河北省“五個一”名校聯盟2025年高二數學第二學期期末經典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題是命題“若，則”的否命題；命題：若復數是實數，則實數，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．2．已知某隨機變量服從正態分布，且，則（）A． B． C． D．3．《九章算術》是人類科學史上應用數學的最早巔峰，書中有這樣一道題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”其譯文是“現有從高到低依次為大夫、不更、簪裹、上造、公士的五個不同爵次的官員，共獵得五只鹿，要按爵次高低分配（即根據爵次高低分配得到的獵物數依次成等差數列），問各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，則大夫所得鹿數為（）A．1只 B．只 C．只 D．2只4．已知函數的圖象如圖，設是的導函數，則（）A． B．C． D．5．已知函數，其中，為自然對數的底數，若，是的導函數，函數在區間內有兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B．C． D．7．奇函數在區間上單調遞減，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．8．已知數列滿足,則()A． B． C． D．9．運行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A．0 B． C．-1 D．10．設復數，在復平面內的對應點關于虛軸對稱，，則（）A．-5 B．5 C．-4+i D．-4-i11．將三枚骰子各擲一次，設事件為“三個點數都不相同”，事件為“至少出現一個6點”，則概率的值為（）A． B． C． D．12．設，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設隨機變量服從正態分布，若，則實數_______.14．在正四面體O－ABC中，，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝______________(用表示)．15．下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數據：月份1234用水量4.5432.5由散點圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關關系，其線性回歸直線方程是，則等于___16．3名男生和3名女生站成一排照相，若男生甲不站在兩端，3名女生中，有且只有兩個女生相鄰，則不同排法的種數為___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.求的單調區間；若在處取得極值，直線y=與的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍．18．（12分）甲、乙兩企業生產同一種型號零件，按規定該型號零件的質量指標值落在內為優質品.從兩個企業生產的零件中各隨機抽出了件，測量這些零件的質量指標值，得結果如下表：甲企業：分組頻數5乙企業：分組頻數55（1）已知甲企業的件零件質量指標值的樣本方差，該企業生產的零件質量指標值X服從正態分布，其中μ近似為質量指標值的樣本平均數（注：求時，同一組中的數據用該組區間的中點值作代表），近似為樣本方差，試根據企業的抽樣數據，估計所生產的零件中，質量指標值不低于的產品的概率.（精確到）（2）由以上統計數據完成下面列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為兩個企業生產的零件的質量有差異.甲廠乙廠總計優質品非優質品總計附：參考數據：，參考公式：若，則，，；19．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O:x2+y2=4，橢圓C:x24+y2=1，A為橢圓右頂點．過原點O且異于坐標軸的直線與橢圓C交于B,C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD（1）求k1（2）記直線PQ,BC的斜率分別為kPQ,kBC，是否存在常數λ，使得（3）求證：直線AC必過點Q．20．（12分）從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：（I）求這500件產品質量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數據用該組區間的中點值作代表）；（II）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.（i）利用該正態分布，求；（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記表示這100件產品中質量指標值位于區間的產品件數.利用（i）的結果，求.附：若則，．21．（12分）[選修4-4：坐標系及參數方程]已知曲線的參數方程為（為參數），以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程及曲線上的動點到坐標原點的距離的最大值；（2）若曲線與曲線相交于，兩點，且與軸相交于點，求的值.22．（10分）已知過拋物線y2=2pxp>0的焦點，斜率為22的直線交拋物線于（1）求拋物線的方程;（2）O為坐標原點，C為拋物線上一點，若OC=OA+λ

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：先判斷命題p，q的真假，再判斷選項的真假.詳解：由題得命題p:若a>b,則，是假命題.因為是實數，所以所以命題q是假命題，故是真命題.故答案為D.點睛：（1）本題主要考查四個命題和復數的基本概念，考查復合命題的真假，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)復合命題的真假判斷口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.2、A【解析】

直接利用正態分布曲線的對稱性求解．【詳解】，且，．．故選：A．本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態分布中兩個量和的應用，考查曲線的對稱性，屬于基礎題．3、C【解析】

