第一章一元二次方程

§1.1一元二次方程(1)

一、學習目標:

1.在具體情境中，理解一元二次方程相關概念及其解的概念;

2.通過自主探索和小組合作，會列出問題情境中的方程，并學會估算一元二次方程的解:

3.積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲，在數學活動中，獲得成功的體驗,

鍛煉克服困難的意志，建立自信心。

二、學習重點：一元二次方程的概念.

難點：如何把實際問題轉化為數學方程.

三、學習導航：

A、預習感知

1.回憶并說出一元一次方程的概念及特征.

2.按要求完成下列問題.

(1)剪一塊面積是150cm2的矩形鐵片，使它的長比寬多5cm,這塊鐵片應該怎樣剪?

如果設這塊鐵片的寬為xcm,則長為cm,則可得方程為

_____________________①

(2)一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如圖所示，它的長為8m,

寬為5m,_如果地毯中央長方形圖案的面積為18俏那么花邊有多

寬?如果設草坪的寬度為xm,

則可得方程為_________________________②

(3)要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩隊之間都要比賽一場，依據場地和時間等條

件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，請問全校有多少個隊參賽？

如果設有x個隊參加，則可得方程為③

B、探索新知：

1.整理上述問題中的方程①、②、③并回答下列問題：

(1)方程左右兩邊的代數式是整式嗎？

(2)分析整理的方程與一元一次方程的異同點.

(3)你能類比一元二次方程的定義得到一元二次方程的定義嗎？

2.一元二次方程的概念：像這樣的等號兩邊都是____只含有一個未知數，并且未知

數的最高次數是一的方程叫做一元二次方程。

3.一元二次方程的特征:______________________________________

4.一元二次方程的一般形式為:_______________________________

其中ax2,bx,c分別叫二次項，一次項和常數項;a,b分別稱為二次項系數和一次項系數.

5.注意：

①任何一個一元二次方程都可以化為一般形式：二次項系數、

一次項系數、常數項都要包含它前面的符號。

②二次項系數是一個重要條件，不能漏掉，為什么？

C、典型例題

［例1］判斷下列方程是否是一元二次方程？并說明理由。

(l)x2+2y=3(2)_f_2%=3x2(3)-=1(4)2x(x-3)=2x2+1

(5)(tz2+1)x2+(2。-l)x+5—a=0(6)/?zx2+3x—2=0

［例2］把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數和

常數項：

(1)3x2=5x-1(2)(x+2)(x-l)=6(3)4-7x2=0(4)-2x(x-l)=0

【方法總結】確定一元二次方程各系數的值，首先應，然后

(各項系數應包括前面的符號).

［例3］求當m為何值時,關于x的方程(加2-1)/+2(切+的工-2加+1=0,

U)為一元一次方程;(2)為一元二次方程。

變式訓練：

求證：關于x的方程(n?-8m+17)x?+2mx+l=0,不論m取何值，該方程都是一元二次方

程.

四、達標檢測：

1.在下列方程中，一元二次方程的個數是().

①3x"7=0②ax?+bx+c=O③(x-2)(x+5)=x2-l?3x2--=0

x

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.方程2x2=3(x-6)化為一般形式后二次項系數、?一次項系數和常數項分別為().

A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

3.寫出方程6=(6—五求的一般形式.二次項系數

為，一次項系數為，常數項為.

4.關于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是.

5,關于x的方程(2m2+m-3)x,n+l+5x=13是一元二次方程嗎？為什么？

6.已知關于x的方程(m+行)x,n^l+2(m-l)x-l=0.

(Dm為何值時,它是一元二次方程？

(2)m為何值時,它是一元一次方程？

五、學習反思:

§1.2一元二次方程(2)

一、學習目標：

①進一步認識方程的定義.

②會求一元二次方程的近似解.

二、學習重點：方程的解的運用和求近似解.

難點：求符合要求的近似解.

三、學習導航：

A.預習感知

1.下面哪些數是上述方程的根？

—4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4.

2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的,即使一元二次方程等號左右兩邊相等

的的值。

3、判斷下列一元二次方程后面括號里的哪些數是方程的解：

(1)/-36=0(-7,-6,-5,5,6,7)

(3113、

(2)4廠一9=0—2,——1,——,0,—,1,—,2

(2222J

4.完成下列變式訓練

(1)已知方程3x2-9x+m=0的一個根為1,貝ijm的值為.

