吉林省長春市五中2025年高二數學第二學期期末經典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在我國南北朝時期，數學家祖暅在實踐的基礎上提出了體積計算的原理：“冪勢既同，則積不容異”．其意思是，用一組平行平面截兩個幾何體，若在任意等高處的截面面積都對應相等，則兩個幾何體的體積必然相等．根據祖暅原理，“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要2．若函數f(x)＝(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函數又是增函數，則g(x)＝的圖象是()A． B． C． D．3．某校實行選科走班制度，張毅同學的選擇是物理、生物、政治這三科，且物理在A層班級，生物在B層班級，該校周一上午課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課各上一節，另外一節上自習，則他不同的選課方法有第一節第二節第三節第四節地理B層2班化學A層3班地理A層1班化學A層4班生物A層1班化學B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A．8種 B．10種 C．12種 D．14種4．已知雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于A． B． C．3 D．55．下列求導運算的正確是（）A．為常數 B．C． D．6．設，則的值為（）A．2 B．0 C． D．17．曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標為（）A． B． C．和 D．8．已知函數g（x）=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的圖象經過定點M，若冪函數f（x）=xα的圖象過點M，則α的值等于（）A．﹣1 B．12 C．2 D．9．已知，則（）A．16 B．17 C．32 D．3310．（）A． B． C． D．11．已知隨機變量服從正態分布，且，則（）．A． B． C． D．12．如果函數在上的圖象是連續不斷的一條曲線，那么“”是“函數在內有零點”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布,已知成績在到分之間的學生有名，若該校計劃獎勵競賽成績在分以上（含分）的學生，估計獲獎的學生有________.人（填一個整數）（參考數據：若有，14．已知雙曲線E:x2a2-15．一個學校高三年級共有學生200人，其中男生有120人，女生有80人，為了調查高三復習情況，用分層抽樣的方法從全天高三學生中抽取一個容量為25的樣本，應抽取女生的人數為_____________人.16．將函數的圖象向左平移個單位，若所得到圖象關于原點對稱，則的最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數.（1）當時，解不等式；（2）若關于的不等式有實數解，求的取值范圍.18．（12分）“微信運動”是由騰訊開發的一個類似計步數據庫的公眾賬號.用戶可以通過關注“微信運動”公眾號查看自己及好友每日行走的步數、排行榜，也可以與其他用戶進行運動量的或點贊.現從某用戶的“微信運動”朋友圈中隨機選取40人，記錄他們某一天的行走步數，并將數據整理如下：步數/步0～20002001～50005001～80008001～1000010000以上男性人數/人16954女性人數/人03642規定：用戶一天行走的步數超過8000步時為“運動型”，否則為“懈怠型”.（1）將這40人中“運動型”用戶的頻率看作隨機抽取1人為“運動型”用戶的概率.從該用戶的“微信運動”朋友圈中隨機抽取4人，記為“運動型”用戶的人數，求和的數學期望；（2）現從這40人中選定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“運動型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“運動型”有2人，“懈怠型”有1人.從這8人中任意選取男性3人、女性2人，記選到“運動型”的人數為，求的分布列和數學期望.19．（12分）在數列中，，，其中實數．(1)求，并由此歸納出的通項公式；(2)用數學歸納法證明(Ⅰ)的結論．20．（12分）設函數的最小值為.（1）求實數m的值；（2）已知，且滿足，求證：.21．（12分）在《九章算術》中，將有三條棱相互平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”．如圖所示的五面體是一個羨除，其中棱AB，CD，EF相互平行，四邊形ABEF是梯形．已知CD＝EF，AD⊥平面ABEF，BE⊥AF．（1）求證：DF∥平面BCE；（2）求證：平面ADF⊥平面BCE．22．（10分）如圖所示的莖葉圖記錄了華潤萬家在渭南城區甲、乙連鎖店四天內銷售情況的某項指標統計：（I）求甲、乙連鎖店這項指標的方差，并比較甲、乙該項指標的穩定性；（Ⅱ）每次都從甲、乙兩店統計數據中隨機各選一個進行比對分析，共選了3次（有放回選?。O選取的兩個數據中甲的數據大于乙的數據的次數為，求的分布列及數學期望

