3線段的垂直平分線第1課時(shí)線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;(2)幾何語(yǔ)言:如圖所示,∵M(jìn)N⊥BC于點(diǎn)E,且BE=CE,D是MN上任意一點(diǎn),∴

.

BD=CD[例1]如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E.(1)求證:△ABD是等腰三角形;(2)若AE=6,△CBD的周長(zhǎng)為20,求△ABC的周長(zhǎng).(1)證明:∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D,∴DB=DA.∴△ABD是等腰三角形.(2)解:∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,AE=6,∴AB=2AE=12,BD=AD.∵△CBD的周長(zhǎng)為20,∴BD+CD+BC=20.∴AD+CD+BC=20,即AC+BC=20.∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=12+20=32.新知應(yīng)用1.如圖所示,在△ABC中,AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,則∠B的度數(shù)為()A.25° B.30° C.35° D.40°B2.如圖所示,在△ABC中,AB邊的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)D,E,AC邊的垂直平分線分別交AC,BC于點(diǎn)F,G,若△AEG的周長(zhǎng)為8,則BC的長(zhǎng)是()A.12B.8C.6D.4B3.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E,垂足為D.求證:∠CAB=∠AED.證明:∵DE是AB邊的垂直平分線,∴EA=EB,∠ADE=90°.∴∠EAB=∠B.∵∠C=90°,∴∠CAB+∠B=90°.又∵∠AED+∠EAB=90°,∴∠CAB=∠AED.線段垂直平分線的判定(1)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離

的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上;

(2)幾何語(yǔ)言:如圖所示,因?yàn)锽D=CD,所以點(diǎn)D在線段BC的

上.相等垂直平分線[例2]如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,求證:點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上.證明:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=90°-30°=60°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°.∴∠A=∠ABD.∴DA=DB.∴點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上.新知應(yīng)用1.如圖所示,點(diǎn)D在△ABC的邊BC上,且BC=BD+AD,則點(diǎn)D在線段

的垂直平分線上.

AC2.如圖所示,在△ABC中,AD垂直平分BC,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且滿足AB+BD=DE,求證:點(diǎn)C在線段AE的垂直平分線上.證明:∵AD垂直平分BC,∴BD=DC,AB=AC,∵AB+BD=DE,∴AC+DC=DE.∵DE=DC+CE,∴AC=CE,∴點(diǎn)C在線段AE的垂直平分線上.1.已知C,D是線段AB外的兩點(diǎn),AC=BC,AD=BD,點(diǎn)P在直線CD上,若AP=5,則BP的長(zhǎng)為()A.2.5B.5C.10D.252.如圖所示,在△ABC中,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,連接AE.若BC=6,AC=5,則△ACE的周長(zhǎng)為()A.8 B.11C.16D.17BBB4.(2023沙坪壩月考)如圖所示,在△ABC中,EF是AB的垂直平分線,AD⊥BC于點(diǎn)D,且D是CE的中點(diǎn).(1)求證:BE=AC;(1)證明:∵EF是AB的垂直平分線,∴BE=AE.∵AD⊥BC,D是CE的中點(diǎn),∴AD是EC的垂直平分線.∴AE=AC.∴BE=AC.(2)若∠C=70°,求∠BAC的度數(shù).第2課時(shí)三角形三邊的垂直平分線三角形三邊的垂直平分線三角形三條邊的垂直平分線相交于

,并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離

.

[例1]如圖所示,△ABC的邊AB,AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.連接PB,PC,若∠ABP=40°,∠ACP=35°,則∠BPC的度數(shù)為

.

一點(diǎn)相等150°三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)與應(yīng)用性質(zhì)交點(diǎn)個(gè)數(shù)1個(gè)交點(diǎn)位置銳角三角形:在三角形內(nèi)部直角三角形:為斜邊的中點(diǎn)鈍角三角形:在三角形外部交點(diǎn)性質(zhì)交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等應(yīng)用求角度、證明線段相等或作圖新知應(yīng)用1.三條公路將A,B,C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖所示的三角形區(qū)域,如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)公園,要使公園到三個(gè)村莊的距離相等,那么這個(gè)公園所建的位置是△ABC的()A.三條高線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)C.三條角平分線的交點(diǎn)D.三條中線的交點(diǎn)B2.如圖所示,D是線段AC,AB的垂直平分線的交點(diǎn),若∠ACD=30°,∠BAD=50°,則∠BCD的大小是()A.10°B.20°C.30°D.40°A3.(2023臨湘期中)如圖所示,在△ABC中,DE,DF所在的直線分別為BC,AB邊的垂直平分線,連接AD,CD.若∠B=40°,求∠ACD的度數(shù).過(guò)一點(diǎn)作直線l的垂線[例2]如圖所示,在△ABC中,用尺規(guī)作圖法作BC邊上的高AD,垂足為D.解:如圖所示.AD即為所求作的高.過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線的思路:(1)以已知點(diǎn)為圓心,適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧,在已知直線上截取一條線段.(2)作所截取線段的垂直平分線即可得到垂線.新知應(yīng)用如圖所示,已知線段a,b,求作等腰三角形,使高為a,腰長(zhǎng)為b.(a<b,尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)解:如圖所示,△ABC為所作.1.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是()A.三條中線的交點(diǎn)B.三條高的交點(diǎn)C.三條角平線的交點(diǎn)D.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)DC解:(1)①AB②A,C(2)設(shè)直線N