(2)已知m是方程x2-2012x+1=0的一個不為零的根，求蘇-2012〃?+3^-的值.

m~+1

(3)關于x的方程a(x+l)2+b(x-2)+c=0與方程x2+3x-2=0的解完全相同，求(a+b9的值.

B、探索新知：

用逼近法估算?元二次方程的解：

1、一兀二次方程的解…使得方程成立的未知數的值。在處理有關方程的解的題目時，通常

采用法解決。

2、估算一元二次方程的解：借助表格，找到兩個相近的數，一個使af+/zr+c(。w0)<0,

一個使G?+/?x+c(a。0)>0,則一元二次方程af+/?式+。=0的解就介于這兩個數之

間，再進一步夾逼，縮小范圍獲得其近似解。

C、典型例題

［例1］要剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm,這塊鐵片應該怎樣

剪？

設長為xcm,則寬為(x-5)cm

列方程x(x-5)=150,BPx2-5x-150=0

請根據列方程回答以下問題：

(1)x可能小于5嗎？可能等于10嗎？說說你的理由.

(2)完成下表：

X1011121314151617

X2-5X-150

(3)你知道鐵片的長x是多少嗎？

［例2］(1)已知：a是方程工2一3工一2=()的根，求。3-2。2-5。+4的值。

(2)已知m,n是ar?+/?x+5=0的兩根，求。(〃/+/)+優〃2+〃)的值。

［例3］關于x的方程(4-1)/+1+儲一1=。有一根為0,求a的值。

變式訓練：

己知一元二次方程+/?x+c=0(2翔)中，若有一根為1,則a+b+c=;

若有一根為-1,則a-b+c=

四、達標檢測：

1、下列各未知數的值是方程3/+工一2=0的解的是()

1

A.x=1B.x=-1C.x=2D.X——

3

2、若關于x的方程/+心+x—1=0中不含一次項，則k的值為（）

A、1B、-1C、0D、2

3、一元二次方程-2/+5工-3=0,把二次項系數變為正數且方程的根不變的是

:）

A^2/+5x—3=0B2廠+5x+3=0

C、2%2—5x+3=0D、2r—5x-3=0.

4、己知方程3/-9x+m=0的一個根是1，則mi勺值是______

5、根據表格確定方程％2_8x+7.5=o的解的范圍

X1.01.11.21.3

—-1.21

—8x+7.50.5-0.090.66

五、學習反思:

§1.3配方法⑴

一、學習目標：①會用直接開平方法求形如出+皿聲地翔川對訪程的解.

②正確理解配方法，會用配方法，會用配方法求形如x2+as+b=()方法的解.

二、學習重點：.配方法解一元二次方程.

難點：正確運用配方法解一元二次方程.

三、學習導航：

A.預習感知

1、對下列各式進行配方：

x2+8x=(x+j.x2-10x=(x+)2

x~-5x+=(x—jx2-9x+=(x-)2

23/、2

X~---X4~=(X—)~22

2x+bx+=(x+)

B、探索新知：

22

引入：你能解方程：X=4嗎？(X-1)=4呢？

1、直接開平方法：

形如a(x+m)2=n(a>0,n^0)的解法.

［例1］解下列方程：

⑴3-2X2=1(2)(X+1)2-6=0(3)3(2X-1)2=9

思考：通過上面的例子,你能發現具有何種特征的方程能用直接開平方法求解？

C、典型例題：

思考：①、請你思考方程(x+lf-6=C與』+2x-5=0有什么關系，如何解方程

x~+2x—5=0呢？

②、能否將方程/+2x—5=0轉化為（x+m）2=〃的形式呢?

2、配方法解方程：解形如x4ax+b=0的方程。

［例2］解下列方程：

(1)廠一6x—7=0(2)x+3x+1=0

思考上述解題過程，回答下列問題:

⑴如何將方程配方?

⑵配方法解一元二次方程的步驟是什么?

變式訓練：1.已知x、y為實數，則代數式x?+y2+2x-4y+7的最小值為.

2.用配方法說明:不論m為何值m2-8m+20的值都大于零.

四、達標檢測：

1、解關于x的方程.

①x、256②4y2-9=0③3x2-x=15-x

?4(X+1)2=12⑤(x-I)2-4=0⑥12(3—x)2—3=0

2、解下列方程(配方法).

①X2-4X+3=0@X2+3X-1=0(3)X2+6X+8=0

222

@X+4X-12=0⑤X-10X=-24⑥@y+5y+2=0

五、學習反思:

§1.4配方法⑵

一、學習目標：①會用配方法解形如x2+bx+c=0(b、C為非整數)的方程.

