大學《線性代數》章節練習題及答案解析練習1.1（1.1矩陣及其運算）一、填空1．若，則（1） ； （2）.2.若矩陣滿足，則3.；二、設,，問：1.嗎?2.嗎?3.嗎?三、計算下列乘積：1．； 2．.四、設，，求.五、設，求.練習1.2（1.2行列式及其計算）一、填空1．；；2．四階行列式中含有因子的項為；3．；.二、證明:.三、計算下列各行列式（為階行列式）:1.，其中對角線上元素都是，未寫出的元素都是0；2.；3．；4．；5．，其中.練習1.3（1.3方陣的逆）一、填空題1．設為4階矩陣，且，則=．2．設，則=，=.3．已知矩陣滿足，則.二、計算題1．設，求；2．設，求.三、設的伴隨矩陣，且，其中為4階單位矩陣，求矩陣.四、證明題1．設方陣滿足，證明都可逆，并求.2．若為同階可逆矩陣，則.練習1.4（1.4Gramer法則）一、填空1．，齊次線性方程組有非零解？(或)齊次線性方程組有非零解，則.(或)二、利用克拉默法則解下列線性方程組：1．2．解,,,,,,第二章矩陣的初等變換與線性方程組2.1-2.3初等變換與初等矩陣、逆矩陣一、用初等變換將下列矩陣化為標準形:1．； 2．； 3．.解：利用矩陣的等價的階梯形矩陣與行最簡階梯形矩陣及標準型的非零行行數不變的性質，用初等變換將矩陣化為標準形時，只需化到階梯形矩陣，求得非零行行數即可寫出其標準型。1.非零行行數為2，所以其標準型為；2.，其對應的階梯形矩陣的非零行行數為3，所以其標準型為3.類似于以上做法，易得對應的階梯形矩陣的非零行行數為3所以其標準型為：二、填空題1．設為4階矩陣，且，則=．解：，得2．設，則=，=解：令，，，3．設方陣滿足：，其中，為單位矩陣，為伴隨矩陣，則=解：因為，所以三、計算題1．設，求.解：，2．設，求.解：,可知，（利用伴隨矩陣法，可得逆矩陣如下）3．已知矩陣滿足,求.解：即：四、設的伴隨矩陣，且，其中為4階單位矩陣，求矩陣.解：，又知，所以，，五、證明題1．設方陣滿足，證明都可逆，并求.解：由A2–A–2E=0，得A(A–E)=2E。故A可逆，且A–1=(A–E)。又由A2–A–2E=0得A+2E=A2，而A可逆。故A+2E可逆，且(A+2E)–1=(A2)–1=(A–1)2=(A–E)2。2．若為同階可逆矩陣，則.證明：因為即，左乘，得，又因為，所以，。2.4矩陣的秩一、證明同型矩陣與等價的充分必要條件是它們的秩相等.證明：設A、B的標準型為分別二、求下列矩陣的逆矩陣1．； 2．； 3．.解：用初等行變換法求逆矩陣三、求的秩解：，故(A)=3。四、設，當取何值時，；當取何值時，.解：故，k≠17時，R(A)=3，k=17時，R(A)=2<3。2.5線性方程組有解的判定定理一、判斷下列線性方程組是否有解，并在有解時求解1．； 2．；3．.解：第二章自測題一、選擇題1．設， ， ，，則必有（D）.（A） （B） （C） （D）2．設， ， ，，則（A）.（A） （B）（C） （D）3．當時，.（A） （B）（C） （D）解：選B4．設均為階非零矩陣，且，則它們的秩滿足（ ）.（A）必有一個等于零 （B）都小于（C）一個小于，一個等于 （D）都等于解：選Ｂ二、填空題1．；2．設，則；3．設，則與乘積可交換的矩陣.4．設，且，則=三、求的秩.四、設為三階方陣，其逆矩陣為，求的伴隨矩陣.五、問為何值時，方程組有唯一解，求出唯一解；無解；有無窮多解.六、設矩陣，矩陣滿足，試求矩陣.解：由AX+E=A2+X，得(A–E)X=A2–E，而A–E可逆，故X=A+E=第三章3.1-3.2維向量空間一、選擇題:1．設，則=（D ）時，有為的基（A） （B） （C） （D）解：2．已知中的向量，則在下的坐標是（ A）.（A） （B） （C） （D）解：3．下列集合構成的向量空間中，維數是的是（ B）.（A）偶數號碼的坐標相等的所有維向量（B）偶數號碼的坐標等于0的所有維向量（C）偶數號碼和奇數號碼的坐標分別相等的所有維向量（D）形如的所有維向量，其中為任意數解：二、驗證為的一個基，并把用這個基線性表示．解：作矩陣A=[12312]=故1，2，3為R3的一組基，且1=21+32–32=31–32–23三、設向量空間由生成，試求的一組標準正交基．