第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東省青島實驗高級中學高一下學期期中考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知i為虛數單位，復數z滿足z1+i=2，則|z|=A.2 B.1 C.222.已知AB=1,cosα，BC=(2,0)，CD=2,2sinα，若AA.?2 B.2 C.12 D.3.圓錐的底面半徑為a，側面展開圖是半圓面，那么此圓錐的側面積是A.2πa2 B.4πa2 C.4.已知點G是?ABC的外心，2GA+AB+AC=0，若ABA.14 B.13 C.125.一個側棱長為23的直棱柱的底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖為如圖所示的菱形O′A′B′CA.43 B.83 C.6.把函數y=f(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數y=sinx?πA.sinx2?7π12 B.sinx7.一個直三棱柱形容器中盛有水，側棱AA1=18，底面?ABC邊AB上的高為?.當底面ABC水平放置時水面高度為16(如圖①).當側面AA1BA.13? B.12? C.8.如圖，圓M為?ABC的外接圓，AB=4，AC=6,N為邊BC的中點，則AN?AMA.10 B.13 C.18 D.26二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(?4,3)，b=(7,1)，下列說法正確的是(

)A.a+b⊥a B.a?b=125

C.與向量a平行的單位向量是?410.下列四個命題中為假命題的是(

)A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內

B.過空間中任意三點有且僅有一個平面

C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行

D.通過圓錐兩母線的截面面積中，最大的是軸截面面積11.如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，AD=3，CD=2，AM=2MD，AC?BM=?4，AC交BMA.AO=12ACB.DO=?2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若向量OA，OB對應的復數分別是1?i，?1+2i，則向量CD對應的復數是

．13.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2?cm，高為2?cm，內孔半徑為0.5?cm，則此六角螺帽毛坯的體積是

cm314.某摩天輪示意圖如下圖所示，其半徑為100m，最低點A與地面距離為8m，24min轉動一圈.若該摩天輪上一吊箱B(視為質點)從A點出發，按順時針方向勻速旋轉，則吊箱B第4次距離地面158m時，所經歷的時長為

(單位：min)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知復數z在復平面上對應點在第一象限，且|z|=2，z2(1)求復數z；(2)設復數z、z2、z?z2在復平面上對應點分別為A、B、C，求16.(本小題15分為繪制海底地貌圖，測量海底兩點C，D間的距離，海底探測儀沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，C，D在同一個鉛垂平面內.海底探測儀測得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45

(1)求AD的長度；(2)求C，D之間的距離．17.(本小題15分設?ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sin(1)求角A的值；(2)若c=2，b=5．AB，AC邊上的兩條中線CM，BN相交于點P，求cos∠MPN．18.(本小題17分)蚊子是多種疾病的傳播媒介，對人畜都有較大的危害.某熱帶養殖場為檢測蚊蟲密度，在養殖區懸掛多盞誘蚊燈，去年每月收集28天，連續檢測了12個月，其中5月份蚊蟲最多，11月份最少，由于工作人員不小心，某些月份數據丟失，保留的月份t(1≤t≤12)及每月對應的蟻蟲密度值y的數據如下表；t25811y4282422(1)從y=at+b(a>0(2)在(1)的基礎上，求出蚊蟲密度y關于月份t的擬合模型的解析式；(3)今年養殖場新引進的某種動物容易感染瘧疾，養殖場計劃當蚊蟲密度不低于62時，將采取滅蚊措施.若此養殖場今年的蚊蟲密度符合(2)中的函數模型，估計養殖場應準備在哪幾個月采取滅蚊措施？19.(本小題17分)如圖，我們把由平面內夾角成60°的兩條數軸Ox，Oy構成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設e1，e2分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量OP=xe(1)若向量OP的“完美坐標”為[3,4]，求(2)已知x1,y1，x2,y(3)若向量a，b的“完美坐標”分別為[sinx,1]，[cosx,1]，設函數f(x)=a?b參考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.C

6.B

7.D

8.B

9.AD

10.BCD

11.ACD

12.2?3i

13.1214.40

15.(1)設z=a+bia∈R,b∈R由題意得a2+b2=22ab=2，解得a=1b=1(2)z=1+i，z2=所以對應的點A(1,1)，B(0,2)，C(1,?1)，從而AB=(?1,1)，AC

16.(1)如圖所示，在?ABD中，∠BAC=30°，∠可得∠BAD又因為∠ABD=45°，所以由正弦定理ABsin∠ADB=(2)因為∠ABC=∠ABD+∠DBC=45可得∠BAC=∠BCA=30在?ABC中，由余弦定理得：AC=在?ACD中，由余弦定理得C即CD=5(海里)所以C,D

17.(1)解：因為sin2所以由正弦定理得：a2整理得：a2所以cosA=又因為A∈所以A=π(2)法1：因為c=2，b=5，所以a2由中線長公式知：MC2=得MC=21，又因為P是ΔABC的重心，所以MP=13MC=連結MN，則MN=1在?MPN中，cos∠法2：(向量法)CM=1CM?=?12AB故CM=21所以cos∠MPN=法3：以A為坐標原點，AC所在直線為x軸，過A點且垂直于AC的直線為y軸，建立直角坐標系，則C(5,0)，B1,3，所以CM=?9所以cos∠

18.(1)y=Asin當x=2與x=8時，y=42，而y=at+b(a>0，且a≠1)所以y=Asin(2)由5月份蚊蟲最多，11月份最少，得T2=11?5=6，所以T=12=2由A+b=82,?A+b=2，得所以y=40sinπ6t+φ+42即φ=2kπ?π3,k故y=40sin(3)令40sinπ6即2kπ+π又0≤t≤12,t∈Z，故即養殖場應準備在3,4,5,6,7月采取滅蚊措施．

19.(1)因為OP的“完美坐標”為[3,4]，則又因為e1，e2分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為所以|e1