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文檔簡介
河南省許昌市示范初中2025屆數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若=(4,2,3)是直線l的方向向量,=(-1,3,0)是平面α的法向量,則直線l與平面α的位置關(guān)系是A.垂直 B.平行C.直線l在平面α內(nèi) D.相交但不垂直2.黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線,是自然界最美的鬼斧神工。就是在一個黃金矩形(寬除以長約等于0.6的矩形)先以寬為邊長做一個正方形,然后再在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長做一個正方形,以此循環(huán)做下去,最后在所形成的每個正方形里面畫出1/4圓,把圓弧線順序連接,得到的這條弧線就是“黃金螺旋曲線了。著名的“蒙娜麗莎”便是符合這個比例,現(xiàn)把每一段黃金螺旋線與其每段所在的正方形所圍成的扇形面積設(shè)為,每扇形的半徑設(shè)為滿足,若將的每一項按照上圖方法放進(jìn)格子里,每一小格子的邊長為1,記前項所占的對應(yīng)正方形格子的面積之和為,則下列結(jié)論錯誤的是()A. B.C. D.3.如圖,在正方形中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為邊,的中點(diǎn),將、分別沿、所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折的過程中,下列說法錯誤是()A.存在某個位置,使得直線與直線所成的角為B.存在某個位置,使得直線與直線所成的角為C.A、C兩點(diǎn)都不可能重合D.存在某個位置,使得直線垂直于直線4.在一次抗洪搶險中,準(zhǔn)備用射擊的方法引爆漂流的汽油桶?,F(xiàn)有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射擊相互獨(dú)立,且命中概率都是。則打光子彈的概率是()A. B. C. D.5.把18個人平均分成兩組,每組任意指定正副組長各1人,則甲被指定為正組長的概率為()A. B. C. D.6.某校教學(xué)大樓共有5層,每層均有2個樓梯,則由一樓至五樓的不同走法共有()A.24種B.52種C.10種D.7種7.已知關(guān)于的方程為(其中),則此方程實根的個數(shù)為()A.2 B.2或3 C.3 D.3或48.為了得到的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位9.兩個線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:x99.51010.511y1110865其回歸直線方程是,則相對應(yīng)于點(diǎn)(11,5)的殘差為()A.0.1 B.0.2 C.﹣0.1 D.﹣0.210.已知,,,則實數(shù)的大小關(guān)系是()A. B. C. D.11.已知函數(shù)是(-∞,+∞)上的減函數(shù),則a的取值范圍是A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]12.已知函數(shù),若,均在[1,4]內(nèi),且,,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“”是“”的_______條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一個)14.已知在平面內(nèi),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.根據(jù)類比推理,在空間中,點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.15._____16.展開二項式,其常數(shù)項為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)隨著智能手機(jī)的普及,各類手機(jī)娛樂軟件也如雨后春筍般涌現(xiàn).如表中統(tǒng)計的是某手機(jī)娛樂軟件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注冊用戶數(shù),記月份代碼為(如對應(yīng)于2018年8月份,對應(yīng)于2018年9月份,…,對應(yīng)于2019年4月份),月新注冊用戶數(shù)為(單位:百萬人)(1)請依據(jù)上表的統(tǒng)計數(shù)據(jù),判斷月新注冊用戶與月份線性相關(guān)性的強(qiáng)弱;(2)求出月新注冊用戶關(guān)于月份的線性回歸方程,并預(yù)測2019年5月份的新注冊用戶總數(shù).參考數(shù)據(jù):,,.回歸直線的斜率和截距公式:,.相關(guān)系數(shù)(當(dāng)時,認(rèn)為兩相關(guān)變量相關(guān)性很強(qiáng).)注意:兩問的計算結(jié)果均保留兩位小數(shù)18.(12分)已知函數(shù)(,e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若,求的最大值;(2)若在R上單調(diào)遞減,①求a的取值范圍;②當(dāng)時,證明:.19.(12分)已知函數(shù)在處取得極小值1.(1)求的解析式;(2)求在上的最值.20.(12分)已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),且滿足,(1)求的解析式;(2)已知,求函數(shù)在的最大值和最小值;函數(shù)的圖像上是否存在這樣的點(diǎn),其橫坐標(biāo)是正整數(shù),縱坐標(biāo)是一個完全平方數(shù)?如果存在,求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,圓的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)圓與直線交于,兩點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求.22.(10分)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為且.(1)求角(2)若求角及的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
判斷直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系,從而得直線與平面的位置關(guān)系.【詳解】顯然與不平行,因此直線與平面不垂直,又,即與不垂直,從而直線與平面不平行,故直線與平面相交但不垂直.故選D.本題考查用向量法判斷直線與平面的位置關(guān)系,方法是由直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系判斷,利用向量的共線定理和數(shù)量積運(yùn)算判斷直線的方向向量與平面的法向量是否平行和垂直,然后可得出直線與平面的位置關(guān)系.2、D【解析】
