解直角三角形及其應用考情透析考情透析考情透析考情透析中考考點考查頻率新課標要求銳角三角函數★★利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數().知道30°，45°，60°角的三角函數值.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角.解直角三角形★★能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.解直角三角形的應用★★★銳角三角函數及其應用是中考中比較重要的考點,其考查內容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數值，③解直角三角形與其應用等.出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網格圖形等結合考查，是近幾年中考填空壓軸題常考題型.在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵.關鍵知識關鍵知識一、特殊角的三角函數值三角函數30°45°60°1二、直角三角形的邊角關系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．（1）三邊之間的關系：a2＋b2＝c2；（2）銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°；（3）邊角之間的關系：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，sinB＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a,c)，tanB＝eq\f(b,a)．三、解直角三角形的幾種類型及解法（1）已知一條直角邊和一個銳角（如a，∠A），其解法為：∠B＝90°－∠A，c＝eq\f(a,sinA)，b＝eq\f(a,tanA)（或b＝）；（2）已知斜邊和一個銳角（如c，∠A），其解法為：∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA（或b＝）；（3）已知兩直角邊a，b，其解法為：c＝，由tanA＝eq\f(a,b)，得∠A，∠B＝90°－∠A；（4）已知斜邊和一直角邊（如c，a），其解法為：b＝，由sinA＝eq\f(a,c)，求出∠A，∠B＝90°－∠A．四、解直角三角形的應用（1）仰角與俯角當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角；當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角．（2）坡角與坡度坡角是坡面與水平面所成的角；坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度（或坡比），常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．同角三角函數的關系在中，，，則等于A． B． C． D．【答案】【解析】解：如圖：設，，，，．故選：．1.在中，，，則A． B． C． D．【答案】【解析】解：，；，．故選：．2.在中，，，則A． B． C． D．【答案】【解析】解：在中，，，，設，，，，故選：．3.已知，則．【答案】．【解析】解：如圖，由于，可設，則，由勾股定理得，，，故答案為：．互余兩角三角函數的關系如圖，中，，則．【答案】．【解析】解：，即，，或（舍去），．故答案為：．1.在中，，若，則．【答案】．【解析】解：在直角中，，，所以，故答案為：．2.已知中，，，則．【答案】．【解析】解：如圖．，，設，則．．．故答案為：．3.在中，，且，則的值為．【解析】解：解法1：利用三角函數的定義及勾股定理求解．在中，，，設，，則，．故答案為．解法2：利用同角、互為余角的三角函數關系式求解．又，．又，．、互為余角，．故答案為．特殊角的三角函數值（2024·江蘇省無錫·中考真題）cos60°的值為(

)A.32 B.12 C.【答案】B

【解析】解：cos60°=12．

故選：B．

根據特殊角的三角函數值求解．1.計算的結果為A． B．1 C． D．【答案】【解析】解：，．故選：．2.已知實數，，，則下列說法正確的是A． B． C． D．【答案】【解析】解：，，．故選：．3.的相反數A． B． C． D．【答案】【解析】解：，的相反數是．故選：．4.計算的值等于A． B． C． D．【答案】【解析】解：故選：．5.的值等于A． B．1 C． D．【答案】【解析】解：．故選：．計算器—三角函數如圖，中，，，，若用科學計算器求的度數，并用“度、分、秒”為單位表示出這個度數，則下列按鍵順序正確的是A． B． C． D．【解析】解：由，得．故選：．1.如圖，是我們數學課本上采用的科學計算器面板，利用該型號計算器計算，按鍵順序正確的是A． B． C． D．【答案】【解析】解：根據計算器功能鍵，正確的順序應該是．故選：．2.已知，用計算器求的大小，下列按鍵順序正確的是A． B． C． D．【答案】【解析】解：已知，用計算器求銳角的大小，按鍵順序“”，“”，“0.56”，“”．故選：．3.如圖，為方便行人推車過天橋，市政府在高的天橋兩端分別修建了長的斜道，用科學計算器計算這條斜道的傾斜角，下列按鍵順序正確的是A． B． C． D．【解析】解：，所以用科學計算器求這條斜道傾斜角的度數時，按鍵順序為故選：．4.如圖，在中，，，．若用科學計算器求邊的長，則下列按鍵順序正確的是A． B． C． D．【答案】【解析】解：由，得．故選：．解直角三角形（2024·浙江省溫州·中考真題）圖1是第七屆國際數學教育大會(ICME)的會徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個直角三角形組合而成．作菱形CDEF，使點D，E，F分別在邊OC，OB，BC上，過點E作EH⊥AB于點H.當AB=BC，∠BOC=30°，DE=2時，EH的長為(