設爵次高低分配得到的獵物數依次成等差數列{an}，則，由前5項和為5求得，進一步求得d，則答案可求．【詳解】設爵次高低分配得到的獵物數依次成等差數列{an}，則，則，∴1，則，∴．∴大夫所得鹿數為只．故選：C．本題考查等差數列的通項公式，考查等差數列的性質，屬于基礎題．4、D【解析】

由題意，分析、、所表示的幾何意義，結合圖形分析可得答案．【詳解】根據題意，由導數的幾何意義：表示函數在處切線的斜率，表示函數在處切線的斜率，，為點和點連線的斜率，結合圖象可得：，故選：D．本題考查導數的幾何意義，涉及直線的斜率比較，屬于基礎題．5、A【解析】

利用f（1）＝0得出a，b的關系，根據f′（x）＝0有兩解可知y＝2e2x與y＝2ax+a+1﹣e2的函數圖象在（0，1）上有兩個交點，做出兩函數圖象，根據圖象判斷a的范圍．【詳解】解：∵f（1）＝0，∴e2﹣a+b﹣1＝0，∴b＝﹣e2+a+1，∴f（x）＝e2x﹣ax2+（﹣e2+a+1）x﹣1，∴f′（x）＝2e2x﹣2ax﹣e2+a+1，令f′（x）＝0得2e2x＝2ax﹣a﹣1+e2，∵函數f′（x）在區間（0，1）內有兩個零點，∴y＝2e2x與y＝2ax﹣a﹣1+e2的函數圖象在（0，1）上有兩個交點，作出y＝2e2x與y＝2ax﹣a﹣1+e2＝a（2x﹣1）+e2﹣1函數圖象，如圖所示：若直線y＝2ax﹣a﹣1+e2經過點（1，2e2），則a＝e2+1，若直線y＝2ax﹣a﹣1+e2經過點（0，2），則a＝e2﹣3，∴e2﹣3＜a＜e2+1．故選：A．點睛：已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解．6、B【解析】

根據伸縮變換的關系表示已知函數的坐標，代入已知函數的表示式得解.【詳解】由伸縮變換，得，代入，得，即．選B本題考查函數圖像的伸縮變換，屬于基礎題.7、A【解析】

根據函數為奇函數，以及上的單調性，判斷出上的單調性，求得的值，對分為四種情況討論，由此求得不等式的解集，進而求得的解集.【詳解】由于函數為奇函數，且在上遞減，故在上遞減，由于，所以當或時，；當或時，.所以當或時.故當或即或時，.所以不等式的解集為.故本小題選A.本小題主要考查函數的奇偶性、單調性，考查函數變換，考查含有函數符號的不等式的解法，屬于中檔題.8、B【解析】分析：首先根據題中所給的遞推公式，推出，利用累求和與對數的運算性質即可得出結果詳解：由，可得，即，累加得，又，所以，所以有，故選B.點睛：該題考查的是有關利用累加法求通項的問題，在求解的過程中，需要利用題中所給的遞推公式，可以轉化為相鄰兩項差的式子，而對于此類式子，就用累加法求通項，之后再將100代入求解.9、B【解析】由題設中提供的算法流程圖可知，由于的周期是，而，所以，應選答案B．10、A【解析】試題分析：由題意，得，則，故選A．考點：1、復數的運算；2、復數的幾何意義．11、A【解析】考點：條件概率與獨立事件．分析：本題要求條件概率，根據要求的結果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同時發生的概率，除以B發生的概率，根據等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到結果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故選A．12、A【解析】

先根據來分段，然后根據指數函數性質，比較出的大小關系.【詳解】由于，而，故，所以選A.本小題主要考查指數函數的單調性，考查對數函數的性質，考查比較大小的方法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由正態分布的對稱性可知與關于對稱，從而列方程求解即可.【詳解】隨機變量，其正態分布曲線關于對稱，由于，所以與關于對稱.，解得：.本題考查正態分布曲線的對稱性及概率的簡單計算.14、【解析】因為在四面體中，為的中點，為的中點，，故答案為.15、【解析】