②會用配方法解形如ax2+bx+c=0(a￥0)的方程.

二、學習重點：.形如ax?+bx+c=0(ar0)方程的解法.

難點：正確將形如ax2+bx+c=0(a#0)的方程配方.

三、學習導航：

A.預習感知

回憶配方法，并完成下面的題目.

?X2+8X+9=0?X2+2X+5=0

B、探索新知:

1、形如x2+bx+c=0（b、c為非整數）的方程.

【例1）解方程

(1)X2-yX-|=02

JX(2)x+2(V3+l)x+4+273=0

C、典型例題

2、形如ax2+bx+c=0（a4））的方程的解法.

【例2】解方程2x?+3=7x

思考?：用配方法解形如ax2+bx+c=0（a#））的求解步驟是什么?應注意什么？

【隨堂小結】——方法回顧

配方法解一元二次方程的步驟為①化二次項系數為1;②把常數項移到方程右邊;③配

方;④用直接開平方法解一元二次方程（右邊應為非負數）

變式訓練：（配方法解含字母系數的方程.）

配方法解：x2+px+q=0

四、達標檢測：

1、用配方法解下列方程

?x2-f-l=（）@X2-O.2X=O

@y2-iy-i=0@t2-2V2/-4=0

2、用配方法解下列方程

①2廣-7t-4=0@3X2-1=6X@-2y2+8y=6

@(3x-2)(x+l)=-l⑤(2y+l尸-8(2y+l)+15=0@2(y-l)2-5(y-l)+3=0

3、選填題：

：1)、將方程，+4x+l=0配方后，原方程變形為(

A、(X+2)2=3B、(x+4廠=3

C、(x+2)2=-3D、(x+2)2=-5

：2)、將方程2/+4x+l=0配方后，原方程變形為()

A、(2X+2)2=2B、(2x+2)2=-3

11

C、"+2)29=_D、(x+1)2a=—

：3)、若/-2伏+l)x+4是完全平方式，則&的值為()

A、±1B、±3C、-1或3D、1或-3

：4)、如果x,y分別是矩形的長和寬，且―+/一2x—4)，+5=0,則矩形的面積為

平方單位。

：5)、若X?+〃?x+3=(x-2)2-1,那么加=

五、學習反思:

§1.5配方法的應用

一、學習目標：①利用配方法解決相關問題.

②利用一元二次方程解決簡單實際問題.

③根據具體問題求出符合實際意義的解.

二、學習重點：.配方法的應用.

難點：利用配方法解決相關問題.

三、學習導航：

A.預習感知

回憶配方法，并說出配方法解一元二次方程的步驟.

B、探索新知：

【例1】試證明:無論x為何值時,代數式x?+14x+5()的值總不小于1.

【解析】本題應設法把代數式x2+14x+50寫成一個非負數與1的關系式.

變式練習：小明以配方法解2x2?bx+a=0可得x若二土限a,b的值.

C、典型例題

【例2】若a、b、c是4ABC的三邊長，并且a2-6a+b2-10c+c2=8b-50,判斷這個三角形的形狀

【解析】要判斷4ABC的形狀，就必須找出a,b,c的關系，根據等式的特點，可以采用配方法.

變式訓練：

1、已知a、b、c為三角形三邊長,且方程b(x2-l)-2ax+c(x2+l)=0有兩個相等的實數根.試判

斷此三角形形狀，說明理由.

2、.如果x'-4x+y2+6y+Jz+2+13=0,求(xy)”的值.

3、若關于工的二次三項式V—2以+8-4是一個完全平方式，求實數。的值

【例31某養雞專業戶計劃修建一個長方形養雞場，雞場的一邊靠墻,墻長為am,其余三邊用

竹籬笆圍成，已知籬笆長35m.

①雞場的面積能達到150行嗎?如果能，請你給出設計方案;如果不能,請說明理由.

②探究a在本題中起什么作用.

