上海高中2025屆高二下數學期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B．C． D．2．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線右支上的點，且，若坐標原點到直線的距離等于實半軸長，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．3．展開式中的系數為（）A．15 B．20 C．30 D．354．若全集，集合，則（）A． B． C． D．5．已知函數（其中為自然對數的底數），則不等式的解集為（）A． B．C． D．6．如果（，表示虛數單位），那么()A．1 B． C．2 D．07．設等比數列的前n項和為，公比，則（）A． B． C． D．8．圓ρ=8sinθ的圓心到直線A．2 B．3 C．2 D．29．設a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，則（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c10．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－811．某學校為了調查高三年級的200名文科學生完成課后作業所需時間,采取了兩種抽樣調查的方式:第一種由學生會的同學隨機抽取20名同學進行調查;第二種由教務處對該年級的文科學生進行編號,從001到200,抽取學號最后一位為2的同學進行調查,則這兩種抽樣的方法依次為()A．分層抽樣,簡單隨機抽樣 B．簡單隨機抽樣,分層抽樣C．分層抽樣,系統抽樣 D．簡單隨機抽樣,系統抽樣12．給出下列三個命題：①“若，則”為假命題；②若為真命題，則,均為真命題；③命題，則.其中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數滿足，則的取值范圍是________14．平面直角坐標系中點（1,2）到直線的距離為_________15．已知二項式展開式的第項與第項之和為零，那么等于____________.16．某單位有職工52人，現將所有職工按1、2、3、…、52隨機編號，若采用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知6號、32號、45號職工在樣本中，則樣本中還有一個職工的編號是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設，函數.（1）若，極大值；（2）若無零點，求實數的取值范圍；（3）若有兩個相異零點，，求證：.18．（12分）如圖，過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，點和點分別為橢圓的右頂點和上頂點，．（1）求橢圓的離心率；（2）過右焦點作一條弦，使，若的面積為，求橢圓的方程．19．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）證明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．20．（12分）某學校高三年級有學生1000名，經調查，其中750名同學經常參加體育鍛煉（稱為A類同學），另外250名同學不經常參加體育鍛煉（稱為B類同學），現用分層抽樣方法（按A類、B類分兩層）從該年級的學生中抽查100名同學．如果以身高達到165厘米作為達標的標準，對抽取的100名學生進行統計，得到以下列聯表：身高達標身高不達標總計積極參加體育鍛煉40不積極參加體育鍛煉15總計100（1）完成上表；（2）能否有犯錯率不超過0.05的前提下認為體育鍛煉與身高達標有關系？（的觀測值精確到0.001）．參考公式：，參考數據：P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82821．（12分）已知函數（I）求在（為自然對數的底數）處的切線方程.（II）求的最小值.22．（10分）已知拋物線，過定點作不垂直于x軸的直線，交拋物線于A，B兩點.（1）設O為坐標原點，求證：為定值；（2）設線段的垂直分線與x軸交于點，求n的取值范圍；（3）設點A關于x軸的對稱點為D，求證：直線過定點，并求出定點的坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

求解不等式可得，據此結合交集、并集、子集的定義考查所給的選項是否正確即可.【詳解】求解不等式可得，則：，選項A錯誤；，選項B錯誤；，選項C錯誤，選項D正確；故選：D.本題主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定義及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、B【解析】

利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與c之間的等量關系，進而求出雙曲線的離心率.【詳解】如圖，，，依題意，，

且，可知三角形是一個等腰直角三角形，

，，

在中，由余弦定理可得：

，

化簡得，

該雙曲線的離心率為．

故選：B．本題主要考查余弦定理，雙曲線的定義、簡單幾何性質，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考查，屬中檔題．3、C【解析】

利用多項式乘法將式子展開,根據二項式定理展開式的通項即可求得的系數.【詳解】根據二項式定理展開式通項為則展開式的通項為則展開式中的項為則展開式中的系數為故選:C本題考查了二項定理展開式的應用,指定項系數的求法,屬于基礎題.4、C【解析】

分別化簡求解集合U,A，再求補集即可【詳解】因為，，所以.故選：C本題考查集合的運算，考查運算求解能力.5、D【解析】

求導得到，函數單調遞減，故，解得答案.【詳解】，則恒成立，故函數單調遞減，，故，解得或.故選：.本題考查了根據導數確定函數單調性，根據單調性解不等式，意在考查學生對于函數性質的靈活運用.6、B【解析】分析：復數方程左邊分子、分母同乘分母的共軛復數，化簡為的形式，利用復數相等求出即可詳解：解得故選點睛：本題主要考查了復數相等的充要條件，運用復數的乘除法運算法則求出復數的表達式，令其實部與虛部分別相等即可求出答案．7、D【解析】