)

A.3 B.32 C.2【答案】C

【解析】【分析】根據菱形性質和解直角三角形求出OB=33，BE=3，繼而OA=【詳解】解：∵在菱形CDEF中，CD=DE=EF=CF=2，DE//BC

，∴

∠CBO=∠DEO=90又∵

∠BOC=30∴

OD=DEsin∠BOC∴

OC=CD+OD=2+4=6，∴

BC=OC?sin∠BOC=6×1∴

BE=OB?OE=3∵

AB=BC=3，∴在

Rt?OBA中，OA=∵

EH⊥AB

，∴

sin∠OBA=∴

EH=EB?sin故選C．1.如圖，是的高，若，，則邊的長為A． B． C． D．【答案】【解析】解：，，，，，，由勾股定理可知：，，故選：．2.如圖，在中，，，，則的長為A．3 B． C． D．4【答案】【解析】解：過作，交延長線于，，，，，，．故選：．3.如圖，在中，，，，則點到的距離為A． B． C． D．【答案】【解析】解：過點作，垂足為，在中，，，，，在中，，，點到的距離為．故選：．4.如圖，的頂點是正方形網格的格點，則的值是A． B．1 C． D．【答案】【解析】解：如圖，連接．，，，，，．故選：．解直角三角形的應用（2024·湖南·中考真題）如圖，圖1為《天工開物》記載的用于舂(chōng)搗谷物的工具—“碓(duì)”的結構簡圖，圖2為其平面示意圖．已知AB⊥CD于點B，AB與水平線l相交于點O，OE⊥l.若BC=4分米，OB=12分米，∠BOE=60°，則點C到水平線l的距離CF為

分米(結果用含根號的式子表示)．【答案】(6?2【解析】延長DC交l于點H，連接OC，根據題意及解三角形確定BH=43(dm)，0H=83(dm)，再由等面積法即可求解．

【解答】

解：延長DC交l于點H，連接OC，

在Rt△OBH中，∠BOH=90°?60°=30°，OB=12dm，

∴BH=12×tan30°=43(dm)，OH=83(dm)，

∵1.如圖，在天定山滑雪場滑雪，需從山腳下處乘纜車上山頂處，纜車索道與水平線所成的，若山的高度米，則纜車索道的長為A．米 B．米 C．米 D．米【答案】【解析】解：在中，，，．，米，（米．故選：．2.如圖樓梯示意圖，，，米，則樓梯的高度是A．米 B．米 C．米 D．米【答案】【解析】解：，，在中，，米，米，故選：．3.如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，測得，，則點到的距離為A． B． C． D．【答案】【解析】解：如圖，過點作于點，在中，，，即點到的距離為，故選：．4.如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子的長是6米．若梯子與地面的夾角為，則梯子底端到墻面的距離的長為米．A． B． C． D．【答案】【解析】解：由題意得：，在中，，米，（米，梯子底端到墻面的距離的長為米，故選：．解直角三角形的應用坡度坡角問題（2024·四川省眉山·中考真題）如圖，斜坡CD的坡度i=1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當太陽光與水平面的夾角為60°時，大樹在斜坡上的影子BE長為10米，則大樹AB的高為______米.【答案】(4【解析】解：如圖，過點E作水平地面的平行線，交AB的延長線于點H，