四、達標檢測：

1、選填題：

：1）、下列方程一定能用直接開平方法求解的是（）

A、（X+3）2=3XB、（2x+1）2+2=0

C、（2x+3）2=8D、（x+2）2=〃（〃為實數）

：2）、用配方法解方程/-5工=4時;應把方程的兩邊同時（）

A、加上25B、加上2三5C、減去5士D、減去2上5

2424

[3）、已知方程6x+g=0可以配方成（x—“）2=7的形式，那么丁―6工+4=2可

以配方成下列的（）

A、（x-p）2=5B、（x-p）2=9

C、（%-/?+2）2=9D、（x-〃+2『=5

：4）、不論x、y為何實數，代數式工2+）/+2]一4）+7的值（）

A、總不小于2B、總不小于7C、為任何實數D、不能為負數

：5)、若l2一4工+7有最小值，則當x=時，她的值最小，其最小值是

：6)、如圖3,在△/WC中，N3=90。點P從點A開始，沿A8邊向點8以1cm/s的速度移

動，點。從點8開始，沿8。邊向點C以2cm/s的速度移動，如果P、。分別從A、B

同時出發，秒后△PB。的面積等于8cm2.

2、某商場銷售一批名牌襯杉，平均每天可售出2()件，每件贏利4()元。為了擴大銷售，增加贏

利，減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經調查發現，如果每件襯衫降價1元，商場平均每

天可多售出2件，若商場平均每天要獲得1200元的利澗，你作為經理，應作出每件襯衫降價多

少元的決定？

3,試用配方法證明：2XLX+3的值不小于

8

五、學習反思:

§1.6公式法

一、學習目標：①正確推導求根公式；

②正確運用求根公式解一元二次方程；

二、學習重點：公式法解一元二次方程

難點：求根公式的正確推導及運用

三、學習導航：

A.預習感知：

用配方解下列方程，并回憶配方法的步驟：.

①x?+6x-16=0②2x?-4x+1=0

B、探索新知：

自主探索——求根公式的推導

1、用配方法解一般形式的一元二次方程.

ax2+bx+c=0(a/0)

2、從上述過程中可以看出,一元二次方程ax2+bx+c=0(a*0)的根由方程的

確定的.因此,在解一元二次方程時，應先把方程化為

形式，然后判斷，最后把各項系數a、b、c、代入①式中，就可得到方程的根.上述

這種方法就叫做公式法,同時把x=叫做求根公式.

3、一元二次方程〃X?+Z?X+C=0(Q。0)：

當時，方程有兩個不等實數根，根為；

當___________時，方程有兩個相等實數根，根為；

當___________時，方程沒有實數根。

注意：公式中的4,4c,可以是數字系數，也可以是字母系數，可以是單項式，也可以是多

項式，但必須滿足條件①；②.

C、典型例題

【例1】用求根公式解一元二次方程

①X2-3X+2=0(2)^x2+fx+f=0

【例2】用求根公式解一元二次方程

(1)產一g+Lo

28

(2)mx2—2(2m+1)x+4m—1=0：

【隨堂小結】用公式法解一元二次方程的步驟是什么？應注意什么問題？

變式訓練：

1.m為何值時,關于x的一元二次方程mx?—2(2m+1)x+4m—1=0：

(1)有兩個相等實數根；(2)有兩個不相等的實數根；(3)無實根.

2.(泰安)若關于x的方程kx?+2x—1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是().

A.k>-1B.k<-lC.4一1且kMD.k>-lMk/0

四、達標檢測：

1、選填題：

C1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式是_______,條件是________

⑵方程4.x?=3x化為ax2+bx+c=0(a和)形式為,b2-4ac=.

(3)方程x2+x-l=O的根是,

；4)已知y=x?-2x-3,當x=時，y的值是?3

：5)方程2/—4工—2=0有兩個相等的實數根，則k的值為()

A、-1B、-2C、1D、2

：6)方程f+3414的解是()

3±V65-3±V65

A.x=------------B.x=--------------

222

C7)(x-l)(x-3)=2的根是()

A.XI=1,X2=3B.x=2±2V3C.x=2±V3D.x=-2±2V3

2.用公式法解下列方程:

U)X2-2X-8=0；(2)2?-7x=4

(3)x2-2V3x+V2=0(4)￡-2ax-h~+6f2=0

3、已知a,b,c是AABC的三邊的長，求證方程zfx-a'H-c5x+bZR沒有實數根.

五、學習反思:

§1.7分解因式法

一、學習目標：會用因式分解法解一元二次方程；

重點：因式分解法解一元二次方程

難點：靈活運用適當方法解一元二次方程.

二、學習重點：.因式分解法解一元二次方程

難點：靈活運用適當方法解一元二次方程.

