點，則AE與所成角的余弦值為____．15．已知甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有2個白球、2個黑球，從這兩個箱子里分別隨機摸出1個球，則恰有一個白球的概率為__________.16．已知正項數列{an}滿足，若a1＝2，則數列{an}的前n項和為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，其前項和為.（1）計算；（2）猜想的表達式，并用數學歸納法進行證明.18．（12分）已知函數是定義在的奇函數（其中是自然對數的底數）.（1）求實數的值；（2）若，求實數的取值范圍.19．（12分）汽車尾氣中含有一氧化碳，碳氫化合物等污染物，是環境污染的主要因素之一，汽車在使用若干年之后排放的尾氣之中的污染物會出現遞增的現象，所以國家根據機動車使用和安全技術、排放檢驗狀況，對達到報廢標準的機動車實施強制報廢，某環境組織為了解公眾對機動車強制報廢標準的了解情況，隨機調查了人，所得數據制成如下列聯表：（1）若從這人中任選人，選到了解強制報廢標準的人的概率為，問是否在犯錯的概率不超過5﹪的前提下認為“機動車強制報廢標準是否了解與性別有關”？（2）該環保組織從相關部門獲得某型號汽車的使用年限與排放的尾氣中濃度的數據，并制成如圖所示的折線圖，若該型號汽車的使用年限不超過年，可近似認為排放的尾氣中濃度﹪與使用年限線性相關，確定與的回歸方程，并預測該型號的汽車使用年排放尾氣中的濃度是使用年的多少倍.附：，0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）某商場舉行促銷活動，有兩個摸獎箱，箱內有一個“”號球，兩個“”號球，三個“”號球、四個無號球，箱內有五個“”號球，五個“”號球，每次摸獎后放回，每位顧客消費額滿元有一次箱內摸獎機會，消費額滿元有一次箱內摸獎機會，摸得有數字的球則中獎，“”號球獎元，“”號球獎元，“”號球獎元，摸得無號球則沒有獎金．（1）經統計，顧客消費額服從正態分布，某天有位顧客，請估計消費額（單位：元）在區間內并中獎的人數.（結果四舍五入取整數）附：若，則，.（2）某三位顧客各有一次箱內摸獎機會，求其中中獎人數的分布列.（3）某顧客消費額為元，有兩種摸獎方法，方法一：三次箱內摸獎機會；方法二：一次箱內摸獎機會.請問：這位顧客選哪一種方法所得獎金的期望值較大.21．（12分）若存在常數（），使得對定義域內的任意，（），都有成立，則稱函數在其定義域上是“利普希茲條件函數”.（1）判斷函數是否是“利普希茲條件函數”，若是，請證明，若不是，請說明理由；（2）若函數（）是“利普希茲條件函數”，求常數的最小值；（3）若（）是周期為2的“利普希茲條件函數”，證明：對任意的實數，，都有.22．（10分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先求，再確定對應點所在象限【詳解】，對應點為，在第三象限，選C.本題考查向量線性運算以及復數幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.2、D【解析】

根據函數為非偶函數可排除兩個選項，再根據特殊值可區分剩余兩個選項.【詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區分函數圖象，屬于中檔題.3、A【解析】

利用次獨立重復實驗中恰好發生次的概率計算公式以及方差的計算公式，即可得到結果。【詳解】由題可得隨機變量服從二項分布；由，可得：，解得：故答案選A本題主要考查二項分布概率和方差的計算公式，屬于基礎題。4、D【解析】分析：由題意結合對數函數的性質整理計算即可求得最終結果.詳解：由題意結合對數函數的性質可知：，，，據此可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數冪的大小的比較，我們通常都是運用指數函數的單調性，但很多時候，因冪的底數或指數不相同，不能直接利用函數的單調性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數冪的大小比較時，若底數不同，則首先考慮將其轉化成同底數，然后再根據指數函數的單調性進行判斷．對于不同底而同指數的指數冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確．5、D【解析】