由等比數列的通項公式與前項和公式分別表示出與，化簡即可得到的值【詳解】因為等比數列的公比，則，故選D．本題考查等比數列的通項公式與前項和公式，屬于基礎題。8、C【解析】

先把圓和直線的極坐標方程化成直角坐標方程，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由ρ=8sinθ得x2+y直線tanθ=3的直角坐標方程為所以圓心到直線3x-y=0的距離為0-4故選：C本題主要考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查點到直線的距離的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.9、D【解析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大單調增，所以又因為所以b<a所以b<a<c.故選D．10、C【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.11、D【解析】第一種抽樣是簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣是指從樣本中隨機抽取一個，其特點是容量不要太多．第二種是系統抽樣，系統抽樣就是指像機器一樣的抽取物品，每隔一段時間或距離抽取一個．而分層抽樣，必需是有明顯的分段性，然后按等比例進行抽取．故選D12、B【解析】試題分析：①若，則且，所以①正確；②若為真命題，則，應至少有一個是真命題，所以②錯；③正確．考點：1.四種命題；2.命題的否定．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：由復數的幾何意義解得點的軌跡為以為端點的線段，表示線段上的點到的距離，根據數形結合思想，結合點到直線距離公式可得結果.詳解：因為復數滿足，在復平面內設復數對應的點為，則到的距離之和為，所以點的軌跡為以為端點的線段，表示線段上的點到的距離，可得最小距離是與的距離，等于；最大距離是與的距離，等于；即的取值范圍是，故答案為.點睛：本題考查復數的模，復數的幾何意義，是基礎題.復數的模的幾何意義是復平面內兩點間的距離，所以若，則表示點與點的距離，表示以為圓心，以為半徑的圓.14、【解析】

根據點到直線的距離公式完成計算即可.【詳解】因為點為，直線為，所以點到直線的距離為：.故答案為：.本題考查點到直線距離公式的運用，難度較易.已知點，直線，則點到直線的距離為：.15、1【解析】

用項式定理展開式通項公式求得第4項和第5項，由其和為0求得．【詳解】二項式展開式的第項為，第5項為，∴，解得．故答案為：1．本題考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式，屬于基礎題．16、19【解析】按系統抽樣方法，分成4段的間隔為＝13，顯然在第一段中抽取的起始個體編號為6，第二段應將編號6＋13＝19的個體抽出．這就是所要求的．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】分析：（1），根據導數的符號可知的極大值為；（2），就分類討論即可；（3）根據可以得到，因此原不等式的證明可化為，可用導數證明該不等式.詳解:（1）當時，，當時，，當時，，故的極大值為.（2），①若時，則，是區間上的增函數，∵，，∴，函數在區間有唯一零點；②若，有唯一零點；③若，令，得，在區間上，，函數是增函數；在區間上，，函數是減函數；故在區間上，的極大值為，由于無零點，須使，解得，故所求實數的取值范圍是．（3）由已知得，所以，故等價于即．不妨設，令，，則，在上為單調增函數，所以即，也就是，故原不等式成立．點睛：導數背景下的函數零點個數問題，應該根據單調性和零點存在定理來說明．而要證明零點滿足的不等式，則需要根據零點滿足的等式構建新的目標等式，從而把要求證的不等式轉化為易證的不等式．18、（1）；（2）．【解析】

（1）由可得，計算進而得答案。（2）設直線的方程，聯立方程組，利用韋達定理，代入的面積公式計算整理即可。【詳解】（1），，，，，解得，，故．（2）由（1）知橢圓方程可化簡為．①易求直線的斜率為，故可設直線的方程為：．②由①②消去得．，．于是的面積，．因此橢圓的方程為，即本題考查橢圓的離心率以及通過弦長公式求橢圓的相關量，屬于一般題。19、（1）見解析（2）.【解析】

試題分析：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立坐標系，可得，，的坐標，設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即為所求正弦值．解：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，因為CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以OA1⊥AB，又因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立如圖所示的坐標系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．考點：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．20、(1)身高達標身高不達標總計積極參加體育鍛煉403575不積極參加體育鍛煉101525總計5050100(2)不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為體育鍛煉與身高達標有關系．【解析】

（1）由分層抽樣的計算方法可求得積極參加鍛煉與不積極參加鍛煉的人數，填入表格中，根據表格中的總計及各項值求出其它值即可；（2）由公式計算出，與參考數據表格中3.841作比較，若小于3.841則不可以，若大于3.841則可以.【詳解】（Ⅰ）填寫列聯表如下：身高達標身高不達標總計積極參加體育鍛煉403575不積極參加體育鍛煉101525總計5050100（Ⅱ）K2的觀測值為≈1.333＜3.841.所以不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為體育鍛煉與身高達標有關系．本題考查獨立性檢驗，根據抽樣方法進行計算填表，將數值