首先求出x，y的平均數，根據樣本中心點滿足線性回歸方程，把樣本中心點代入，得到關于a的一元一次方程，解方程即可．【詳解】：（1+2+3+4）＝2.5，（4.5+4+3+2.5）＝3.5，將（2.5，3.5）代入線性回歸直線方程是0.7x+a，可得3.5＝﹣1.75+a，故a＝．故答案為本題考查回歸分析，考查樣本中心點滿足回歸直線的方程，考查求一組數據的平均數，是基礎題16、【解析】

先計算有且只有兩個女生相鄰的排列種數，再計算“在3名女生中，有且只有兩個女生相鄰，且男生甲在兩端的排列”種數，即可得出結果.【詳解】先考慮3名女生中，有且只有兩個女生相鄰的排列，共有種，在3名女生中，有且只有兩個女生相鄰，且男生甲在兩端的排列有種，所以，滿足題意的不同排法的種數為：種.故答案為：.本題主要考查計數原理的應用，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

解：（Ⅰ），

①當a＜0時，f′（x）＞0，f（x）在R上單調遞增；

②當a＞0時，由f′（x）＞0即，解得或，

由f′（x）＜0得，

∴f（x）的單調增區間為和（，＋∞）；f（x）的單調減區間是．

（Ⅱ）因為f（x）在x＝?1處取得極大值，

所以，∴a＝1．

所以，

由f′（x）＝0解得．

由（1）中f（x）的單調性可知，f（x）在x＝?1處取得極大值f（?1）＝1，

在x＝1處取得極小值f（1）＝?2．

因為直線y＝m與函數y＝f（x）的圖象有三個不同的交點，

結合f（x）的單調性可知，m的取值范圍是（?2，1）；18、（1）；（2）列聯表見解析，能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為兩個企業生產的產品的質量有差異．【解析】

（1）計算甲企業的平均值，得出甲企業產品的質量指標值，計算所求的概率值；（2）根據統計數據填寫列聯表，計算，對照臨界值表得出結論．【詳解】（1）依據上述數據，甲廠產品質量指標值的平均值為：，所以，，即甲企業生產的零件質量指標值X服從正態分布，又，則，，，所以，甲企業零件質量指標值不低于的產品的概率為．（2）列聯表：甲廠乙廠總計優質品非優質品總計計算∴能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為兩個企業生產的產品的質量有差異．本題主要考查了獨立性檢驗與正態分布的特點及概率求解問題，是基礎題．19、（1）k1k2【解析】試題分析：（1）設，則，代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡即可得到所求值；（2）聯立直線的方程和圓方程，求得的坐標；聯立直線的方程和橢圓方程，求得的坐標，再求直線，和直線的斜率，即可得到結論；試題解析：（1）設，則，所以（2）聯立y=k1(x-2)解得xP聯立得(1+4k1解得，所以kBC=y所以kPQ=52k考點：橢圓的簡單性質．【方法點晴】本題考查橢圓的方程和性質，在（1）中，設出點坐標，利用對稱性得到點坐標，表達出斜率，利用點在橢圓上，整體代換的思想求出結果；考查直線方程和橢圓方程聯立，求得交點，考查直線方程和圓方程聯立，求得交點,直線的斜率和方程的運用，就化簡整理的運算能力，對運算能力要求較高，屬于中檔題．20、（I）；（II）（i）；（ii）．【解析】試題分析：（I）由頻率分布直方圖可估計樣本特征數眾數、中位數、均值、方差．若同一組的數據用該組區間的中點值作代表，則眾數為最高矩形中點橫坐標．中位數為面積等分為的點．均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，相當于100次獨立重復試驗，則這100件產品中質量指標值位于區間的產品件數，故期望．試題分析：（I）抽取產品的質量指標值的樣本平均值和樣本方差分別為，．（II）（i）由（I）知，服從正態分布，從而．（ii）由（i）可知，一件產品的質量指標值位于區間的概率為，依題意知，所以．【考點定位】1、頻率分布直方圖；2、正態分布的原則；3、二項分布的期望．21、（1），