根據題意，可知甲獲勝情況有三種：第一局勝、第二局勝，第一局勝、第二局負、第三局勝，第一局負、第二局勝、第三局勝，由互斥事件概率加法運算即可求解.【詳解】甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規則為“3局2勝”，即先贏2局者為勝，甲在每局比賽中獲勝的概率為，則甲獲勝有以下三種情況：第一局勝、第二局勝，則甲獲勝概率為；第一局勝、第二局負、第三局勝，則甲獲勝概率為；第一局負、第二局勝、第三局勝，則甲獲勝概率為；綜上可知甲獲勝概率為，故選：D.本題考查了互斥事件概率求法，概率加法公式的應用，屬于基礎題.6、D【解析】

先計算每個同學的報名方法種數,利用乘法原理得到答案.【詳解】A同學可以參加航模、機器人、網頁制作三個興趣小組,共有3種選擇.同理BCDE四位同學也各有3種選擇,乘法原理得到答案為D本題考查了分步乘法乘法計數原理,屬于簡單題目.7、B【解析】

利用不等式性質判斷或者舉反例即可.【詳解】對A,當時不滿足對B,因為則成立.故B正確.對C,當時不滿足,故不成立.對D,當時不滿足,故不成立.故選：B本題主要考查了不等式的性質運用等,屬于基礎題型.8、B【解析】

根據個位是和分成兩種情況進行分類討論，由此計算出所有可能的沒有重復數字的四位偶數的個數.【詳解】當0在個位數上時，有個；當2在個位數上時，首位從5，3中選1，有兩種選擇，剩余兩個數在中間排列有2種方式，所以有個所以共有10個．故選：B本小題主要考查簡單排列組合的計算，屬于基礎題.9、B【解析】

把18個人平均分成2組，再從每組里任意指定正、副組長各1人，即從9人中選一個正組長，甲被選定為正組長的概率，與組里每個人被選中的概率相等．【詳解】由題意知，把18個人平均分成2組，再從每組里任意指定正、副組長各1人，即從9個人中選一個正組長，∴甲被選定為正組長的概率是．故選B．本題考查了等可能事件的概率應用問題，是基礎題目．10、A【解析】

先求解出的共軛復數，然后直接判斷出的虛部即可.【詳解】因為，所以，所以的虛部為.故選：A.本題考查共軛復數的概念以及復數的實虛部的認識，難度較易.復數的實部為，虛部為.11、B【解析】

利用全稱命題的否定是特稱命題來判斷.【詳解】解：命題p：，，則：，.故選：B.本題考查特稱命題的否定，注意特稱命題的否定要變全稱命題，并且要否定結論，是基礎題.12、B【解析】輸入參數第一次循環，，滿足，繼續循環第二次循環，，滿足，繼續循環第三次循環，，滿足，繼續循環第四次循環，，滿足，繼續循環第五次循環，，滿足，繼續循環第六次循環，，滿足，繼續循環第七次循環，，滿足，繼續循環第八次循環，，滿足，繼續循環第九次循環，，不滿足，跳出循環，輸出故選B點睛：此類問題的一般解法是嚴格按照程序框圖設計的計算步驟逐步計算，逐次判斷是否滿足判斷框內的條件，決定循環是否結束．要注意初始值的變化，分清計數變量與累加(乘)變量，掌握循環體等關鍵環節．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

至少出現2次針尖向上包括：出現2次針尖向上和出現3次針尖向上，分別求出它們的概率，根據互斥事件概率加法公式，可得答案．【詳解】∵投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為0.6，針尖向下的概率為0.1．∴連續擲一枚圖釘3次，出現2次針尖向上的概率為：0.132，出現3次針尖向上的概率為：0.216，故至少出現2次針尖向上的概率，故答案為：．本題考查的知識點是互斥事件概率加法公式，先求出出現2次針尖向上和出現3次針尖向上的概率，是解答的關鍵．14、；【解析】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AE與CD1所成角的余弦值．【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），C（0，2，0），D1（0，0，2），（0，2，1），（0，﹣2，2），設AE與CD1所成角為θ，則cosθ，∴AE與CD1所成角的余弦值為．故答案為．本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．15、【解析】

通過分析恰有一個白球分為兩類：“甲中一白球乙中一黑球”，“甲中一黑球乙中一白球”，于是分別計算概率相加即得答案.【詳解】恰有一個白球分為兩類：甲中一白球乙中一黑球，甲中一黑球乙中一白球．甲中一白球乙中一黑球概率為：，甲中一黑球乙中一白球概率為：，故所求概率為.本題主要考查乘法原理和加法原理的相關計算，難度不大，意在考查學生的分析能力，計算能力.16、.【解析】

