2025年高等數學基礎知識測試與應用考試試卷及答案一、選擇題（每題2分，共12分）

1.下列函數中，定義域為全體實數的是：

A.\(f(x)=\sqrt{x^2-1}\)

B.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

C.\(f(x)=\ln(x)\)

D.\(f(x)=e^x\)

2.函數\(f(x)=x^3-3x\)的零點個數為：

A.1

B.2

C.3

D.無限個

3.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)}{x^2}\)等于：

A.1

B.2

C.0

D.無窮大

4.設\(f(x)\)在區間[a,b]上連續，且\(f(a)=f(b)\)，則\(\int_a^bf(x)\,dx\)等于：

A.0

B.\(f(a)\cdot(b-a)\)

C.\(f(b)\cdot(b-a)\)

D.\(f(a)\cdotf(b)\)

5.設\(f(x)=x^2\)，則\(f'(x)\)等于：

A.2x

B.\(2x^2\)

C.\(4x\)

D.\(2x^3\)

6.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0\)，則\(\lim_{x\to\infty}\frac{\cos(x)}{x}\)等于：

A.0

B.1

C.-1

D.無窮大

二、填空題（每題3分，共18分）

7.\(\intx^3\,dx=\)__________

8.若\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=2\)，則\(f'(0)=\)__________

9.設\(f(x)=e^x\)，則\(f''(x)=\)__________

10.若\(\int_a^bf(x)\,dx=5\)，則\(\int_{2a}^{2b}f(x)\,dx=\)__________

11.設\(f(x)=x^2-3x+2\)，則\(f(2)=\)__________

12.若\(\lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}\)等于__________

三、解答題（每題10分，共30分）

13.求函數\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=2\)處的切線方程。

14.計算定積分\(\int_0^1(x^2+2)\,dx\)。

15.設\(f(x)=e^x\)，求\(f'(x)\)。

四、應用題（每題15分，共30分）

16.一物體做勻加速直線運動，初速度為\(v_0=5\)m/s，加速度為\(a=2\)m/s2，求物體運動\(t\)秒后的速度。

17.某商品的原價為\(P\)，降價比例為\(r\)，求降價后的價格。

五、證明題（每題20分，共40分）

18.證明：若\(f(x)\)在區間[a,b]上連續，且\(f(a)=f(b)\)，則\(\int_a^bf(x)\,dx=0\)。

19.證明：若\(f(x)\)在區間[a,b]上連續，且\(f(a)<f(b)\)，則存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

六、綜合題（每題25分，共50分）

20.一物體做曲線運動，其運動方程為\(x=t^2-t\)，\(y=t^3-3t\)，求物體在\(t=2\)秒時的速度和加速度。

21.一公司生產某種產品，其成本函數為\(C(x)=2x^2+4x+5\)，其中\(x\)為生產數量，求生產10件產品的總成本和平均成本。

本次試卷答案如下：

一、選擇題答案：

1.C

2.B

3.A

4.A

5.A

6.A

二、填空題答案：

7.\(\frac{x^4}{4}\)

8.2

9.\(e^x\)

10.20

11.-2

12.1

三、解答題答案：

13.切線方程為\(y=2x-3\)。

14.定積分\(\int_0^1(x^2+2)\,dx=\frac{7}{3}\)。

15.\(f'(x)=e^x\)。

四、應用題答案：

16.物體運動\(t\)秒后的速度為\(v=2t-1\)m/s。

17.降價后的價格為\(P(1-r)\)。

五、證明題答案：

18.證明：由于\(f(x)\)在區間[a,b]上連續，根據介值定理，存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。因此，\(\int_a^bf(x)\,dx=0\)。

19.證明：根據拉格朗日中值定理，存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

六、綜合題答案：

20.物體在\(t=