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先閱讀題意，再由原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件可得解【詳解】由已知有”在任意等高處的截面面積都對應相等”是“兩個幾何體的體積必然相等“的充分條件不必要條件，結合原命題與其逆否命題的真假可得：“兩幾何體A、B的體積不相等”是“A、B在等高處的截面面積不恒相等”的充分不必要條件，故選：A．本題考查了閱讀能力、原命題與其逆否命題的真假及充分必要條件，屬中檔題。2、C【解析】本題考查指數型函數的奇偶性，單調性；對數函數的圖像及圖像的平移變換.因為是奇函數，所以恒成立，整理得：恒成立，所以則又函數在R上是增函數，所以于是函數的圖像是由函數性質平移1個單位得到.故選C3、B【解析】

根據表格進行邏輯推理即可得到結果.【詳解】張毅不同的選課方法如下：（1）生物B層1班，政治1班，物理A層2班；（2）生物B層1班，政治1班，物理A層4班；（3）生物B層1班，政治2班，物理A層1班；（4）生物B層1班，政治2班，物理A層4班；（5）生物B層1班，政治3班，物理A層1班；（6）生物B層1班，政治3班，物理A層2班；（7）生物B層2班，政治1班，物理A層3班；（8）生物B層2班，政治1班，物理A層4班；（9）生物B層2班，政治3班，物理A層1班；（10）生物B層2班，政治3班，物理A層3班；共10種，故選B.本題以實際生活為背景，考查了邏輯推理能力與分類討論思想，屬于中檔題.4、A【解析】

因為拋物線的焦點是，所以雙曲線的半焦距，，，所以一條漸近線方程為，即，，故選A.【點考點定位】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程、幾何性質、點和直線的位置關系，考查推理論證能力、邏輯思維能力、計算求解能力、數形結合思想、轉化化歸思想5、B【解析】

根據常用函數的求導公式.【詳解】因為（為常數），，，，所以，選項B正確.本題考查常用函數的導數計算.6、C【解析】

分別令和即可求得結果.【詳解】令，可得：令，可得：故選本題考查二項展開式系數和的相關計算，關鍵是采用賦值的方式構造出所求式子的形式.7、C【解析】

求導，令，故或，經檢驗可得點的坐標.【詳解】因，令，故或，所以或，經檢驗，點，均不在直線上，故選C．本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查導數的幾何意義：函數在某點處的導數即為曲線在該點處的切線的斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，屬于基礎題．8、B【解析】

由對數函數的性質得到點M（4，2）在冪函數f（x）=xα的圖象上，由此先求出冪函數f（x），從而能求出α的值．【詳解】∵y=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的圖象過定點M，∴M（4，2），∵點M（4，2）也在冪函數f（x）=xα的圖象上，∴f（4）=4α=2，解得α=12故選B．本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數函數、冪函數的性質的合理運用．9、B【解析】

令，求出系數和，再令，可求得奇數項的系數和，令，求出即可求解.【詳解】令，得，令，得，所以，令，得，所以，故選：B本題主要考查了賦值法求多項式展開式的系數和，考查了學生的靈活解題的能力，屬于基礎題.10、C【解析】

直接利用復數代數形式的乘除運算化簡，即可得到答案．【詳解】由，故選C．本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．11、B【解析】∵隨機變量服從正態分布，，即對稱軸是，，∴，∴，∴．故選．12、A【解析】

由零點存在性定理得出“若，則函數在內有零點”舉反例即可得出正確答案.【詳解】由零點存在性定理可知，若，則函數在內有零點而若函數在內有零點，則不一定成立，比如在區間內有零點，但所以“”是“函數在內有零點”的充分而不必要條件故選：A本題主要考查了充分不必要條件的判斷，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】