先化簡得到數列{an}是一個等比數列和其公比，再求數列{an}的前n項和.【詳解】因為，所以，因為數列各項是正項，所以，所以數列是等比數列，且其公比為3，所以數列{an}的前n項和為.故答案為：（1）本題主要考查等比數列性質的判定，考查等比數列的前n項和，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)解答本題的關鍵是得到.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），證明見解析.【解析】

（1）由題可得前4項，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四項和的規律可猜想，由數學歸納法，即可做出證明，得到結論。【詳解】（1）計算，.（2）猜想.證明：①當時，左邊，右邊，猜想成立.②假設猜想成立，即成立，那么當時，，而，故當時，猜想也成立.由①②可知，對于，猜想都成立.本題主要考查了歸納、猜想與數學歸納法的證明方法，其中解答中明確數學歸納證明方法：（1）驗證時成立；（2）假設當時成立，證得也成立；（3）得到證明的結論．其中在到的推理中必須使用歸納假設．著重考查了推理與論證能力．18、（1）1；（2）.【解析】

（1）因為函數是上的奇函數，故可得方程，從而可得的值，然后再對的值進行驗證；（2）根據導數可求出函數為單調遞增函數，又由于函數為奇函數，故將不等式轉化為，再根據函數的定義域建立出不等式組，從而得出的取值范圍．【詳解】解：（1）是定義在的奇函數，，當m=1時，，.（2）,且，當且僅當時，取“=”，在恒成立，在單調遞增，又函數為奇函數，,.本題考查了函數性質的綜合運用能力，解題的關鍵是要能夠準確地求出函數的奇偶性與單調性，函數奇偶性的常見判斷方法是定義法、特殊值法等，函數單調性常見的判斷方法是定義法、導數法等．19、（1）可以在犯錯的概率不超過5﹪的前提下認為“機動車強制報廢標準是否了解與性別有關”（2）；預測該型號的汽車使用12年排放尾氣中的濃度是使用4年的4.2倍.【解析】

（1）根據題意計算，再利用，計算出，對照臨界值得出結論；（2）由公式計算出，可得y關于t的回歸方程，把t=12代入回歸方程中，可預測該型號的汽車使用12年排放尾氣中的濃度，即得。【詳解】（1）設“從100人中任選1人，選到了解機動車強制報廢標準的人”為事件，由已知得，解得，所以，，.假設：機動車強制報廢標準是否了解與性別無關.由2×2列聯表可知，的觀測值，∴可以在犯錯的概率不超過5﹪的前提下認為“機動車強制報廢標準是否了解與性別有關”（2）由折線圖中所給數據計算，得，，故，，所以所求回歸方程為.故預測該型號的汽車使用12年排放尾氣中的濃度為，因為使用4年排放尾氣中的濃度為，所以預測該型號的汽車使用12年排放尾氣中的濃度是使用4年的4.2倍.本題考查列聯表與獨立性檢驗的應用，以及線性回歸方程的求法，解題的關鍵是熟練掌握公式，考查學生基本的計算能力，屬于中檔題。20、(1)中獎的人數約為人.(2)分布列見解析.(3)這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大.【解析】分析：（1）依題意得，，得，消費額在區間內的顧客有一次箱內摸獎機會，中獎率為，人數約，可得其中中獎的人數；（2）三位顧客每人一次箱內摸獎中獎率都為，三人中中獎人數服從二項分布，，，從而可得分布列；（3）利用數學期望的計算公式算出兩種方法所得獎金的期望值即可得出結論.詳解：（1）依題意得，，得，消費額在區間內的顧客有一次箱內摸獎機會，中獎率為人數約人其中中獎的人數約為人（2）三位顧客每人一次箱內摸獎中獎率都為，三人中中獎人數服從二項分布，，故的分布列為（或）（或）（或）（或）（3）箱摸一次所得獎金的期望為箱摸一次所得獎金的期望為方法一所得獎金的期望值為，方法二所得獎金的期望值為，所以這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟：①“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義；②“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率加法公式、獨立事件的概率公式以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；③“寫分布列”，即按規范形式寫出分布列，并