解：先正交化：設1=1=(1,0,–1,1)T2=2–=(1,–1,0,1)T–(1,0,–1,1)T=3=3–=(–1,1,1,0)T–(1,0,–1,1)T–T=(–1,1,1,0)T+(1,0,–1,1)T+T=T=T再對以上向量標準化，得標準正交基為(1,0,–1,1)T(1,–3,2,1)T(–1,3,3,4)T四、試用向量內積的柯西—許瓦爾茲不等式證明：對于任意實數，成立．證：設=(|1|，|2|，…，|n|)T=(1,1,…)T由柯面一許瓦爾茲不等式知即五、設向量組B：能由向量組A：線性表示為其中為矩陣，且組線性無關.證明：B組線性無關的充分必要條件是矩陣的秩..3.3線性方程組的解一、求解下列齊次線性方程組:1． 2．3．二、求解下列非齊次線性方程組:1． 2． 3．三、取何值時，線性方程組有非零解，并求解．四、設，問為何值時，此方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求解．五、設，求使．自測題（第三章）一、填空題（3×4=12分）:1．設為3階非零矩陣，且，則=．解：，且（非零陣）的每一列向量都是方程組的解，知有非零解，所以，得t=－3.2．已知方程組有無窮多個解，則=．解：3．齊次線性方程組的系數矩陣經初等行變換化為，則方程組的解為．4．已知線性方程組的兩個解為，則該方程組的全部解為．二、選擇題（4×3=12分）:1．設是階實矩陣，是的轉置矩陣，則對于線性方程組（I）：和（II）：必有（A）.（A）（II）的解是（I）的解，（I）的解也是（II）的解（B）（II）的解是（I）的解，但（I）的解不是（II）的解（C）（I）的解不是（II）的解，（II）的解也不是（I）的解（D）（I）的解是（II）的解，但（II）的解不是（I）的解2．齊次線性方程組的系數矩陣記為，若存在3階非零矩陣，使，那么（C）.（A）且 （B）且（C）且 （D）且3．設是階矩陣，是維向量，若，則線性方程組（D）.（A）必有無窮多解 （B）必有唯一解（C）僅有零解 （D）必有非零解三、計算題（10×3=30分）:求齊次方程組的一個基礎解系和通解．解：一個基礎解系數為，，通解為x=。2．求非齊次方程組的通解．解：通解為3．已知4元非齊次線性方程組的3個解向量為，其中，，且其導出組的基礎解系僅含一個解向量，求該非齊次線性方程組的通解．解：由，得，于是，為對應齊次方程組的基礎所系，于是非齊方程組的通解為x=k。四、綜合題（12×2=24分）:1．設3階方陣（非零陣）的每一列向量都是方程組的解，（1）求的值；（2）求證．解：設，，且（非零陣）的每一列向量都是方程組的解，知有非零解，所以，得假設，則可逆，對的兩邊右乘，得，與Ａ不似零矩陣矛盾，所以原假設不成立，證得。2．已知齊次線性方程組（I），齊次線性方程組（II）的一個基礎解系為，，求（I）、（II）的公共非零解，并指明該公共非零解如何由（I）、（II）的基礎解系線性表示．解：方程組(1)的一個基礎解系為設k11+k22=k31+k42即而的秩為4，故k1=k2=k3=k4=0，即兩個齊次方程組無公共非零解。五、證明題（11×2=22分）:1．設和為階方陣，試證方程組與有完全相同的解．證明：若R(AB)=R(B)，則ABX=0與BX=0有相同維數的解空間，而BX=0的通解顯然是ABX=0的解，故BX=0的基礎解系亦為ABX=0的基礎解系數，即ABX=0與BX=0同解。若ABX=0與BX=0有完全相同的解，則它們的解空間的維數相同，故R(AB)=R(B)。2．設線性方程組(I)和(II)，其中為在行列式中的代數余子式，不全為零，試證：方程組(I)有唯一解的充要條件是方程組(II)有唯一解．證明：設A=，則此題本質上要證|A|≠0|(A*)T|≠0，而AA*=|A|E，由此可推出結論|A*|=|A|n–1，所以結論顯然。4.1.1正交矩陣與正交變換同步練習參考答案一、1、的列（行）向量組是正交單位向量組，或,或(或)為正交矩陣。2、或3、0二、是三、略四、略一、1、0，<，非零；2、，6，11，18；3、；4、-3，0．二、CB三、不為零；不為零；不為零.四、．五、略．六、略．4.2.1相似矩陣與矩陣可對角化的條件同步練習參考答案一、1、；2、；3、24．二、ABA三、（1）-4，-6，-12；（2）（3）-288；（4）72.四、．五、解：（1）