第11章簡單幾何體（單元提升卷）（滿分150分，完卷時間120分鐘）考生注意：1．本試卷含三個大題，共21題．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出解題的主要步驟．一、填空題1．若一個圓錐的母線長是底面半徑的3倍，則該圓錐的側面積是底面積的_________倍；【答案】3；【分析】分別計算側面積和底面積后再比較．【詳解】由題意，，，∴．故答案為3．【點睛】本題考查圓錐的側面積，掌握側面積計算公式是解題關鍵．屬于基礎題．2．若將兩個半徑為1的鐵球熔化后鑄成一個球，則該球的半徑為______．【答案】【分析】根據球的體積等于兩個半徑為1的球的體積之和即可求其半徑．【詳解】設大球的半徑為，則根據體積相同，可知，則，解得故答案為：．3．已知一個正四棱柱的底面邊長為，其側面的對角線長為，則這個正四棱柱的側面積為_________.【答案】【詳解】設正四棱柱的高（側棱長）為，因側面為矩形，故，，側面積為，填.4．若一個球的體積為，則該球的表面積為_________．【答案】【詳解】由題意，根據球的體積公式，則，解得，又根據球的表面積公式，所以該球的表面積為.5．直角梯形繞著它的垂直于底邊的腰所在的直線旋轉一周，形成的幾何體是_____．【答案】圓臺【分析】直接由圓臺的結構特征得答案．【詳解】由圓臺的結構特征，可知直角梯形繞著它的垂直于底邊的腰所在的直線旋轉一周，形成的幾何體是圓臺．故答案為圓臺．【點睛】本題考查圓臺的結構特征.6．已知一個四棱錐的高為3，其底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個邊長為1的正方形，則此四棱錐的體積為______．【答案】【分析】先依據斜二測畫法的規則求得四棱錐的底面積，再去求其體積即可.【詳解】依據斜二測畫法的規則，四棱錐的底面是邊長為1，高為的平行四邊形.則四棱錐的底面積為，此四棱錐的體積為故答案為：7．已知一個正四棱臺的上、下底面的邊長分別為1和2，其側面積恰等于兩底面積之和，則該正四棱臺的高為___________．【答案】.【分析】利用棱臺的高、斜高、邊心距構成直角梯形，即可求出．【詳解】設正四棱臺的高、斜高分別為h，x．所以，解得．再根據棱臺的高、斜高、邊心距構成直角梯形，可得，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查正四棱臺的結構特征的應用，屬于基礎題．8．若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等圓柱、球的表面積分別記為、則有______【答案】試題分析：設球的直徑為2R，則考點：球的表面積9．已知圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的體積為________.【答案】【分析】由側面展開圖求出圓錐的底面半徑和高，再由體積公式計算．【詳解】由題意圓錐的母線長為，設圓錐底面半徑為，則，，所以高為，體積為．故答案為：．10．（2022·全國·高二單元測試）已知一個凸多面體的平面展開圖由兩個正六邊形和六個正方形構成，如圖所示，若該凸多面體所有棱長均為，則其體積_____.【答案】【分析】由展開圖知該多面體是正六棱柱，由棱柱體積公式計算即得．【詳解】該多面體是一個底面邊長為1的正六邊形，高為1的正六棱柱.則底面六邊形的面積,如圖所示，在中，,,由余弦定理,所以,,則，故答案為：.【點睛】本題考查正六棱柱的表面展開圖，考查棱柱的體積．屬于基礎題．11．圓柱形容器內部盛有高度為的水，若放入一個球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒球（如圖所示），則球的半徑是________.【答案】3【分析】根據水的體積與球的體積之和為一個高為的圓柱的體積即可求解.【詳解】設球的半徑為，根據題意，水的體積與球的體積之和等于高為的圓柱的體積，所以，解得.故答案為：312．設是半徑為的球面上的四個不同點,且滿足,,,用分別表示△?△?△的面積,則的最大值是___________【答案】2【分析】由題意可知，三棱錐的頂點的三條直線兩兩垂直，可以擴展為長方體，對角線為球的直徑，設出三邊長度，表示出面積關系式，然后利用基本不等式，求出最大值.【詳解】解：設，因為兩兩互相垂直，擴展為長方體，它的對角線為球的直徑，所以，，即最大值為：2．故答案為：2.【點睛】本題是基礎題，考查球的內接多面體，基本不等式求最值問題，能夠把幾何體擴展為長方體，推知多面體的外接球是同一個球，是解題的關鍵.二、單選題13．直角三角形的三邊滿足，分別以，，三邊為軸將三角形旋轉一周所得旋轉體的體積記為、、，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出，，，推導出，從而得到．【詳解】直角三角形的三邊滿足，分別以、、三邊為軸將三角形旋轉一周所得旋轉體的體積記為、、，，，該直角三角形斜邊上的高滿足，可得，，，，，，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查旋轉體體積的大小比較，解題的關鍵就是確定旋轉體的形狀，并據此求出對應的旋轉體的體積，結合作差法比較即可.14．平行六面體的六個面都是菱形，那么點在面上的射影一定是的________心，點在面上的射影一定是的________心（