根據(jù)定義求數(shù)列和,利用化簡求解,利用特殊值否定結(jié)論.【詳解】由題意得為以為長和寬矩形的面積,即;;又,故正確;因為,所以D錯誤,選D.本題考查數(shù)列求和以及利用遞推關(guān)系化簡,考查綜合分析求解能力,屬較難題.3、D【解析】
在A中,可找到當(dāng)時,直線AF與直線CE垂直;在B中,由選項A可得線AF與直線CE所成的角可以從到,自然可取到;在C中,若A與C重合,則,推出矛盾;在D中,若AB⊥CD,可推出則,矛盾.【詳解】解:將DE平移與BF重合,如圖:在A中,若,又,則面,則,即當(dāng)時,直線AF與直線CE垂直,故A正確;
在B中,由選項A可得線AF與直線CE所成的角可以從到,必然會存在某個位置,使得直線AF與直線CE所成的角為60°,故B正確;在C中,若A與C重合,則,不符合題意,則A與C恒不重合,故C正確;
在D中,,又CB⊥CD,則CD⊥面ACB,所以AC⊥CD,即,又,則,矛盾,故D不成立;
故選:D.本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,是中檔題.4、B【解析】
打光所有子彈,分中0次、中一次、中2次?!驹斀狻?次中0次:5次中一次:5次中兩次:前4次中一次,最后一次必中則打光子彈的概率是++=,選B本題需理解打光所有子彈的含義:可能引爆,也可能未引爆。5、B【解析】
把18個人平均分成2組,再從每組里任意指定正、副組長各1人,即從9人中選一個正組長,甲被選定為正組長的概率,與組里每個人被選中的概率相等.【詳解】由題意知,把18個人平均分成2組,再從每組里任意指定正、副組長各1人,即從9個人中選一個正組長,∴甲被選定為正組長的概率是.故選B.本題考查了等可能事件的概率應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.6、A【解析】因為每層均有2個樓梯,所以每層有兩種不同的走法,由分步計數(shù)原理可知:從一樓至五樓共有24種不同走法.故選A.7、C【解析】分析:將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)的問題,然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.詳解:很明顯不是方程的根,據(jù)此可將方程變形為:,原問題等價于考查函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)的個數(shù),令,則,列表考查函數(shù)的性質(zhì)如下:++-++單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在有意義的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,故的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性一致,且函數(shù)的極值繪制函數(shù)圖像如圖所示,觀察可得,與函數(shù)恒有3個交點(diǎn),即題中方程實根的個數(shù)為3.本題選擇C選項.點(diǎn)睛:函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法:(1)直接求零點(diǎn):令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在性定理:利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn).(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù):將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差,畫兩個函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值,就有幾個不同的零點(diǎn).8、D【解析】
先利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一這兩個三角函數(shù)的名稱,再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,得出結(jié)論.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位,可得的圖象,故選D.本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,函數(shù)的圖象變換規(guī)律,統(tǒng)一這兩個三角函數(shù)的名稱,是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
求出樣本中心,代入回歸直線的方程,求得,得出回歸直線的方程,令,解得,進(jìn)而求解相應(yīng)點(diǎn)的殘差,得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),可得,把樣本中心代入回歸方程,即,解得,即回歸直線的方程為,令,解得,所以相應(yīng)點(diǎn)的殘差為,故選B.本題主要考查了回歸直線方程的求解及應(yīng)用,其中解答中正確求解回歸直線的方程,利用回歸直線的方程得出預(yù)測值是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
容易得出30.6>1,0<0.63<1,log0.63<0,從而可得出a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】∵30.6>30=1,0<0.63<0.60=1,log0.63<log0.61=0;∴a>b>c.故選:A.本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,熟記單調(diào)性是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題11、D【解析】
由為上的減函數(shù),根據(jù)和時,均單調(diào)遞減,且,即可求解.【詳解】因為函數(shù)為上的減函數(shù),所以當(dāng)時,遞減,即,當(dāng)時,遞減,即,且,解得,綜上可知實數(shù)的取值范圍是,故選D.本題主要靠考查了分段函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,其中熟練掌握分段的基本性質(zhì),列出相應(yīng)的不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
先求導(dǎo),利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合,確定;再利用,即,可得,,設(shè),,確定在上遞增,在有零點(diǎn),即可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】解:,當(dāng)時,恒成立,則f(x)在(0,+∞)上遞增,則f(x)不可能有兩個相等的函數(shù)值.故;由題設(shè),則=考慮到,即,設(shè),,則在上恒成立,在上遞增,在有零點(diǎn),則,,故實數(shù)的取值范圍是.本題考查了通過構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn),求參數(shù)取值范圍的問題,本題的難點(diǎn)是根據(jù)已知條件,以及,變形為,,然后構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、必要不充分【解析】
