PAGEPAGE1專題5概率與統(tǒng)計一、計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)分是什么?分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了才算完成這件事.2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)是什么?公式(1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(2)Cnm=A=n!m!(n-m)!(n,m特殊地,Cn0性質(zhì)(1)0!=1;Ann(2)Cnm=Cnn-m3.二項式系數(shù)的性質(zhì)是什么?性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,即Cnk增減性二項式系數(shù)C當(dāng)k<n+12(n∈N+當(dāng)k>n+12(n∈N二項式系數(shù)的最大值當(dāng)n為偶數(shù)時,中間的一項Cn當(dāng)n為奇數(shù)時,中間的兩項Cnn-4.各二項式系數(shù)的和是什么?(1)(a+b)n綻開式的各項二項式系數(shù)的和為Cn0+Cn1+Cn2+…(2)偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn二、概率1.互斥事務(wù)與對立事務(wù)有什么區(qū)分與聯(lián)系?互斥與對立都是兩個事務(wù)的關(guān)系,互斥事務(wù)是不行能同時發(fā)生的兩個事務(wù),而對立事務(wù)除要求這兩個事務(wù)不同時發(fā)生外,還要求二者之一必需有一個發(fā)生.因此,對立事務(wù)是互斥事務(wù)的特殊狀況,而互斥事務(wù)不肯定是對立事務(wù).2.基本領(lǐng)件的三個特點是什么?(1)每一個基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性都是相等的;(2)任何兩個基本領(lǐng)件都是互斥的;(3)任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成基本領(lǐng)件的和.3.古典概型、幾何概型的概率公式分別是什么?古典概型的概率公式:P(A)=事件A幾何概型的概率公式:P(A)=構(gòu)成事件A三、統(tǒng)計初步與統(tǒng)計案例1.分層抽樣的適用范圍是什么?當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣的方法.2.如何作頻率分布直方圖?(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).(2)確定組距與組數(shù).(3)將數(shù)據(jù)分組.(4)列頻率分布表.(5)畫頻率分布直方圖.3.頻率分布直方圖的特點是什么?(1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距,縱坐標(biāo)表示頻率組距,頻率=組距×頻率(2)在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積總和等于1.因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值,所以各小長方形高的比也就是頻率比.(3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式,前者精確,后者直觀.4.如何進(jìn)行回來分析?(1)定義:對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法.(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中(x-,y-(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時,表明兩個變量正相關(guān);當(dāng)r<0時,表明兩個變量負(fù)相關(guān).r的肯定值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強.r的肯定值越接近于0,表明兩個變量之間的線性相關(guān)性越弱.通常當(dāng)|r|大于0.75時,認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性.5.獨立性檢驗的一般步驟是什么?解決獨立性檢驗的應(yīng)用問題,肯定要依據(jù)獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論.獨立性檢驗的一般步驟:(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表;(2)依據(jù)公式K2=n(ad-bc)2(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系,做出統(tǒng)計推斷.四、隨機變量及其應(yīng)用1.離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)是什么?(1)離散型隨機變量的分布列:若離散型隨機變量X全部可能的取值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個值xi(i=1,2,…,n)的概率為p1,p2,…,pn,則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機變量X的概率分布列或稱為離散型隨機變量X的分布列.(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì):①0≤pi≤1(i=1,2,3,…,n);②p1+p2+…+pn=1;③P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj.2.事務(wù)的相互獨立性的概念及公式是什么?(1)相互獨立的定義:事務(wù)A是否發(fā)生對事務(wù)B是否發(fā)生的概率沒有影響,即P(B|A)=P(B).這時,稱事務(wù)A與事務(wù)B相互獨立,并把這兩個事務(wù)叫作相互獨立事務(wù).(2)概率公式條件公式事務(wù)A,B相互獨立P(A∩B)=P(A)·P(B)事務(wù)A1,A2,…,An相互獨立P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)3.獨立重復(fù)試驗與二項分布的概念和公式是什么?(1)獨立重復(fù)試驗①定義:在相同條件下,重復(fù)地做n次試驗,各次試驗相互獨立,那么一般就稱它們?yōu)閚次獨立重復(fù)試驗.②概率公式:在一次試驗中事務(wù)A發(fā)生的概率為p,則n次獨立重復(fù)試驗中,事務(wù)A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n(2)二項分布:在n次獨立重復(fù)試驗中,事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X,事務(wù)A不發(fā)生的概率為q=1-p,則n次獨立重復(fù)試驗中事務(wù)A恰好發(fā)生k次的概率是P(X=k)=Cnkpkqn-k,其中k=0,1,2,…,n,于是X01…k…nPCn0p0Cn1pq…Cnkpk…Cnnpn此時稱離散型隨機變量X聽從參數(shù)為n,p的二項分布,記作X~B(n,p).4.正態(tài)分布的概念及性質(zhì)是什么?(1)正態(tài)曲線:正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫作正態(tài)曲線,其函數(shù)表達(dá)式為f(x)=12π·σ·e-(x-μ)2(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)①曲線位于x軸上方,與x軸不相交,與x軸之間的面積為1;②曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;③曲線在x=μ處達(dá)到峰值1σ④當(dāng)μ肯定時,曲線的形態(tài)由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.5.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望(或均值)與方差的概念是什么?設(shè)一個離散型隨機變量X全部可能取的值是x1,x2,…,xn,這些值對應(yīng)的概率分別是p1,p2,…,pn.(1)數(shù)學(xué)期望:稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn為離散型隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望),它刻畫了這個離散型隨機變量取值的平均水平.(2)方差:稱D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn為離散型隨機變量X的方差,它反映了離散型隨機變量取值相對于期望的平均波動大小(或說離散程度),D(X)的算術(shù)平方根D(X)叫作離散型隨機變量6.均值與方差的性質(zhì)有哪些?(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b為常數(shù)).(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b為常數(shù)).(3)兩點分布與二項分布的均值、方差的公式①若X聽從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p).②若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).幾何概型、古典概型、相互獨立事務(wù)與互斥事務(wù)的概率、條件概率是高考的熱點,幾何概型主要以客觀題形式考查,求解的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測度(長度或面積);相互獨立事務(wù)、互斥事務(wù)常作為解答題的一部分考查,也是進(jìn)一步求分布列、期望與方差的基礎(chǔ),求解該類問題要正確理解題意,精確判定概率模型,恰當(dāng)選擇概率公式.近幾年的高考數(shù)學(xué)試題對統(tǒng)計案例的考查一般不單獨命題,而是與概率、隨機變量的數(shù)學(xué)期望交匯命題,高考對此類題目的要求是能依據(jù)給出的或通過統(tǒng)計圖表給出的相關(guān)數(shù)據(jù)求線性回來方程,了解獨立性檢驗的思想方法,會推斷兩個分類變量是否有關(guān).從近幾年高考情形來看,該類專題在高考中占的比例大約為15%,以簡潔題、中檔題為主,考查題型分選擇題、填空題和解答題.一、選擇題、填空題的命題特點(一)考查排列、組合的應(yīng)用,以考查兩個計數(shù)原理和排列、組合的應(yīng)用為主,難度中等,常常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).1.(2024·全國Ⅰ卷·理T15改編)從2名女生,4名男生中選3人參與科技競賽,恰有1名女生入選,則不同的選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)