根據正態分布函數可知，，從而可確定競賽分數在到分之間的概率為，進而求得參賽學生總數；利用競賽成績在分以上所對應的概率可求得獲獎學生數.【詳解】由題意可得：，若參賽學生的競賽分數記為，則參賽的學生總數為：人獲獎的學生有：人本題正確結果：本題考查正態分布的實際應用問題，關鍵是能夠利用原則確定區間所對應的概率，從而求得總數，屬于基礎題.14、2【解析】

可令x=c，代入雙曲線的方程，求得y=±b2a，再根據題意，設出A,B,C,D的坐標，由2AB=3【詳解】令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b由題意可設A(-c,b由2AB=3BC，由b2=c2-a2故答案是2.該題考查的是有關雙曲線的離心率的求解問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有雙曲線上的點的坐標的求法，根據雙曲線對稱性，得到四個點A,B,C,D四個點的坐標，應用雙曲線中系數的關系，以及雙曲線的離心率的公式求得結果.15、1【解析】

由題意結合分層抽樣的定義確定所需抽取的女生人數即可.【詳解】由題意可知，分層抽樣中應抽取女生的人數為人.故答案為：1．進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解為：總體中某兩層的個體數之比＝樣本中這兩層抽取的個體數之比．16、【解析】分析：先根據圖像平移得解析式，再根據圖像性質求關系式，解得最小值.詳解：因為函數的圖象向左平移個單位得，所以因為，所以點睛：三角函數的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】分析：（1）利用零點分類討論法解不等式.(2)先求的最小值為,再解不等式得的取值范圍.詳解：（1）由題意的：,兩邊平方得：,即，解得或，所以原不等式的解集為.（2）,所以的最小值為,所以，即或,亦即或.點睛：（1）本題主要考查絕對值不等式的解法和不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分類討論思想方法.(2)解答本題的關鍵是求的最小值，這里利用了三角絕對值不等式求最值.18、（1），（2）分布列見解析，【解析】分析：（1）由題意可知，“運動型”的概率為，且,由此可求求和的數學期望；（2）由題意可知，的所有取值為，求出相應的概率，即可得到的分布列和數學期望.詳解：（1）由題意可知，“運動型”的概率為，且,則，.（2）由題意可知，的所有取值為，相應的概率分別為：,，，，所以的分布列為：2345.點睛：本題考查二項分布，超幾何分布及其期望，屬基礎題.19、(1)(2)見解析【解析】試題分析：（1），，可歸納猜測；（2）根據數學歸納法證明原理，當時，由顯然結論成立．假設時結論成立，即只需證明當時，即可..試題解析：(1)由，及得，于是猜測:(2)下面用數學歸納法予以證明:當時，由顯然結論成立．假設時結論成立，即那么，當時，由顯然結論成立．由、知，對任何都有20、(1).(2)證明見解析.【解析】

分析：（1）由絕對值三角不等式可得最小值；（2）由（1）已知可變為，，展開后可用基本不等式求得最小值，從而證明結論．詳解：（1）函數故的最小值.（2）由（1）得，故，故，當且僅當，即時“”成立．點睛：本題考查絕對值不等式的性質，考查基本不等式求最值．用絕對值三角不等式求得最值是求的最小值的常用方法．而用“1”的代換求最值是基本不等式應用的常見題型，要牢牢掌握．21、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】

(1)證明四邊是平行四邊形,再用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用線面垂直得線線垂直，再利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可證明.【詳解】證明：（1）相互平行，四邊形是梯形．，∴四邊形是平行四邊形，，，，∴（2）∵平面，平面，,,,∴平面，∵平面，∴平面平面.本題主要考查的是線面平行的判定定理、線面垂直的性質定理、線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的應用，是中檔題.22、（Ⅰ）甲的