則∠BEH=∠DCF，

在Rt△BEH中，sin∠BEH=cos∠BCF=BHEH=12，

設BH=x米，EH=2x米，

∴BE=EH2+BH2=5x=10，

∴x=25，

∴BH=25米，EH=45米，

∵∠EAH=180°?60°?90°=30°，

∴AH=3EH=4151.在種植樹木時，負責人員要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為．如圖，若在坡比為的山坡上種樹，那么相鄰兩樹間的坡面距離為A． B． C． D．【答案】【解析】解：如圖：過點作，交的延長線于點，斜坡的坡比為，，，，在中，，相鄰兩樹間的坡面距離為，故選：．2.在滑輪的牽引下，一個滑塊沿坡角為的斜坡向上移動了，此時滑塊上升的高度是（單位：A．15 B． C． D．【答案】【解析】解：如圖，過點作于點，由題意可得：，則．故選：．3.如圖，一個供輪椅行走的斜坡通道的長為6米，斜坡角，則斜坡的垂直高度的長可以表示為A．米 B．米 C．米 D．米【答案】【解析】解：在中，，，，．故選：．4一個長方體木箱沿斜面下滑，當木箱滑至如圖所示位置時，．已知木箱高，斜面坡角為度，則木箱端點距地面的高度A．（米 B．（米 C．（米 D．（米【答案】【解析】解：過點作于點，過點作交的延長線于點，則點距地面的高度就是的長，由題意，知度，在中，，，，在中，，，，，故選：．5.如圖，某商場準備將自動扶梯改造成斜坡式．已知商場的層高為，為，改造后扶梯的坡比是，則改造后扶梯相比改造前增加的長度是A． B． C． D．【答案】【解析】解：在中，，，，解得，改造后扶梯的坡比是，，解得，，．故選：．解直角三角形的應用仰角俯角問題（2024·山東省日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區域內的標志性建筑，在其塔頂可俯視景區全貌.某數學興趣小組用無人機測量潮汐塔AB的高度，測量方案如圖所示：無人機在距水平地面119m的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無人機沿水平方向飛行74m到達點N，測得潮汐塔底端B的俯角為45°(點M，N，A，B在同一平面內)，則潮汐塔AB的高度為(

)

(結果精確到1m.參考數據：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)

A.41m B.42m C.48m D.51m【答案】B

【解析】解：如圖，延長BA交MN于點C，

則∠ACN=90°，

由題意可知，BC=119m，MN=74m，

∵∠BNC=45°，∠BCN=90°，

∴CN=CB=119m，

∴CM=CN+MN=119+74=193(m)，

∴tan∠AMC=ACCM=AC193=tan22°≈0.40，

∴AC≈77.2m，

∴AB=BC?AC=119?77.2=41.8(m)≈42(m)，

故選：B．

延長BA交MN于點C，根據等角對等邊得出CN的長，得出CM1.如圖所示，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球處看一棟樓頂部處的仰角為，看這棟樓底部處的俯角為，熱氣球處與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為A． B． C． D．【答案】【解析】解：過點作，垂足為，由題意得：，在中，，，在中，，，，這棟樓的高度為，故選：．2.如圖，一枚運載火箭從地面L處發射，雷達站R與發射點L距離6km，當火箭到達A點時，雷達站測得仰角為43°，則這枚火箭此時的高度AL為（）km．A．6sin43° B．6cos43° C． D．6tan43°【答案】D【解析】解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝43°，∴tanR＝，∴AL＝LR?tanR＝6?tan43°（km）．故選：D．3.如圖是某商場營業大廳自動扶梯示意圖．自動扶梯的傾斜角為，在自動扶梯下方地面處測得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為．則自動扶梯的垂直高度約為（保留一位小數）A．3.9 B．3.7 C．3.5 D．3.3【答案】【解析】解：，，，，，，，，，，故選：．4.如圖，電線桿的中點處有一標志物，在地面處測得標志物的仰角為，若到電線桿底部的距離為12米，則電線桿的長為A．8米 B．米 C．米 D．米【答案】【解析】解：由題意得：，米，在中，，（米，點是的中點，（米，電線桿的長為米，故選：．解直角三角形的應用方向角問題

（2024·重慶·中考真題）如圖，A，B，C，D分別是某公園四個景點，B在A的正東方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏東30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB=2千米.(參考數據：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)

(1)求BC的長度(結果精確到0.1千米)；

(2)甲、乙兩人從景點D出發去景點B，甲選擇的路線為：D?C?B【答案】解：(1)過B作BE⊥AC于E，如圖：

根據已知得∠DAB=90°，

∵∠DAC=30°，

∴∠EAB=60°，∠EBA=30°，

∴AE=12AB=1(千米)，BE=3AE=3(千米)，

∵C在B的北偏西15°方向，

∴∠EBC=90°?30°?15°=45°，

∴△EBC是等腰直角三角形，

∴CE=BE=3(千米)，BC=2BE=2×3=6≈2.5(千米)，

∴BC的長度約為2.5千米；

(2)過C作CF⊥AD于F，如圖：

由(1)知AE=1千米，CE=3千米，

∴AC=AE+CE=(1+3)千米，

在Rt△ACF中，CF=12AC=1+32(千米)，AF=3【解析】(1)過B作BE⊥AC于E，由∠DAC=30°，可得∠EAB=60°，∠EBA=30°，故AE=12AB=1(千米)，BE=3AE=3(千米)，而C在B的北偏西15°方向，得△EBC是等腰直角三角形，從而CE=BE=3(千米)，BC=2BE=2×3=6≈2.5(千米)；

(2)過C作CF⊥AD于F，由AE=1千米，CE=3千米