解析?由題意可得有1名女生,2名男生,則有C21C

4答案?122.(2024·浙江卷·T16改編)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)

解析?一共可以組成C52C32答案?7203.(2024·全國Ⅱ卷·理T6改編)支配5名志愿者完成4項工作,每項工作只需由1人完成,則不同的支配方式共有().A.120種 B.180種C.240種 D.360種解析?由題意可得,5人中選出4人完成工作,剩下1人沒有工作,故不同的支配方式有C54A

4答案?A(二)考查二項式定理的應(yīng)用,以考查運用二項式定理求特定項、求項數(shù)和二項式定理性質(zhì)的應(yīng)用為主,難度中等,常常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).4.(2024·全國Ⅲ卷·理T5改編)x2+2x5的綻開式中A.10 B.20 C.40 D.80解析?由題可得Tr+1C=5r(x2)5-r2xrC=5r·2r·令10-3r=1,得r=3.所以C5r·2r=C53·2答案?D5.(2024·全國Ⅰ卷·理T6改編)1+1x2(1+x)6的綻開式中x4的系數(shù)為(A.15 B.16 C.30 D.35解析?因為(1+x)6綻開式的通項為Tr+1C=6rxr,所以1+1x2(1+x)6的綻開式中含x4的項為1C·64x4因為C66+C64=16,所以1+1x2(1+x)6答案?B(三)考查隨機事務(wù)的概率,以考查隨機事務(wù)、互斥事務(wù)與對立事務(wù)的概率為主,難度中等,常與事務(wù)的頻率交匯考查.本節(jié)內(nèi)容在高考中三種題型都有可能出現(xiàn),隨機事務(wù)的頻率與概率題目往往以解答題的形式出現(xiàn),互斥事務(wù)、對立事務(wù)的概念及概率題目常常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).6.(2024·全國Ⅲ卷·文T5改編)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.25,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為().A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析?設(shè)事務(wù)A為“不用現(xiàn)金支付”,事務(wù)B為“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”,事務(wù)C為“只用現(xiàn)金支付”,則P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.25=0.6,故選C.答案?C(四)考查古典概型,全國卷對古典概型每年都會考查,難度中等,主要考查實際背景的可能事務(wù),通常與互斥事務(wù)、對立事務(wù)一起考查.在高考中單獨命題時,通常以選擇題、填空題形式出現(xiàn),屬于中低檔題.7.(2024·全國Ⅱ卷·理T8改編)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取2個不同的數(shù),其和等于26的概率是().A.112 B.114 C.115解析?不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,從中隨機選取2個不同的數(shù),共有C

