山東省威海市示范名校2025年高二下數學期末經典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若對于任意實數，函數恒大于零，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．2．已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，則（?RP）∩Q=（）A． B． C． D．3．已知y與x及與的成對數據如下，且y關于x的回歸直線方程為，則關于的回歸直線方程為（）x12345y2345710203040502030405070A． B． C． D．4．下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是（）①是周期函數；②三角函數是周期函數；③是三角函數A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③②①5．下列結論錯誤的是（）A．命題“若p，則q”與命題“若￢q，則￢p”互為逆否命題B．命題p：，，命題q：，，則“”為真C．“若，則”的逆命題為真命題D．命題P：“，使得”的否定為￢P：“，6．設函數,（）A．3 B．6 C．9 D．127．抽查10件產品，設事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為（）A．至多兩件次品 B．至多一件次品C．至多兩件正品 D．至少兩件正品8．正切函數是奇函數，是正切函數，因此是奇函數，以上推理（）A．結論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．以上均不正確9．已知圓(x+1)2+y2=12的圓心為C，點P是直線l:mx-y-5m+4=0上的點，若圓C上存在點Q使∠CPQ=A．1-306C．0,12510．已知點F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N，若M是FN的中點，則M點的縱坐標為（）A．2 B．4 C．±2 D．±411．設集合,,,則集合中元素的個數為()A． B． C． D．12．若展開式的常數項為60，則值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知在R上不是單調增函數，那么實數的取值范圍是____．14．已知地球半徑為，地球上兩個城市、，城市位于東經30°北緯45°，城市位于西經60°北緯45°，則城市、之間的球面距離為________15．已知拋物線y2=4x的準線與雙曲線x2a2-y216．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員先后搶4個不相同的紅包，每人最多搶一個紅包，且紅包全被搶光，則甲乙兩人都搶到紅包的情況有________種三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：在左、右焦點分別為，，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標原點）.18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）判斷△ABC的形狀；（2）若，求的取值范圍．19．（12分）若函數,當時,函數有極值為.(1)求函數的解析式；(2)若有個解,求實數的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為線段的中點，為線段上的一點.（1）證明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.21．（12分）某學校高三年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在內，發布成績使用等級制，各等級劃分標準見下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級ABCD規定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級為了解該校高三年級學生身體素質情況，從中抽取了n名學生的原始成績作為樣本進行統計．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分數在80分及以上的所有數據的莖葉圖如圖2所示求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率；根據頻率分布直方圖，求成績的中位數精確到；在選取的樣本中，從A，D兩個等級的學生中隨機抽取2名學生進行調研，求至少有一名學生是A等級的概率．22．（10分）函數．當時，求函數的極值；若，設，若存在，使得成立，求實數a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

求出函數的導數，根據導數的符號求出函數的單調區間，求出最值，即可得到實數的取值范圍【詳解】當時，恒成立若，為任意實數，恒成立若時，恒成立即當時，恒成立，設，則當時，，則在上單調遞增當時，，則在上單調遞減當時，取得最大值為則要使時，恒成立，的取值范圍是故選本題以函數為載體，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離含參量，運用導數求得新函數的最值，繼而求出結果，當然本題也可以不分離參量來求解，依然運用導數來分類討論最值情況。2、C【解析】

先化簡集合A，再求，進而求.【詳解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由題意得，=（0,2），∴，故選C.本題考查的是有關集合的運算的問題，在解題的過程中，要先化簡集合，明確集合的運算法則，進而求得結果．3、D【解析】

先由題意求出與，根據回歸直線過樣本中心，即可得出結果.【詳解】由題意可得：，，因為回歸直線方程過樣本中心，根據題中選項，所以關于的回歸直線方程為.故選D本題主要考查回歸直線方程，熟記回歸直線方程的意義即可，屬于常考題型.4、A【解析】

根據“三段論”的排列模式：“大前提”“小前提”“結論”，分析即可得到正確的順序.【詳解】根據“三段論”的排列模式：“大前提”“小前提”“結論”，可知：①是周期函數是“結論”；②三角函數是周期函數是“大前提”；③是三角函數是“小前提”；故“三段論”模式排列順序為②③①.故選：A本題考查了演繹推理的模式，需理解演繹推理的概念，屬于基礎題.5、C【解析】

由逆否命題的定義即可判斷A；由指數函數的單調性和二次函數的值域求法，可判斷B；由命題的逆命題，可得m＝0不成立，可判斷C；運用命題的否定形式可判斷D．【詳解】解：命題“若p則q”與命題“若￢q則￢p”互為逆否命題，故A正確；命題，，由，可得p真；命題，，由于，則q假，則“”為真，故B正確；“若，則”的逆命題為“若，則”錯誤，如果，不成立，故C不正確；命題P：“，使得”的否定為￢P：“，”，故D正確．故選：C．本題考查四種命題和命題的否定，考查判斷能力和運算能力，屬于基礎題．6、C【解析】.故選C.7、B【解析】試題分析：事件A不包含沒有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的對立事件為至多一件次品．故B正確．考點：對立事件．8、C【解析】

根據三段論的要求：找出大前提，小前提，結論，再判斷正誤即可。【詳解】大前提：正切函數是奇函數，正確；小前提：是正切函數，因為該函數為復合函數，故錯誤；結論：是奇函數，該函數為偶函數，故錯誤；結合三段論可得小前提不正確.故答案選C本題考查簡易邏輯，考查三段論，屬于基礎題。9、C【解析】

問題轉化為C到直線l的距離d?4.【詳解】如圖所示：過P作圓C的切線PR，切點為R，則∠CPQ?∠CPR，∴sin60°?sin∴CPmin?4，則C到直線l∴|-m-0-5m+4|m2故選：C．本題考查了直線與圓的位置關系，屬中檔題．10、C【解析】