三、學習導航：

A.預習感知

回憶因式分解的方法，并完成下列問題：

@X2-3X=?x(x+2)-x-2=

③(x+2)2-9二④(x+2尸-2(x+2)+1=

@X2-5X+6=?(x+1)2+3(X+1)+2=

B、探索新知：

【新知解析1——提公因式法

【例1】解方程(x?l)(x+2)=2(x+2)

思考：上題還有其他方法嗎?

【新知解析】——運用公式

【例2】解方程

①(3x+l尸-5=0②X2+2(75+l)x+4+2y/3=0

【新知解析】——十字相乘法

【例3】解方程

①3x?-16x+5=()@3(2X2-1)=7X

C、典型例題

【例4】解方程：

①3x(x+2)?5x-10=0②(3X+2)2=4(X-3)2

@(x+l)2-4(x+l)+4=0④(2y+l)2+3(2y+l)+2=()

⑤X2+7X+12=()(6)2X2-7X-15=()

變式訓練：(換元法)

解方程：@X4-6X2+5=0②(XS+2X)(X2+2X-2)=3

四、達標檢測：

1、方程x*+1)=3。+1)的解的情況是()

A、x=-lB、x=3

C、X]=-l,x2=3D、以上答案都不對

2、方程aM%-A)+S-x)=0的根是

,1

A、x1-b,x2=aB、X1=b,x2=—

D、X1=a2,x=b2

C、%]=a,x2=2

3、關于方程49—V=0,下面敘述正確的是)

A、只能用直接開平方法B、只能用因式分解法

C、既可用因式分解法，又可用直接開平方法

D、不論用什么法，都應先將方程變成1=49

c,cib

4、已知。2-5。8=0,則一+—等于()

bci

A、2-B、3-C、2,或3，D、2,或3，

232332

5、要使二次三項式F-5x+〃在整數范圍內能進行因式分解，那么整數〃的取值可以有

1)

A、2個B、4個C、6個D、無數個

6、已知關于x的方程(/—。―2)/+2x—1=0是一元二次方程，則。的取值范圍是

1)

A、。。一1B、”2C、。工一1且。工2D、aw-L且。工-2

7、三角形的兩邊分別是6和8,第三邊是一元二次方程一一16工+60=0的一個實數根,

則該三角形的面積是。

8、(m2+??2)(1-m2-/12)+6=0,則加？+/的值為

五、學習反思:

§1.8一元二次方程的應用(1)

一、學習目標：1.經歷分析具體問題中的數量關系，建立方程模型并解決問題的過程，認

識方程模型的重要性，并總結運用方程解決實際問題的一般步驟。

2.通過列方程解應用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決

問題的能力。

二、學習重點：掌握運用方程解決實際問題的方法。

難點：構建數學模型解決實際問題.

三、學習導航：

A、預習感知

同學們還記得黃金分割嗎？你想知道黃金分割中的黃金比是怎樣求出來的嗎？黃金分割

比為什么是0.618嗎？

B、探索新知：

【例1］如圖，如果C為AB的黃金分割點，你能求出黃金比嗎？

ACB

C、典型例題

【例2］如圖,海軍基地位于A處,在其正南方向200海里處有一重要目標B,

在B的正東方向200海里處有一重要目標C。小島D位于AC的中點，島上有

一補給碼頭;小島F位于BC上且恰好上于小島D的正南方向。一艘軍艦從A

出發，經B到C勻速巡航，一艘補給船同時從D出發，沿南偏西方向勻速直線航

行，欲將一批物品送達軍艦。

(I)小島D和小島F相距多少海里？

(2)已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那

么相遇時補給航行了多少海里？

【隨堂小結】利用一元二次方程解幾何圖形中的有關計算問題的一般步驟是:

(1)整體地、系統地審清題意

(2)尋求問題中的等量關系(根據幾何圖形的性質)

(3)設未知數，并依據等量關系列出方程

(4)正確地求解方程并檢驗解的合理性

四、達標檢測:

1、如圖,Z\ABC中,/B=9(AAB=6cm,BC=8cm,點P從A點開始沿A—B-C以lcm/s移動,

點Q從B點開始沿B-C-A以2cm/s移動,如果P、Q分別從A、B同時出發，經幾秒鐘,

使APCQ的面積等于12.6cn??

2、在長為om,寬為8m的一塊草坪上修了一條1m寬的筆直小路，則余下草坪的面積可

表示為m,現為了增加美感，把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路(如圖6),

則此時余下草坪的面積為m2.

圖6

3、如圖1,在正方形ABC。中，43是451,Z\BCE的面積是面積的4倍，則OE

的長為.

