鄭州高二數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.數列\(1,3,5,7,\cdots\)的通項公式是（）A.\(a_n=2n-1\)B.\(a_n=2n+1\)C.\(a_n=n^2\)D.\(a_n=n+1\)2.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,x)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(x\)的值為（）A.\(6\)B.\(-6\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(-\frac{3}{2}\)4.直線\(3x-4y+5=0\)的斜率是（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)5.在\(\triangleABC\)中，\(A=60^{\circ}\)，\(a=\sqrt{3}\)，\(b=1\)，則\(B\)等于（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(120^{\circ}\)6.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.\(1\)B.\(3\)C.\(5\)D.\(7\)7.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{4}\)C.\(\frac{\sqrt{13}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{13}}{4}\)8.若\(a\)，\(b\)為實數，且\(a+b=2\)，則\(3^a+3^b\)的最小值是（）A.\(18\)B.\(6\)C.\(2\sqrt{3}\)D.\(2\sqrt[4]{3}\)9.已知等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_3=5\)，\(S_3=9\)，則\(a_5=（）A.\(7\)B.\(9\)C.\(11\)D.\(13\)10.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}x\)C.\(y=\pm\frac{5}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{5}x\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列說法正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)C.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(ac\gtbd\)D.若\(a\gtb\)，則\(a^3\gtb^3\)2.已知直線\(l_1\)：\(ax+y+1=0\)，\(l_2\)：\(x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值可能為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)3.以下哪些是橢圓的標準方程形式（）A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)D.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)4.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，則\(\sinB\)的值可能為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{3}{4}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(1\)5.下列關于等差數列的性質正確的是（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)B.若\(a_n\)為等差數列，則\(a_n\)與\(a_{n+1}\)的等差中項是\(\frac{a_n+a_{n+1}}{2}\)C.等差數列的前\(n\)項和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.等差數列的通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)6.已知向量\(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec{b}=(n,1)\)，若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則（）A.\(m=0\)B.\(n=0\)C.\(m+n=0\)D.\(mn=-1\)7.對于雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，以下說法正確的是（）A.實軸長為\(2a\)B.虛軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2+b^2\)）D.漸近線方程為\(y=\pm\frac{b}{a}x\)8.已知直線\(l\)過點\((1,2)\)，且斜率為\(k\)，則直線\(l\)的方程可以表示為（）A.\(y-2=k(x-1)\)B.\(kx-y+2-k=0\)C.\(y=kx+2-k\)D.\(kx-y+2=0\)9.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則下列說法正確的是（）A.\(xy\)有最大值\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)有最小值\(4\)C.\(x^2+y^2\)有最小值\(\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)有最大值\(\sqrt{2}\)10.以下哪些點在圓\(x^2+y^2=4\)上（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((\sqrt{2},\sqrt{2})\)D.\((-\sqrt{2},-\sqrt{2})\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\gtb\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)。（）2.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）3.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a\)為長半軸長，\(b\)為短半軸長。（）4.數列\(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為常數），則\(\{a_n\}\)是等差數列。（）5.向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec{b}\)。（）6.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^2=a^2+b^2\)），且\(e\gt1\)。（）7.直線\(y=kx+b\)與圓\(x^2+y^2=r^2\)相切的充要條件是圓心到直線的距離\(d=r\)。（）8.若\(x\)，\(y\)滿足\(x^2+y^2=1\)，則\(x+y\)的最大值為\(\sqrt{2}\)。（）9.等比數列\(\{a_n\}\)中，若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)。（）10.已知\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則線段\(AB\)的中點坐標為\((\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求直線\(2x-y+3=0\)與直線\(x+y-6=0\)的交點坐標。答案：聯立方程組\(\begin{cases}2x-y+3=0\\x+y-6=0\end{cases}\)，兩式相加得\(3x-3=0\)，解得\(x=1\)，把\(x=1\)代入\(x+y-6=0\)得\(y=5\)，交點坐標為\((1,5)\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)，求\(a_5\)和\(S_5\)。答案：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，\(a_5=2+(5-1)\times3=14\)。\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，\(S_5=\frac{5\times(2+14)}{2}=40\)。3.已知橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，求其長軸長、短軸長、焦距和離心率。答案：\(a=5\)，\(b=4\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}=3\)。長軸長\(2a=10\)，短軸長\(2b=8\)，焦距\(2c=6\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)。4.已知向量\(\vec{a}=(3,-1)\)，\(\vec{b}=(1,2)\)，求\(\vec{a}+\vec{b}\)，\(\vec{a}-\vec{b}\)，\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)。答案：\(\vec{a}+\vec{b}=(3+1,-1+2)=(4,1)\)；\(\vec{a}-\vec{b}=(3-1,-1-2)=(2,-3)\)；\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times1+(-1)\times2=1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法，并舉例說明。答案：判斷方法有幾何法和代數法。幾何法通過比較圓心到直線距離\(d\)與半徑\(r\)大小，\(d\ltr\)相交，\(d=r\)相切，\(d\gtr\)相離；代數法聯立直線與圓方程，看判別式\(\Delta\)，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。例如圓\(x^2+y^2=1\)與直線\(y=x\)，用幾何法，圓心\((0,0)\)到直線距離\(d=\frac{\vert0-0\vert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\lt1\)，相交。2.在等比數列中，若公比\(q\gt1\)，數列一定是遞增數列嗎？請說明理由。答案：不一定。等比數列\(\{a_n\}\)通項\(a_n=a_1q^{n-1}\)。當\(a_1\gt0\)，\(q\gt1\)時，數列遞增；但當\(a_1\lt0\)，\(q\gt1\)時，\(a_n\)隨著\(n\)增大而減小，是遞減數列。比如\(a_1=-1\)，\(q=2\)，數列\(-1,-2,-4,\cdots\)是遞減的。3.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x+y=1\)，討論\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\)的最小值及取最小值時\(x\)，\(y\)的值。答案：\(\frac{1}{x}+\fr