）A．外心、重心 B．內心、垂心 C．外心、垂心 D．內心、重心【答案】C【解析】將三棱錐、三棱錐分離出來單獨分析，根據線段長度以及線線關系證明的射影點分別是和的哪一種心.【詳解】三棱錐如下圖所示：記在面上的射影點為，連接，因為，又平面，所以，所以，所以為的外心；三棱錐如下圖所示：記在面上的射影點為，連接，因為，且四邊形是菱形，所以，所以，又因為平面，所以，所以平面，又因為平面，所以，同理可知：，所以為的垂心，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是通過的射影點去證明線段長度的關系、線段位置的關系，借助線面垂直的定義和判定定理去分析解答問題.15．如圖，正四面體的體積為，底面積為，是高的中點，過的平面與棱、、分別交于、、，設三棱錐的體積為，截面三角形的面積為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】設，取與重合時的情況，計算出以及的值，利用排除法可得出正確選項.【詳解】如圖所示，利用排除法，取與重合時的情況.不妨設，延長到，使得．，，，，則，由余弦定理得，，，又，，當平面平面時，，，排除B、D選項；因為，，此時，，當平面平面時，，，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、排除法，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于難題．16．已知半球與圓臺有公共的底面，圓臺上底面圓周在半球面上，半球的半徑為1，則圓臺側面積取最大值時，圓臺母線與底面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意畫出圖形，設，，作于點，延長交球面于點，則由圓的相交弦定理可得，從而可求得，進而可表示出圓臺的側面積，求出其最大值，從而可得的值，然后在求出圓臺母線與底面所成角的余弦值即可【詳解】如圖1所示，設，，作于點，延長交球面于點，則，，由圓的相交弦定理及圖2得，即，解得，則圓臺側面積，則，令，則或（舍去），當時，，當時，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以當時，取得最大值．當時，，則．在軸截面中，為圓臺母線與底面所成的角，在中可得，故選：D．【點睛】方法點睛：本題是立體幾何中最值的綜合性問題．旋轉體的問題常需正確做出軸截面圖進行分析，最值問題要注意“選元”“列式”“討論最值”三個環節，考查線面角的余弦值，屬于較難題三、解答題17．如圖，已知圓柱底面圓的半徑為，高為2，AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線，若一只小蟲從A點出發，從側面爬行到C點，求小蟲爬行的最短長度．【答案】2【分析】小蟲爬行的最短長度，是半個圓柱的側面展開矩形的對角線.通過勾股定理求得這個對角線的長.【詳解】解：如圖，將圓柱的側面展開，其中AB為底面圓周的一半，即AB=,AD=2則小蟲爬行的最短路線為線段AC,在矩形AC中，AC=所以小蟲爬行的最短路線長度為2.【點睛】本小題主要考查圓柱的側面展開圖，考查兩點間的距離公式以及分析和思考能力，屬于基礎題.18．一個圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個高為x的內接圓柱．(1)用x表示圓柱的軸截面面積S；(2)當x為何值時，S最大？【答案】(1)S＝－x2＋4x(0<x<6)．(2)當x＝3時，S最大，最大值為6.【分析】分析：（1）畫出圓錐的軸截面，將空間問題轉化為平面問題，然后根據相似三角形的性質和比例的性質，得出內接圓柱底面半徑r與x關系式即可（2）根據二次函數的性質易得到其最大值，及對應的x的值．詳解：畫出圓柱和圓錐的軸截面，如圖所示，設圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似可得＝，解得r＝2－.(1)圓柱的軸截面面積S＝2r·x＝2·(2－)·x＝－x2＋4x(0<x<6)．(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)＝－(x－3)2＋6，∴當x＝3時，S最大，最大值為6.點睛：本題考查的知識點是圓錐的幾何特征及圓錐及圓柱的軸截面面積公式，將空間問題轉化為平面問題是解答立體幾何題最常用的思路．19．如圖，在四棱錐中，，且．(1)證明：直線平面PAD；(2)若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側面積．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明線面垂直；（2）在平面PAD內作，垂足為點E．證明平面ABCD．設，則，．由棱錐體積求得后可得各面面積．即可得側面積．(1)證明：因為，且，所以且．又，平面，所以直線平面PAD．(2)解：在平面PAD內作，垂足為點E．由（1）知平面PAD，故．又，平面，所以平面ABCD．設，則，．故四棱錐的體積．由題設得，故．從而，，．所以四棱錐的側面積為．20．如圖，在正三棱柱中，，，分別為和的中點.（1）求證：//平面；（2）若為中點，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析（2）試題分析：（1）取中點，利用平面幾何知識可得是平行四邊形，即得，再根據線面平行判定定理得//平面；（2）利用等體積性質進行轉化：，最后根據錐體體積公式求體積試題解析：（Ⅰ）取中點，連接和，因為和分別為和的中點，所以，且，則是平行四邊形，，又不在平面內，在平面內，所以平面．解：（Ⅱ）因為為的中點，所以，又為中點，所以，則三棱錐的體積：．點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直