4、如圖2,梯形的上底AD=3cm,下底BC=6cm,對角線AC=9cm,設OA=x,則x=

圖2

5、直角三角形的周長為2+遙,斜邊上的中線為1,求此直角三角形的面積.

五、學習反思:

§1.9一元二次方程的運用⑵

一、學習目標：①能正確列出一元二次方程.

②能根據實際條件求出符合要求的解.

③體會“方程模型”解決數學問題的思想和方法.

二、學習重點：.列一元二次方程解應用題.

難點：正確列出一元二次方程

三、學習導航：

A.預習感知

1.商品銷售中，常見的等量關系有哪些？

2.利率問題中，常見的等量關系有哪些？

3.行程問題中，常見的等量關系有哪些？

4.工程問題中，常見的等量關系有哪些？

B、探索新知：

［例1］商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，市場調研表明：當銷售價為2900元時,

平均每天能售出8臺，而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使

這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的定價應為多少元？

分析：請填寫下表

每天的銷售量（臺）每臺的利潤（元）總利潤（元）

降價前

降價后

變式訓練：

1、某公司投資新建了一商場，共有商鋪30間.據預測,當每間的年租金定為10萬元時，可全部

租出.每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間.該公司要為租出的商鋪每間每年交各種

費用1萬元,未租出的商鋪每間每年交各種費用5000元.

(1)當每間商鋪的年租金定為13萬元時，能租出多少間？

12)當每間商鋪的年租金定為多少萬元時，該公司的年收益(收益=租金一各種費用)為

275萬元？

C、典型例題

［例2］某市2004年底的森林覆蓋率(即自然保護區面積占全市國土面積的百分比)僅為

4.85%,經過兩年努力，該市2006年底自然保護區覆蓋率達到8%,求該市這兩年自然保護區面

積的平均增長率?(結果精確到0.1%)

變式訓練：

某鋼鐵廠一月份生產鋼鐵560噸，從二月份起，由于改進操作技術，使得第一季度共

生產鋼鐵1850噸，問二、三月份平均每月的增長率是多少，若設二、三月份平均每月的增

長率為x,則可得方程()

A.560(1+X)2=1850B.560+560(1+工尸=1850

C.560(l+x)+560(l+x)2=185()D.560+560(l+x)+560(1+^)2=185()

［例3］某同學將100元壓歲錢第一次按一年定期儲蓄存入“少兒銀行”，到期后，將本金和

利息取出，并將其中的50元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利

率已下調到第一次存款時年利率的一半，這樣到期后，可得本金和利息共63元,求第一次存款

時的年利率.

四、達標檢測：

1、某商場在一次活動中友某種商品兩次降價5%,該種商品原價為小則二次降價后該商

品的價格為.

2、某廠6月份生產電視機5000臺，8月份生產7200臺，平均每月增長的百分率是.

3、某種商品原價是100元，降價10%后，銷售量急劇增加，于是決定提價25%,則提價

后的價格是.

4、場第一年初投入50萬元進行商品經營，以后每年年終將當年獲得的利潤與當年年初

投入資金相加所得的總資金，作為下一年年初投入資金繼續進行經營.

⑴如果第一年的年獲利率為P,則第一年年終的總資金可用代數式表示為萬

年利潤

元.（注：年獲利率二年初投入資金XI00%）

⑵如果第二年的年獲利率比第一年的年獲利率多10個百分點，第二年年終的總資金為66

萬元，求第一年的年獲利率.

5、某商場禮品柜臺春節期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張

盈利①3元.為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施.調查發現，如果這種賀

年卡的售價每降價0.1元，那么商場平均每天可多售出300張.商場要想平均每天盈利160

元，每張賀年卡應降價多少元？

（選作題）.某科技開發公司研制出一種新型產品，每件產品的成本為2400元，銷售單

價定為3000元.在該產品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產品，公司決定商

家一次購買這種新型產品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產品超過10

件時，每多購買一件，所購買的全部產品的銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低于2600

元.

（1）商家一次購買這種產品多少件時，銷售單價恰好為2600元？

（2）設商家一次購買這種產品x件，開發公司所獲的利潤為y元，求y（元）與x（件）之間的

函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（3）該公司的銷售人員發現：當商家一次購買產品的件數超過某一數量時，會出現隨著一

次購買的數量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數量越多，

公司所獲的利潤越大，公司應將最低銷售單價調整為多少元?（其它銷售條件不變）

五、學習反思:

§1.10一元二次方程復習(1)

——一元二次方程的解法

一、學習目標：①引導學生對一元二次方程的幾種解法進行梳理；

②學生能選擇適當解法熟練地解一元二次方程.