求出拋物線的焦點坐標，推出M的坐標，然后求解，得到答案．【詳解】由題意，拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點，若為的中點，如圖所示，可知的橫坐標為1，則的縱坐標為，故選C．本題主要考查了拋物線的簡單性質的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．11、A【解析】

由題意可得出：從,,任選一個；或者從,任選一個；結合題中條件,確定對應的選法，即可得出結果．【詳解】解：根據條件得：從,,任選一個,從而,,任選一個,有種選法；或時,,有兩種選法；共種選法；C中元素有個．故選A．本題主要考查列舉法求集合中元素個數，熟記概念即可，屬于基礎題型.12、D【解析】

由二項式展開式的通項公式寫出第項，求出常數項的系數，列方程即可求解.【詳解】因為展開式的通項為，令，則，所以常數項為，即，所以.故選D本題主要考查二項式定理的應用，熟記二項展開式的通項即可求解，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解析】

根據函數單調性和導數之間的關系，轉化為f′（x）≥0不恒成立，即可得到結論．【詳解】∵函數yx3+mx2+（m+2）x+3，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2，∵函數yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函數，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立，∴判別式△＝4m2﹣4（m+2）＞0，∴m2﹣m﹣2＞0，即m＜﹣1或m＞2，故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．本題考查了利用導數研究函數的單調性問題，考查了轉化思想，考查了二次不等式恒成立的問題，屬于中檔題．14、【解析】

欲求坐飛機從A城市飛到B城市的最短距離，即求出地球上這兩點間的球面距離即可.A、B兩地在同一緯度圈上，計算經度差，求出AB弦長，以及球心角，然后求出球面距離.即可得到答案.【詳解】由已知地球半徑為R，則北緯45°的緯線圈半徑為，

又∵兩座城市的經度分別為東經30°和西經60°，

故連接兩座城市的弦長，

則A，B兩地與地球球心O連線的夾角，

則A、B兩地之間的距離是.

故答案為：.本題考查球面距離及其他計算，考查空間想象能力，是基礎題.15、57【解析】分析：求得拋物線y2=4x的準線為x=﹣1，焦點F（1，0），把x=﹣1代入雙曲求得y的值，再根據△FAB為正三角形，可得tan30°=2a1-a詳解：已知拋物線y2=4x的準線為x=﹣1，焦點F（1，0），把x=﹣1代入雙曲線x2a2-再根據△FAB為正三角形，可得tan30°=33=2a1-故c2=34+4，∴c故答案為：573點睛：（1）本題主要考查橢圓、拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)求離心率常用的有直接法和方程法，本題利用的是直接法，直接先求a和c的值,再求離心率.16、72【解析】第一步甲乙搶到紅包，有種，第二步其余三人搶剩下的兩個紅包，有種，所以甲乙兩人都搶到紅包的情況有種．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、解（1）；（2）或.【解析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結合性質，列出關于、的方程組，求出、，即可得結果;（2）先證明直線的斜率存在，設直線的方程為，與橢圓方程聯立消去，利用弦長公式可得，化簡得.原點到直線的距離為，的面積，當最大時，的面積最大.由，利用二次函數的性質可得結果.【詳解】（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，，從而，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，當軸時，，則為橢圓的短軸，故有，，三點共線，不合題意.所以直線的斜率存在，設直線的方程為，點，點，聯立方程組消去，得，所以有，，則，即，化簡得.因為，所以有且.原點到直線的距離為，的面積，所以當最大時，的面積最大.因為，而，所以當時，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.求橢圓標準方程的方法一般為待定系數法,根據條件確定關于的方程組，解出從而寫出橢圓的標準方程．解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.18、(1)△ABC為的直角三角形．(2).【解析】

分析：（1）由已知條件結合正弦定理對已知化簡可求得角的值，進而可判斷三角形的形狀；（2）由輔助角公式對已知函數先化簡，然后代入可求得，結合（1）中的角求得角的范圍，然后結合正弦函數的性質，即可求解．【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，所以．因為在△ABC中，，所以又，所以，．所以△ABC為的直角三角形．（2）因為=．所以．因為△ABC是的直角三角形，所以，且，所以當時，有最小值是．所以的取值范圍是．點睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數的導數，利用函數在某個點取得極值的條件，得到方程組，求得的值，從而得到函數的解析式；（2）利用函數的單調性以及極值，通過有三個不等的實數解，求得的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，由時，函數有極值，得，即，解得所以；（2）由（1）知，所以，所以函數在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，當時，有極大值；當時，有極小值，因為關于的方程有三個不等實根，所以函數的圖象與直線有三個交點，則的取值范圍是.該題考查的是有關應用導數研究函數的問題，涉及到的知識點有函數在極值點處的導數為0，利用條件求函數解析式，利用導數研究函數的單調性與極值，將方程根的個數轉化為圖象交點的個數來解決，屬于中檔題目.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由得平面PAE，進而可得證；（2）先證得平面，設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面的法向量為和，設與平面所成角為，則，代入計算即可得解.【詳解】（1）證明：連接，因為，為線段的中點，所以.又，，所以為等邊三角形，.因為，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：設，則，因為，所以，同理可證，所以平面.如圖，設，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.易知為二面角的平面角，所以，從而.由，得.又由，，知，.設平面的法向量為，由，，得，不妨設，得.又，，所以.設與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.用向量法求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.21、（1），；合格等級的概率為；（2）中位數為；（3）【解析】

由題意求出樣本容量，再計算x、y的值，用頻率估計概率值；根據頻率分布直方圖，計算成績的中位數即可；由莖葉圖中的數據，利用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值．【詳解】由題意知，樣本容量，，；因為成績是合格等級人數為：人，抽取的50人中成績是合格等級的概