解出的解集,根據(jù)對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】,或“”是“”的必要不充分條件.故答案為:必要不充分本題考查充分、必要條件充分、必要條件的三種判斷方法:(1)定義法:根據(jù)進(jìn)行判斷.(2)集合法:根據(jù)成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)等價轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.14、【解析】
在空間中,點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn):軸不變,軸取相反數(shù).【詳解】在空間中,點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn):軸不變,軸取相反數(shù).點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為:本題考查了空間的對稱問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力.15、【解析】
根據(jù)積分運(yùn)算法則求,前者利用公式求解,后者所表示的幾何意義是以為圓心,2為半徑第一象限內(nèi)圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積,求出圓的面積乘以四分之一,兩者結(jié)果做和即可得解.【詳解】解:,由表示以為圓心,2為半徑的圓面積的,∴,,∴,故答案為:.本題主要考查了定積分,定積分運(yùn)算是求導(dǎo)的逆運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是求原函數(shù),也可利用幾何意義進(jìn)行求解,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
利用二項展開式通項,令的指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,再代入通項可得出二項式展開式的常數(shù)項.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得.所以,二項式展開式的常數(shù)項為,故答案為:.本題考查二項展開式中常數(shù)項的計算,解題時要充分利用二項式展開式通項,利用的指數(shù)來求解,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)月新注冊用戶與月份的線性相關(guān)性很強(qiáng);(2)10.06百萬【解析】
(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)和相關(guān)系數(shù)計算公式,計算出相關(guān)系數(shù),由此判斷出“月新注冊用戶與月份的線性相關(guān)性很強(qiáng)”.(2)根據(jù)回歸直線方程計算公式,計算出回歸直線方程,并利用回歸直線方程預(yù)測出2019年5月份的新注冊用戶總數(shù).【詳解】(1)由題意得,,,,,故.因為,所以月新注冊用戶與月份的線性相關(guān)性很強(qiáng).(2)由(1),,所以回歸方程為,令,得,即2019年5月份新注冊用戶預(yù)測值為10.06百萬人.本小題主要考查相關(guān)系數(shù)的計算,考查回歸直線方程的計算,考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.18、(1)1;(2)①,②證明見解析.【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系當(dāng),求出單調(diào)遞增區(qū)間,當(dāng),求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,進(jìn)而可求出最大值.(2)①求出對恒成立,化為對恒成立,記,討論值,求出的最小值即可證出;②由題意可得,即,兩邊取對數(shù)可得,下面采用分析法即可證出.【詳解】(1)時,時,,在上單調(diào)遞增時,,在上單調(diào)遞減(2)由①在R上單調(diào)遞減,對恒成立,即對恒成立,記,則對恒成立,當(dāng)時,,符題當(dāng)時,時,,在上單調(diào)遞減時,,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,時,,在上單調(diào)遞減時,,在上單調(diào)遞增;綜上:②當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,,,,.要證,即證下面證明令,,則,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,得證本題考查了導(dǎo)函數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,分析法證明不等式,考查了分類討論的思想,綜合性比較強(qiáng),屬于難題.19、(1)(2)最小值為1,最大值為2.【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù),結(jié)合在處取得極小值1,求得的值,由此求得解析式.(2)根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,求得在區(qū)間上的最值.【詳解】(1),由,得或.當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,符合題意,由,得;當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在處取得極大值,不符合題意.所以.(2)由(1)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因為,所以的最小值為1,最大值為2.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.20、(1);(2)當(dāng)時,,當(dāng),當(dāng),;當(dāng),;(3).【解析】
(1)由得到函數(shù)的對稱軸,所以,再根據(jù)函數(shù)所過的點(diǎn)得到c=11,進(jìn)而得到函數(shù)表達(dá)式;(2)根據(jù)函數(shù)表達(dá)式將絕對值去點(diǎn),寫成分段形式,討論t的范圍,進(jìn)而得到最值;設(shè)函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)符合要求其中則,從而,變形為,根據(jù)數(shù)據(jù)43為質(zhì)數(shù),故可得到結(jié)果.【詳解】(1)因為二次函數(shù)所以二次函數(shù)的對稱軸方程為,即,所以.又因為二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)所以,解得,因此,函數(shù)的解析式為.(2)由(1)知,=,所以,當(dāng)時,,當(dāng),當(dāng),當(dāng)
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