二、學習重點:梳理一元二次方程的幾種解法

難點:熟練地選擇適當方法解一元二次方程

三、學習導航：

A、預習感知：

1.只含有個未知數，并且未知數的最高次數是的整式方

程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式為,其中

().

2.方程(2m-l)x2+mx+l=0,為一元二次方程，則m=：

3.已知(k?3)xh"+2x-3=0是關于x的一元二次方程，則k=;

4.將(x+l)2-2(x-l)2=6x-7化為一般形式，此時二次項系數為.

5.解一元二次方程可先用法、法、和

____________法等幾種.

其中①直接開方法:如果x2=a(a#)),則x尸,x2=。

②配方法：如果x2+px+q=0,且p2-4q>0,貝!j(x+)2=-q+。則

xi=,x2=。

③公式法：方程ax2+bx+c=0且b2-4ac>0,則x=,即

x1=,x2=o

④因式分解法：如果ax2+bx+c=(ex+f)(mx+n)=0.則ax2+bx+c=0的解是：

xi=,x2=o

B、探索新知：

［例1］用適當方法解下列關于x的方程：

(1)X2-3X+2=0(2)2X2-4X=0

⑶(X-2)2=3(X2-4)(4)(2X-5)2-(X-10)2=0

(5)(2x-l)(x+3)=4(6)3x(x-l)=2-2x

⑺3(j-x)2-5(x4)2-2=()⑻V3r2—2x=V2

(9)10a2x2+12abx-3b2=0(a^0)(10)(m2-m)x2-(2m2-1)x+m(m+1)=0(m2-m/0)

［例2］解方程：(X2-3X)2-2(X2-3X)-8=0

［例3］已知a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，a、b滿足

(tz2+/?2)(672+/?2-3)-10=0,求斜邊C的長。

四、達標檢測：

1、用適當的方法解下列方程

2

(1)2A—3=0：(2)(14-VI)x-(l-V2)x=0；

⑶(3—X)2+X2=9(4)(x—V2)2+4V2x=0

(5)2x2—3x—\=0(6)3X2-4=-4X

(7)X2+2X-2=0(8)9(2x+3『-4(2x-5尸=0

⑼-(3m-n)x-3n=0(m0)(10)3x2—4V3x=-4

2、若x?+3xy-4y2=0(y/0),求^~的值。

x+y

五、學習反思:

§1.11一元二次方程的復習(2)

——一元二次方程的應用

一、學習目標：①通過復習，學生能運用知識解相關問題；

②通過復習、學生能熟練解應用題

二、學習重點：應用一元二次方程解相關問題

難點：建立一元二次方程解決實際問題

三、學習導航：

A.預習感知：

1.關于x的一元二次方程(m-lN+x+nf-X)的一個根為(),則實數m=.

2.若a是方程X2?3X+1=0的根，求2a2-5a-2+焉___________.

3.已知實數a、b滿足a2=2-2a,b2=2-2b.H.a/b.則￡+亍=.

4.兩個連續奇數的積為323,則這兩個數為.

5.某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產量為5000噸,3月上升到7200噸,設這兩個月平均每月

增長的百分率為x%.則列出方程為.

B、探索新知：建立一元二次方程解應用題

如圖1,某小區規劃在一個長為40m,寬為26m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的道

路,使其中兩條與AB平行,其余部分種草，若使每一個草坪的面積為144nf,求道路寬.

圖1

C、典型例題

［例1］某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內，每部汽車的進價與銷售

有如下關系，若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元，每多售一部，所有出

售的汽車的進價均降低().1萬元/部。月底廠家根據銷售量一次性返利給銷售公司，銷售量

在10部以內，含10部，每部返利0.5萬元，銷售量在10部以上，每部返利1萬元。

①若該公司當月賣出3部汽車，則每部汽車的進價為萬元；

②如果汽車的銷售價位28萬元/部，該公司計劃當月盈利12萬元，那么要賣出多少部

汽車？(盈利=銷售利潤+返利)