102=45種取法.因為3+23=7+19=26,所以隨機選取2個不同的數(shù),其和等于26的有2種取法,故所求概率為答案?D8.(2024·江蘇卷·T6改編)某愛好小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參與活動,則恰好選中1名男生和1名女生的概率為.

解析?從5名學(xué)生中任選2名學(xué)生,共有C

52=10種選法,其中恰好選中1名男生和1名女生的選法有C

21C·31答案?3(五)考查幾何概型,難度較大,以理解幾何概型的概念、概率公式為主,會求一些簡潔的幾何概型的概率,常與平面幾何、線性規(guī)劃、不等式的解集等學(xué)問交匯考查,在高考中多以選擇題、填空題的形式考查,難度中等.9.(2024·全國Ⅰ卷·理T10改編)折紙藝術(shù)是我國古代留下來珍貴的民間藝術(shù),具有很高的審美價值和應(yīng)用價值.如圖所示的是一個折紙圖案,由一個正方形內(nèi)切一個圓形,然后在四個頂點處分別嵌入半徑為正方形邊長一半的扇形.向圖中隨機投入一個質(zhì)點,則質(zhì)點落在陰影部分的概率P1與質(zhì)點落在正方形內(nèi)圓形區(qū)域外面的概率P2的大小關(guān)系是().A.P1>P2 B.P1<P2C.P1=P2 D.不能確定解析?將正方形內(nèi)圓形區(qū)域外面的四個角進(jìn)行沿直角邊重合組合,恰好得到的圖形就是陰影部分圖形,所以陰影部分區(qū)域的面積等于正方形內(nèi)圓形區(qū)域外面的面積,故P1=P2.答案?C10.(2024·全國Ⅱ卷·文T8改編)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少須要等待10秒才出現(xiàn)綠燈的概率為().A.34 B.710 C.58解析?至少須要等待10秒才出現(xiàn)綠燈的概率為40-1040=答案?A(六)考查隨機抽樣,在抽樣方法的考查中,系統(tǒng)抽樣、分層抽樣是考查的重點,題型主要以選擇題和填空題為主,屬于中低檔題.11.(2024·江蘇卷·T3改編)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200、400、300、100件,為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上全部的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗,則應(yīng)從甲種型號的產(chǎn)品中抽取件.

解析?∵樣本容量總體個數(shù)=60200+400+300+100=350,∴應(yīng)從甲種型號的產(chǎn)品中抽取350×答案?12(七)用樣本估計總體,主要考查平均數(shù)、方差等的計算以及莖葉圖、頻率分布直方圖的簡潔應(yīng)用.題型以選擇題和填空題為主,出現(xiàn)解答題時常常與概率相結(jié)合,屬于中檔題.12.(2024·全國Ⅰ卷·理T3改編)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入改變狀況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例,得到如下餅圖:則下列選項中不正確的是().A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入增加B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入沒有增加D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半解析?由題干可知,農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實現(xiàn)翻番.為便利可設(shè)建設(shè)前后的經(jīng)濟(jì)收入分別為100,200(單位省去).A中,種植收入前后分別為60,74,收入增加了,A正確;B中,其他收入前后分別為4,10,增加了一倍以上,B正確;C中,養(yǎng)殖收入前后分別為30,60,收入增加了一倍,C錯誤;D中,建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為(30+28)×2=116>100,D正確.故選C.答案?C13.(2024·全國Ⅲ卷·理T3)某城市為了解游客人數(shù)的改變規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2024年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.依據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是().A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,改變比較平穩(wěn)解析?對于選項A,由圖易知,月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份,故A錯誤;對于選項B,視察折線圖的改變趨勢可知,年接待游客量逐年增加,故B正確;對于選項C,D,由圖可知明顯正確.答案?A(八)考查離散型隨機變量分布列、超幾何分布、條件概率、正態(tài)分布、數(shù)學(xué)期望與方差,求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望是全國卷高考重點考查的內(nèi)容,在選擇題、填空題中有時會出現(xiàn).主要考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、正態(tài)分布等.14.(2024·全國Ⅲ卷·理T8改編)某群體中的每位成員運用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立,設(shè)X為該群體的10位成員中運用移動支付的人數(shù),D(X)=2.1,P(X=4)<P(X=6),則p=().A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3解析?因為X~B(n,p),所以D(X)=np(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7.因為P(X=4)=C104p4(1-p)6<P(X=6)=C106p6(1所以(1-p)2<p2,可得p>0.5.故p=0.7.答案?A15.(2024·全國Ⅱ卷·理T13改編)一批產(chǎn)品的二等品率為0.08,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)=.