［例2］據媒體報道，我國2009年公民出境旅游總人數約5()0()萬人次，2011年公民出境旅

游總人數約7200萬人次。若2010年、2011年公民出境旅游總人數逐年遞增，請解答

下列向題：

(1)求這兩年我國公民出境旅游總人數的年平均增長率；

(2)如果2012年仍保持相同的年平均增長率，請你預測2012年我國公民出境旅游總人數

約多少萬人次？

［例3］如圖，已知一矩形鐵皮ABCD,若把4ABE沿折痕BE向上翻折，使點A恰

好落在邊CD上的點F處。若AE：ED=5：3,EB=5V5,求該矩形鐵皮的長

和寬各是多少？

變式訓練：

某玩具廠計劃生產一種玩具熊貓，每日最高產量為4D只，且每日產出的產品全部售出，

己知生產x只熊貓的成本為R(元)，售價每只為P(元)，且R、P與x的關系式分別為

R=500+30X,P=170—2Xo

⑴當日產量為多少時每日獲得的利潤為1750元？

⑵若可獲得的最大利潤為1950元，問日產量應為多少？

四、達標檢測：

1、填空題：

(1)、某藥品經兩次降價，零售價降為原來的一半，已知兩次降價的百分率相同，求每次降

價的百分率.

(2)、將一條長為20cm的鐵也剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形,

則這兩個正方形面積之和的最小值是cm2.

2

(3)、已知三角形的兩邊長分別是3和8,第三邊的數值是一元二次方程x-17x

+66=0的根，則此三角形的周長o

(4)、如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時B到墻C

的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點B將向外移動—

米。

2、某水果批發商場經銷一種高檔水果，如果每千克贏利10元，每天可售出

50()?千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，?日銷售量將

減少20千克，現該商場要保證每天贏利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千

克應漲價多少元？

3、如圖2,在寬為20m,長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的傾斜相

交的兩條道路.要使耕地面積為540道路的寬為多少m?

圖2

4、如圖4,AABC的邊BC=8cm,?AM=6cm,長方形DEFG的邊落在BG上，頂點D、G分

別落在AB和AC上,如果這個長方形面積12cm2.試求它的長和寬.

圖4

5、某批發商以每件50元的價格購進8()()件r恤.第一個月以單價8()元銷售，售出了200

件；第二個月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發商為增加銷售量，決定降價

銷售，根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單位應高于購進的價

格；第二個月結束后，批發商將對剩余的7恤一次性清倉銷售，清倉時單價為40

元.設第二個月單價降低x元.

(1)填表(不需要化簡)

時間第一個月第二個月清倉時

單價(元)8040

銷售量(件)200

(2)如果批發商希望通過銷售這批7恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元？

五、學習反思:

§1.12一元二次方程的根的判別式

一、學習目標：1、理解一元二次方程的根的判別式

2、能用判別式判定一元二次方程根的情況

3、能用判別式在已知一元二次方程根的情況前提下求字母系數.

二、學習重點：.理解、掌握根的判別式

難點：應用根的判別式求字母系數

三、學習導航：

A.預習感知：

1、我們知道，任何一個一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)都可用配方法解。

把一般形式的方程加+法+。=0(。。0)配方后為(x+_)2=

2、根據上面配方法變形的結果，因存0,所以4a2>0.這樣，我們有

(1)當b2—4ac>0時，方程右邊是正數.因此，方程有：

=；X2=,這樣兩個不相等的實數根；

(2)當b2-4ac=0時，方程右邊是0.因此，方程有：

X|=X2=這樣兩個相等的實數根；

(3)當b04acV0時，方程右邊是一個負數，而方程左邊的(x+『(填"可能”

或"不可能”)是一個負數.因此，方程沒有實數根.

B、探索新知：

由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=O的根的情況可由b2-4ac來判定.我們把b2-4ac

叫做一元二次方程ax2+bx4-c=0的根的判別式，用符號“△”來表示.

綜上所述：一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),

當時，方程有,

當△=?時，方程有,

當avo時，方程有.

反之，也成立.

注意：方程有實數根的條件：△NO

C、典型例題：

【例1】不解方程，判別下列方程的根的情況：

(1)2X2+3X-4=0(2)16y?+9=24y(3)(3)5(x2+l)-7x=0

【例2】已知關于x的方程：2x2-(4k+l)x+2k2-l=0,當k取什么值時:

(1)方程有兩個不相等的實數根？

(2)方程有兩個相等的實數根？

(3)方程沒有實數根？

變式訓練：

當a取什么值時，方程(2一5由2—2@*+2—6=0(2#5)：(1)有實數根？(2)沒有實數根？

【例3】若等腰/ABC的一邊長〃=4,另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求/A