解析?有放回地抽取,是一個二項分布模型,其中p=0.08,n=100,則D(X)=np(1-p)=100×0.08×0.92=7.36.答案?7.36二、解答題的命題特點概率與統(tǒng)計綜合試題的題干閱讀量大,簡潔造成考生在數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化過程中失誤,得分率不高.這些試題主要考查古典概型,用樣本估計總體,利用回來方程進(jìn)行預(yù)料,獨立性檢驗的應(yīng)用,離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,正態(tài)分布等.概率、隨機變量的數(shù)學(xué)期望交匯命題,高考對此類題目的要求是能依據(jù)給出的或通過統(tǒng)計圖表給出的相關(guān)數(shù)據(jù)求線性回來方程.1.(2024·全國Ⅱ卷·理T18)下圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回來模型.依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:y＾=-30.4+13.5t;依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:y＾=99+17.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值.(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)料值更牢靠?并說明理由.解析?(1)利用模型①,從2000年起先算起,2024年即t=19,所以該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為y＾=-30.4+13.5×19=226.1(億元)利用模型②,從2010年起先算起,2024年即t=9,所以該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為y＾=99+17.5×9=256.5(億元)(2)利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的旁邊,這說明從2010年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y＾=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠(ii)從計算結(jié)果看,相對于2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)料值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.2.(2024·全國Ⅰ卷,理T20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再依據(jù)檢驗結(jié)果確定是否對余下的全部產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求E(X).(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的全部產(chǎn)品作檢驗?解析?(1)由題意可知,獨立重復(fù)試驗符合二項分布,20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)C=202p2(1-p)18=190p2(1-p)對上式求導(dǎo)得f'(p)=[190p2(1-p)18]'=190[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=190p(1-p)17[2(1-p)-18p]=380p(1-p)17(1-10p).當(dāng)f'(p)=0時,有p(1-p)17(1-10p)=0,由0<p<1,得當(dāng)p∈0,110時,f'(p)>0,f(p)單調(diào)遞增;當(dāng)p∈110,1時,f'(p)<故f(p)max=f(p0)=f110,即p0=1(2)(i)由題意,剩余未作檢驗的產(chǎn)品有180件,其中Y表示不合格品的件數(shù),其聽從二項分布Y~B180,故E(Y)=180×110=18又X=40+25Y,故E(X)=E(40+25Y)=40+25×18=490(元).(ii)若對這箱余下的全部產(chǎn)品作檢驗,則須要的檢驗費為200×2=400(元).因為E(X)=490>400,所以須要對這箱余下的全部產(chǎn)品作檢驗.3.(2024·全國Ⅲ卷·理T18)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,其次組工人用其次種生產(chǎn)方式.依據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由.(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式其次種生產(chǎn)方式(3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:K2=n(P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解析?(1)其次種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:(i)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘,用其次種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘,因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高.(ii)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘,因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高.(iii)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘,用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘,因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高.(iv)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用其次種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少,因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高.(2)由莖葉圖知m=79+812=80列聯(lián)表如下:超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155其次種生產(chǎn)方式515(3)因為K2的觀測值k=40×(15×15-5×5)220×20×20×204.(2024·全國Ⅰ卷·理T19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).依據(jù)長期生產(chǎn)閱歷,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸聽從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望.(2)一天內(nèi)抽檢零件中,假如出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性.(ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x-=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi用樣本平均數(shù)x-作為μ的估計值μ＾,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值σ＾,利用估計值推斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?剔除(μ＾-3σ＾,μ＾+3σ＾)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計附:若隨機變量Z聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,0.008≈0.解析?(1)由題可知抽取的一個零件的尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈1-0.9592=0.0408,X的數(shù)學(xué)期望E(X)=16×0.0026=0.0416.(2)(i)假如生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小,因此一旦發(fā)生這種狀況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.(ii)由x-=9.97,s≈0.212,得μ的估計值為μ＾=9.97,σ的估計值為σ＾=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(μ＾-3σ＾,μ剔除(μ＾-3σ＾,μ＾+3σ＾)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為115×(16×9.97-9.因此μ的估計值為10.02.∑i=116xi2=16×0.2122+16×9剔除(μ＾-3σ＾,μ＾+3σ＾)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為115×(1591.134-9.222-15×10.因此σ的估計值為0.008≈0.1.樣本數(shù)據(jù)(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均